专题02 圆中的重要模型之四点共圆模型（几何模型讲义）数学沪科版九年级下册

专题02 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 6 模型2.定边对双直角共圆模型 8 模型3.定边对定角共圆模型 11 模型4.对角互补共圆模型 14 16 汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。 （24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论： ①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ （24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，，则（依据）；∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据）；∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】圆内接四边形对角互补；对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ． （从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】（）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型） 2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 4.对角互补共圆模型 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 例1（2025·湖南湘潭·模拟预测）阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆． (1)如图1，已知，，则_____； (2)如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长； (3)如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长． 例2（24-25九年级上·湖南长沙·月考）定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．我们学过了“圆的内接四边形的对角互补”这一定理，它的逆命题“对角互补的四边形四个顶点共圆”是证明“四点共圆”的一种常用方法．除此之外，我们还经常用“同旁张角相等”来证明“四点共圆”．如图1，在线段AB同侧有两点C，D．连接，，，，如果，那么A，B，C，D“四点共圆” (1)如图2，已知四边形中，对角线、相交于点P，点E在的延长线上，下列条件：①；②：③：④．其中，能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有___________： (2)如图3，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，若A，B，C，D“四点共圆”，且，求四边形的面积； (3)如图4，已知是等腰三角形，，点D是线段上的一个动点（点D不与点B重合，且，连结AD，作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接，． ①求证：A，D，B，E“四点共圆”； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值：若变化，请说明理由． 例3（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】 已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形， ． ， 与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内， …… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】 （5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 例4（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）请阅读下列材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，是线段同侧两点，且． 求证：四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图②，若点在外，设与交于点，连接， 则（依据） 又，（依据） 所以， 所以， 这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立． 如图③，若点在内， …… 综上所述，作的外接圆，点在上，即四点共圆． 任务： (1)上述证明过程中的“依据”“依据”分别指什么？ 依据：______；  依据：______． (2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分． (3)如图④，在四边形中，，，，，则的大小为______ 模型2.定边对双直角共圆模型 例1（2026·陕西西安·一模）【定义新知】 婆罗摩芨多是公元世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． 【理解运用】 （）如图，四边形为的内接四边形，连接、、、、、，与交于点，已知．试说明：四边形是“婆氏四边形”； （）如图，在中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长； 【问题拓展】 （）如图，某公园欲规划一个圆形景观区，并在其内部设计一个四边形区域，作为花海，其中点、、、均在上，、为花海内两条笔直的观光通道．根据设计要求，四边形是“婆氏四边形”，且与的长度之和为米．为了节约成本，要求圆形景观区的面积尽可能的小，请问圆形景观区的面积是否存在最小值？若存在，请求出圆形景观区面积的最小值；若不存在，请说明理由． 例2（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，内接于，为直径，，，点是圆上一动点，连接，，，弦交于点． (1)求的长； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)若，则__________． 例3（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是上一点，是直径，点在上且平分． (1)连接，求证：平分； (2)若，求的长． 例4（25-26九年级上·广东江门·期末）综合与实践 【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点，重合），连接，，．求证：．小明发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 【问题提出】 （1）请你根据小明的想法，写出解答过程． 【深入探究】 （2）如图2，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接．求证：． 模型3.定边对定角共圆模型 例1（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图，是的内接三角形，，点是弧上异于，的一个动点，射线交底边所在的直线于点，连接交于点． (1)求证：． (2)若， ①求的值； ②当时，求的长． 例2（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，是的内接四边形的一个外角，连接，已知． (1)求证：． (2)若，求的度数． 例3（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在中，，点为上一点，过，，的圆交于点，已知点为的中点，连接． (1)求证：． (2)，求的半径． 例4（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形内接于，延长至点E，连接，，平分，且． (1)求所对的圆心角的度数； (2)求证：是等边三角形． 模型4.对角互补共圆模型 例1（25-26九年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是数学爱好者王林的一篇手稿，请认真阅读并完成相应的任务． 圆内接四边形对角互补的证明 数学知识：圆内接四边形对角互补． 题设：如图1，四边形内接于． 结论：． 证明：如图1，连接， 则（依据）， ． 又， ． 任务： (1)材料中的依据是___________．在图1中，若，则的度数是___________． (2)如图2，在圆内接四边形中，，，求的面积的最大值． 例2（2025·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考 下面是数学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 在四边形中，．我们把这种有一组对角相等，且都为，另一组对角不相等的四边形称为“垂直四边形”．“善思”小组对“垂直四边形”的性质，展开了探究． 初步得到三条性质： ①“垂直四边形”对角互补； ②“垂直四边形”是圆内接四边形； ③“垂直四边形”的对角线的比值（短比长）等于该四边形最小内角的正弦值． 性质证明： 如图1，（依据1），， ， “垂直四边形”对角互补． 如图2，连接，取的中点，连接． ， （依据2）， 四边形内接于以点为圆心，的长为半径的圆， “垂直四边形”是圆内接四边形． 如图3，连接相交于点，过的中点作于点，以点为圆心，的长为半径作圆． ， ． 四边形内接于， ， …… 任务： (1)材料中的依据1是指_____； 依据2是指_____． (2)将材料中第三条性质的证明过程补充完整． (3)如图4，将矩形沿对角线所在直线折叠，点的对应点为点，且交于点，连接交于点．若，请直接写出的值． 例3（25-26九年级上·广西贵港·期中）新定义：有一组对角相等，且都为，另一组对角不相等的凸四边形称为“垂直四边形”，如图1．在四边形中，，． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． ①“垂直四边形”对角互补；_____． ②“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；_____． ③“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）_____． (2)如图2，四边形是“垂直四边形”，（），过点作，为垂足，过点作，为垂足． ①求证：； ②若，求的值； 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (3)如图3，在中，，，，平分，点在边上，若以、、、为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 例4（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）问题原型】小明在学习华师版教材九年级下册第二十七章时遇到这样一个问题：“求证：圆的内接四边形对角互补”如图①，小明给出了如下证明方法： 证明：连结、． 所对的弧为，所对的弧为． 又和所对的圆心角的和是周角． ． 同理． 这样，利用圆周角定理，我们得到了圆内接四边形的一个性质：圆的内接四边形对角互补． 【应用】 （1）如图②，四边形内接于，为延长线上一点，若，则 ； 【探究】 如图③，四边形为的内接四边形，为的直径．，延长、相交于点 （2）求证：； （3）若，，则四边形的面积为 ． 1．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，内接于为的直径，，那么的值为（   ）    A．4 B．6 C．2 D．3 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，四边形为的内接四边形．延长与相交于点．，垂足为，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·期末）如图，是的直径，C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（　 ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，在的内接四边形中，，那么是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，内接于，，，为的直径，，则（    ）    A．6 B． C．12 D． 6．（25-26九年级上·北京大兴·期末）工人师傅要从一块圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形．如图，已知的半径为10，扇形的圆心角为，则该扇形的半径为（   ） A． B． C． D． 7．（2026九年级·全国·专题练习）如图，和均为直角三角形，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，四边形是的内接四边形，，连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，、是的两条弦，连接，，平分，则的度数为 ． 10．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在半径为的中，是直径，是弦，交于点，与交于点．若是的中点，则的长是 ． 11．（2026·浙江·一模）如图，四边形内接于，，连结，若与的面积相等，则的长为 ． 12．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，内接于，，以点为圆心，适当长度为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交于点，连接，，若的半径为，则的周长为 ． 13．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，已知，以为直径的分别交，于点D，E，连接，，若，的半径为4，则的长为 ． 14．（25-26九年级上·天津河西·期末）如图，中，是的直径，另两边，分别交于点D和点E，与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)请你在图中再找出一对相似三角形，并说明相似的理由． 15．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，四边形内接于，平分，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若经过圆心O，且，，求的长． 16．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在中，，以为直径的分别交于点，过点作的垂线交的延长线于点． (1)求证：； (2)过点作于点，若，求的长． 17．（25-26九年级上·湖北荆州·月考）如图，在中，是直径，，点E在上，，与的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．（25-26九年级上·浙江·期末）如图，是中的中点，点在上，交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 19．（2025九年级上·山东·专题练习）如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 20．（25-26九年级上·江西赣州·期中）【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 21．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，点C为圆上的点，连接，，的平分线交于点D，连接，． (1)若，，求的长． (2)延长于点E，使得，求证：． 22．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，点P是外接圆上的一点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，．点M为上一点，过P作于D点，求证：； (3)如图3，点Q是上一动点（不与A，P重合），连，，．求的值． 23．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，在中，，点是的中点，过，，三点的交于点，的半径为． (1)如图，连接，当恰好是的直径时． 求证：； 若，求的度数（用的式子表示）； 求的长； (2)如图，求的最大值． 24．（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图，四边形内接于，对角线是的直径，连接，，若． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 25．（25-26九年级上·山西大同·期中）阅读与思考 下面是小李同学的数学思考，请认真阅读并完成相应的任务． 对角互补的四边形存在外接圆我在学习完圆的相关知识后，知道“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，也就是任意一个三角形都存在外接圆．那任意一个四边形是否存在外接圆呢？思考学过的四边形，可以发现，平行四边形、菱形没有外接圆，矩形、正方形有外接圆．也就是说任意一个四边形不一定存在外接圆．那么一个四边形需要满足什么条件才有外接圆呢？结合学过的圆内接四边形的性质，圆的内接四边形对角互补，猜想对角互补的四边形存在外接圆．下面对我的猜想进行证明： 已知：如图1，在四边形中，． 求证：存在为四边形的外接圆． 证明：连接，作的外接圆． 假设四边形不存在外接圆，则点D不在上，即点D在外或内． 如图2，若点D在外，设与交于点M，连接，则． ∵， ∴． ∴，，矛盾． 如图3，若点D在内，…… 因此，假设不成立，点D在上，存在为四边形的外接圆，即对角互补的四边形存在外接圆． 任务： (1)小李同学的数学思考中用到的证明方法是______． (2)补全小李同学的证明过程． (3)如图，已知，作四边形，使得四边形存在外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 26．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知如图①，四边形内接于．求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴可得______， ∵， ∴______，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． （3）结论运用：如图③，，点分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，求的最小值． 27．（2025·河南新乡·三模）阅读下列材料，并完成相应学习任务： 我们知道，圆内接四边形的对角互补，那么过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆吗？学习小组经过探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．下面是学习小组的证明过程： 已知：在四边形中， 求证：过点、、、可作一个圆． 证明：假设过点、、、四点不能作一个圆，设过点、、三点作出的圆为．分两种情况讨论． ①如图（），若点在内．延长交于点，连接． 是的外角， ． ，， ，与矛盾， ②如图（），若点在外．设交于点，连接． 是的外角， ． ，， ，与矛盾． 综上可知，假设不成立，故过点、、、可作一个圆． 学习任务： (1)在以上应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是______． (2)应用上述结论，解决以下问题： 如图（3），在四边形中，，对角线，交于点． ①若，求的度数； ②若，，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 6 模型2.定边对双直角共圆模型 8 模型3.定边对定角共圆模型 11 模型4.对角互补共圆模型 14 16 汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。 （24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论： ①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：①连接、，如图所示：    ∵中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到， ∴和为等腰直角三角形，根据旋转可知：，， ∵O为、的中点，∴，，，，，，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴，故①正确； ②∵，，∴， ∴点A，C，E，B在以点O为圆心，以为圆心的圆上，∴点A，C，E，B四点共圆，故②正确； ③∵，∴A、D、E在以为圆心的圆上，∴， ∴，故③错误；综上分析可知：正确的有①②．故选：A． （24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，，则（依据）；∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据）；∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】圆内接四边形对角互补；对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ． （从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】（）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（），；（）；（）证明见解析；． 【详解】（）解：如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补） ∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点，在点，，所确定的上（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆） ∴点，，，四点在同一个圆上，故答案为：，； （）解：∵在线段同侧有两点，，，∴，，，四点共圆， ∵，∴，故答案为：； （）证明：∵，∴， ∵点与点关于对称，∴，∴，∴，，，四点共圆； 解：，理由如下，如图，∵，，，四点共圆，∴， ∵，关于对称，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴，∵，∴． 1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型） 2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 4.对角互补共圆模型 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 例1（2025·湖南湘潭·模拟预测）阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆． (1)如图1，已知，，则_____； (2)如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长； (3)如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得出A，B，C，D四点共圆，则，即可得出结果； （2）在线段取一点，使得，推出， 得出，证出，则，再证出，由证得得出是等腰直角三角形，即可得出结果； （3）作于，则是的中点，连接，，则，得出E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，则，，得出是等边三角形，，作，则M为的中点，得出，，由勾股定理求出即可得出结果． 【详解】（1）解：， 四点共圆， ． 故答案为： （2）在线段取一点，使得，如图2所示： ， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）作于，则是的中点，连接，，如图3所示： ， 、、、和、、、分别四点共圆， ，， 是等边三角形， ， 作，则为的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题是四点共圆综合题目，考查了四点共圆的判定、圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度． 例2（24-25九年级上·湖南长沙·月考）定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．我们学过了“圆的内接四边形的对角互补”这一定理，它的逆命题“对角互补的四边形四个顶点共圆”是证明“四点共圆”的一种常用方法．除此之外，我们还经常用“同旁张角相等”来证明“四点共圆”．如图1，在线段AB同侧有两点C，D．连接，，，，如果，那么A，B，C，D“四点共圆” (1)如图2，已知四边形中，对角线、相交于点P，点E在的延长线上，下列条件：①；②：③：④．其中，能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有___________： (2)如图3，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，若A，B，C，D“四点共圆”，且，求四边形的面积； (3)如图4，已知是等腰三角形，，点D是线段上的一个动点（点D不与点B重合，且，连结AD，作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接，． ①求证：A，D，B，E“四点共圆”； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值：若变化，请说明理由． 【答案】(1)①③④ (2) (3)不变，8 【分析】（1）根据“同旁张角相等”可判断①；先证明，然后根据“对角互补的四边形四个顶点共圆” 可判断③；先证明可得，然后根据“同旁张角相等”可判断④；根据②的条件无法判定A，B，C，D“四点共圆”； （2）先求出A、B的坐标，从而判定为等腰直角三角形，得出，根据A，B，C，D“四点共圆”和可得出，，进而求出，然后证明得出，最后根据求解即可； （3）①根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，即可证明结论； ②连接，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴A，B，C，D“四点共圆”， 故①正确； ∵，， ∴， ∴A，B，C，D“四点共圆”， 故③正确； ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴A，B，C，D“四点共圆”， 故④正确； 根据②的条件无法判定A，B，C，D“四点共圆”． 故能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有①③④． （2）解：对于， 当时，则， 当时，则，解得， ∴，， ∴， 又， ∴， ∵A，B，C，D“四点共圆”， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵A，B，C，D“四点共圆”， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ； （3）①证明：∵， ∴， ∵点E与点C关于的对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴A，D，B，E四点共圆； ②解：的值不会发生变化， 理由如下：如图4，连接， ∵点E与点C关于的对称， ∴， ∴， 又， ∴， ∵A，D，B，E四点共圆， ∴， ∴， ∴A，B，F，C四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是四点共圆、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键． 例3（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】 已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形， ． ， 与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内， …… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】 （5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）30；（4）；（5） 【分析】（1）由圆的内接四边形可得，即可求解； （2）通过点A、B、C、E四点在同一个圆上，可得点C在点A、B、D所确定的上，即可求解； （3）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得； （4）通过证明点A、、E、C四点共圆，可得，由三角形内角和定理可求解； （5）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得，当是直径时，有最大值，即四边形的周长有最大值，即可求解． 【详解】解：（1）若点C在内，如图，延长设交于， 连接，则． 四边形是的内接四边形， ， ， 与矛盾，故点C不可能在圆内， ∴点C在圆上， ∴点A、B、C、E四点在同一个圆上； （2）如图，作经过点A、B、D的， 在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，， 则， ， ． 点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上， 点A、B、C、D四点共圆； （3）∵， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴， 故答案为：30； （4）由对称可知，， ， ， 由（2）可知，点A、、E、C四点共圆． ， 中，， ； （5）如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴，弦最大值是直径长， 以为边在上方作等边三角形，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴A，E，D三点共线， ∴， ∵四边形周长， ∴当是直径时，四边形的周长有最大值， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，圆内接四边形的性质，反证法，等边三角形的判定与性质等知识点． 例4（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）请阅读下列材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，是线段同侧两点，且． 求证：四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图②，若点在外，设与交于点，连接， 则（依据） 又，（依据） 所以， 所以， 这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立． 如图③，若点在内， …… 综上所述，作的外接圆，点在上，即四点共圆． 任务： (1)上述证明过程中的“依据”“依据”分别指什么？ 依据：______；  依据：______． (2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分． (3)如图④，在四边形中，，，，，则的大小为______ 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)证明见解析 (3) 【分析】（）由圆周角定理和三角形的外角性质即可得出结论； （）若点在内，延长与交于点，连接，利用三角形外角及圆周角定理可知，，进而得，已知不符，所以假设不成立； （）由可得四点共圆，即得，为直径，进而得，得到，再由得到，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：依据：同弧所对的圆周角相等；依据：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）解：如图③，若点在内，延长与交于点，连接， 则， 又∵， ∴， ∴， 这与已知条件“”矛盾，故点在圆内不成立； （3）解：∵在四边形中，，点在的同侧， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角性质，点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 模型2.定边对双直角共圆模型 例1（2026·陕西西安·一模）【定义新知】 婆罗摩芨多是公元世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． 【理解运用】 （）如图，四边形为的内接四边形，连接、、、、、，与交于点，已知．试说明：四边形是“婆氏四边形”； （）如图，在中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长； 【问题拓展】 （）如图，某公园欲规划一个圆形景观区，并在其内部设计一个四边形区域，作为花海，其中点、、、均在上，、为花海内两条笔直的观光通道．根据设计要求，四边形是“婆氏四边形”，且与的长度之和为米．为了节约成本，要求圆形景观区的面积尽可能的小，请问圆形景观区的面积是否存在最小值？若存在，请求出圆形景观区面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）说明见解析 （） （）存在，，理由见解析 【分析】本题主要考查围绕“婆氏四边形”(对角线互相垂直的圆内接四边形)展开，核心考查圆的性质(圆内接四边形对角互补、圆周角定理、垂径定理)、特殊四边形判定(平行四边形、矩形、正方形的判定逻辑)、几何计算与最值(勾股定理、全等三角形判定与性质、二次函数最值)，并紧扣“婆氏四边形”定义串联各知识点，综合考查圆、四边形、三角形的性质与判定及几何最值问题的解决能力． （）根据圆周角定理即可得出，从而可得，继而证明结论． （）根据垂径定理和圆周角定理可得，，设，则，，在中解直角三角形即可； （）先作，由垂径定理得；再利用结合圆周角定理，推导得，进而证，得到； 设，则，进而得到，在中用勾股定理表示半径 ；最后化简表达式为，当时，的长取最小值，且最小值为，即可解答． 【详解】（）∵ ∴， ∴ 即， 又∵四边形是的内接四边形， ∴四边形是“婆氏四边形”； （）解∵， ∴，为直径， ∴， ∵四边形是“婆氏四边形”， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理， ，即： 解得，即； （）存在，； 理由：过点作于点，于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是“婆氏四边形”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的长取最小值，且最小值为， ∴半径的最小值为， ∴圆形景观区面积的最小值（平方米） 例2（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，内接于，为直径，，，点是圆上一动点，连接，，，弦交于点． (1)求的长； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)若，则__________． 【答案】(1)6 (2)或 (3)或 【分析】（1）由圆周角定理得，然后利用勾股定理求解即可； （2）当时，设，则，先求出，再证明，然后利用相似三角形的性质即可求解；当时，设，先求出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解 （3）作交于，作交于，根据等面积法得到，证明，求出，根据等面积法求出，根据完全平方公式得到，，即，或，进而计算即可． 【详解】（1）解：∵为直径， ∴． ∵，， ∴． （2）解：如图1，当时，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵最长的弦直径等于10， ∴不符合题意，舍去． ∴． 如图2，当时，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 综上可知，当是以为腰的等腰三角形时，的长为或； （3）解：如图，作交于，作交于， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 由勾股定理可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，以及解一元二次方程等知识，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 例3（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是上一点，是直径，点在上且平分． (1)连接，求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理即可证明； （2）根据直径所对的圆周角是直角推出，根据，得到，最后结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：点在上且平分． ， ， 平分； （2）解：是直径， ， ， ， ． 例4（25-26九年级上·广东江门·期末）综合与实践 【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点，重合），连接，，．求证：．小明发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 【问题提出】 （1）请你根据小明的想法，写出解答过程． 【深入探究】 （2）如图2，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明，由等边三角形的性质得到，则可证明，证明，得到， 则可证明是等边三角形，得到，据此可证明结论； （2）延长至点，使，连接，同理可证明，得到， ，证明，得到，由勾股定理可得，据此可证明结论． 【详解】证明：（1）∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）如图，延长至点，使，连接，   四边形是的内接四边形， ∴， ∵ ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ∵ ∴， ， ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 模型3.定边对定角共圆模型 例1（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图，是的内接三角形，，点是弧上异于，的一个动点，射线交底边所在的直线于点，连接交于点． (1)求证：． (2)若， ①求的值； ②当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由圆内接四边形性质知，由知，从而得； （2）①由，可证从而得，即可求解； ②连接并延长交于点，连接，证得，据此知，，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是圆的内接四边形， ． ， ． ； （2）解：①∵四边形内接于圆， ． 又， ， ， ∵，则 ． ②连接，延长交于点，连接， ，平分， ，则 ， ． 又 ． ，即是线段的中垂线． ， ， 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 例2（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，是的内接四边形的一个外角，连接，已知． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查圆内接四边形的性质，等角对等边的性质，熟练掌握是解题关键． （1）根据圆内接四边形的性质得出，确定，再由等角对等边即可证明； （2）根据题意得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意得：， ∵， ， ； （2），， ， ∵四边形是圆内接四边形， ． 例3（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在中，，点为上一点，过，，的圆交于点，已知点为的中点，连接． (1)求证：． (2)，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）利用两角相等的两个三角形相似来论证； （2）通过得到，再通过得到，接着利用求得，最后利用勾股定理求出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴是直径， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴.， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理、圆周角定理、关键是知识点的灵活应用． 例4（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形内接于，延长至点E，连接，，平分，且． (1)求所对的圆心角的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】本题主要考查圆周角定理的推论，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据圆周角定理即可得出圆心的度数， （2）先根据圆内接四边形的性质，得出，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴所对的圆心角的度数． （2）证明：∵平分，且, ∴， ∴ 四边形内接于， ． ， ． ， ∴ ∴ 是等边三角形， 模型4.对角互补共圆模型 例1（25-26九年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是数学爱好者王林的一篇手稿，请认真阅读并完成相应的任务． 圆内接四边形对角互补的证明 数学知识：圆内接四边形对角互补． 题设：如图1，四边形内接于． 结论：． 证明：如图1，连接， 则（依据）， ． 又， ． 任务： (1)材料中的依据是___________．在图1中，若，则的度数是___________． (2)如图2，在圆内接四边形中，，，求的面积的最大值． 【答案】(1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识点，熟练掌握以上性质是做题的关键． （1）根据圆周角定理和圆内接四边形对角互补即可得出答案； （2）先作，再利用圆周角定理，勾股定理和垂径定理即可求值． 【详解】（1）解：材料中的依据是：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； ， ， ． 故答案为：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； （2）解：如图， 设的中点为点， 当的延长线垂直于时，的面积最大， 即， ． ，， ，为圆的直径，点为圆心， ． ， ． ， ， ， ． 答：的面积的最大值为． 例2（2025·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考 下面是数学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 在四边形中，．我们把这种有一组对角相等，且都为，另一组对角不相等的四边形称为“垂直四边形”．“善思”小组对“垂直四边形”的性质，展开了探究． 初步得到三条性质： ①“垂直四边形”对角互补； ②“垂直四边形”是圆内接四边形； ③“垂直四边形”的对角线的比值（短比长）等于该四边形最小内角的正弦值． 性质证明： 如图1，（依据1），， ， “垂直四边形”对角互补． 如图2，连接，取的中点，连接． ， （依据2）， 四边形内接于以点为圆心，的长为半径的圆， “垂直四边形”是圆内接四边形． 如图3，连接相交于点，过的中点作于点，以点为圆心，的长为半径作圆． ， ． 四边形内接于， ， …… 任务： (1)材料中的依据1是指_____； 依据2是指_____． (2)将材料中第三条性质的证明过程补充完整． (3)如图4，将矩形沿对角线所在直线折叠，点的对应点为点，且交于点，连接交于点．若，请直接写出的值． 【答案】(1)四边形的内角和等于；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形内角和和直角三角形的性质进行解答即可； （2）证明，根据三角函数定义得出，并将，分别转化掉，即可证明结论； （3）根据矩形的性质得出，，设，则，根据勾股定理表示出，根据三角函数定义得出，证明四边形为“垂直四边形”，再结合“垂直四边形”的性质②即可得出的值． 【详解】（1）解：的依据是四边形的内角和等于；的依据是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 故答案为：四边形的内角和等于；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）证明：如图3，连接相交于点，过的中点作于点，以点为圆心，的长为半径作圆． ， ． 四边形内接于， ， ， ， 即“垂直四边形”的对角线的比值（短比长）等于该四边形最小内角的正弦值． （3）解：的值为；理由如下： 在矩形中，，， ， ， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理，得， ， 将矩形沿对角线所在直线折叠，点的对应点为点， ， ， 四边形为“垂直四边形”， ． 故答案为： 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理，解直角三角形的相关计算，矩形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是理解新定义． 例3（25-26九年级上·广西贵港·期中）新定义：有一组对角相等，且都为，另一组对角不相等的凸四边形称为“垂直四边形”，如图1．在四边形中，，． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． ①“垂直四边形”对角互补；_____． ②“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；_____． ③“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）_____． (2)如图2，四边形是“垂直四边形”，（），过点作，为垂足，过点作，为垂足． ①求证：； ②若，求的值； 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (3)如图3，在中，，，，平分，点在边上，若以、、、为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 【答案】(1)正确；正确；正确 (2)①见解析；； (3)的长为6或． 【分析】（1）①根据四边形内角和定理求解即可； ②连接，利用证明，即可判断； ③利用角平分线的定义结合①的结论，求得，即可判断； （2）①先证明四边形是矩形，利用同角的余角相等求得，即可证明； ②连接，证明四边形是圆内接四边形，推出，据此求解即可； （3）分类讨论：①若，，证明，求得；②若，，过点作，垂足为点，由勾股定理得，由角平分线性质定理可得，则，可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴“垂直四边形”对角互补，正确； ②连接，不妨设， ∵，， ∴， ∴， ∴“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等；正确． ③∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）正确． （2）①证明：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ②连接， ∵， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； （3）解：∵平分， ∴， ①若，，如图2， 在与中， ， ； ②若，， 如图3，过点作，垂足为点， 在中，，，， ， 平分，， ∴， ∴， ， ， ， ， ，即， ， ， 综上所述：的长为6或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 例4（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）问题原型】小明在学习华师版教材九年级下册第二十七章时遇到这样一个问题：“求证：圆的内接四边形对角互补”如图①，小明给出了如下证明方法： 证明：连结、． 所对的弧为，所对的弧为． 又和所对的圆心角的和是周角． ． 同理． 这样，利用圆周角定理，我们得到了圆内接四边形的一个性质：圆的内接四边形对角互补． 【应用】 （1）如图②，四边形内接于，为延长线上一点，若，则 ； 【探究】 如图③，四边形为的内接四边形，为的直径．，延长、相交于点 （2）求证：； （3）若，，则四边形的面积为 ． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）276． 【分析】（1）根据题意得到，，即得； （2）由圆周角定理得到，再根据为的直径，得到，即可解答； （3）先证明，得到，的值，再根据即可解答． 【详解】解：（1）∵，，且， ∴． 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 则， ∴． （3） ∵，，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：276． 【点睛】本题考查了圆内接四边形．熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质，是解题的关键． 1．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，内接于为的直径，，那么的值为（   ）    A．4 B．6 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质，根据等边对等角结合三角形内角和定理得出，由圆周角定理得出，，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：，， ∴， ∵， ， 为的直径， ， 在中，， ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，四边形为的内接四边形．延长与相交于点．，垂足为，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理、圆周角定理．延长交于M，根据垂径定理得到，得到，根据圆内接四边形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：延长交于M， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26九年级上·全国·期末）如图，是的直径，C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角的有关定理，解题的关键是找到同弧所对的圆周角． 根据是的直径，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，在的内接四边形中，，那么是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解决本题的关键是熟练掌握圆周角定理． 先根据圆周角定理求出，再利用圆内接四边形对角互补的性质求出的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴． 故选：A ． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，内接于，，，为的直径，，则（    ）    A．6 B． C．12 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，有关圆周角的性质，正切函数，相似三角形的判定及性质等；能熟练利用正切函数，相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 由等腰三角形的性质及圆的基本性质得，由正切函数得，判定，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C． 6．（25-26九年级上·北京大兴·期末）工人师傅要从一块圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形．如图，已知的半径为10，扇形的圆心角为，则该扇形的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角定理及等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得点三点共线，则有是的直径，然后可得是等腰直角三角形，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴点三点共线， ∴是的直径， ∵的半径为10， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故选A． 7．（2026九年级·全国·专题练习）如图，和均为直角三角形，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，根据题意作出辅助圆是解题的关键．根据，可知在以的中点为圆心，长为直径的圆上，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，进而即可解答． 【详解】解：， ∴取的中点，以点为圆心，长为直径作圆，如图所示， 此时四点共圆， ， ， ， ． 故选：A． 8．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，四边形是的内接四边形，，连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形，等腰三角形的性质，圆周角和圆心角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据圆的内接四边形对角互补，可得，连接，根据等角对等边可得，再根据圆周角是圆心角的一半即可求解． 【详解】解：∵，四边形是的内接四边形， ∴， 连接，如图所示： 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 9．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，、是的两条弦，连接，，平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ∵平分， ∴， 故答案为：. 10．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在半径为的中，是直径，是弦，交于点，与交于点．若是的中点，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角是直角、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键．由是的直径，得到，由得，，则，通过证明，得到 ，， 从而求得的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：是的直径，的半径为， ，， 交于点， ，， 是的中位线， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 故答案为： ． 11．（2026·浙江·一模）如图，四边形内接于，，连结，若与的面积相等，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，同弧或等弧对的圆周角相等，全等三角形的判定和性质．分别过A，C作，垂足分别为E，F，设交于点G，则，与的面积相等，可得，证明，可得，再证明，即可求解． 【详解】解：如图，分别过A，C作，垂足分别为E，F，设交于点G，则， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，内接于，，以点为圆心，适当长度为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交于点，连接，，若的半径为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】连接、，过点作于点，由题意可知，平分，四边形内接于，得到，，进而得到，，推出，得到是等边三角形，，由勾股定理求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点， 由题意可知，平分，四边形内接于， ，， ，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，垂径定理，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 13．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，已知，以为直径的分别交，于点D，E，连接，，若，的半径为4，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，三线合一，勾股定理，熟练利用相关性质是解题的关键． 通过得到，再利用圆内接四边形和角度的转换得到，可利用三线合一得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·天津河西·期末）如图，中，是的直径，另两边，分别交于点D和点E，与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)请你在图中再找出一对相似三角形，并说明相似的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，直径所对圆周角为，圆周角定理，解决本题的关键是结合圆的相关知识证明相似三角形． （1）由直径所对圆周角为可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，由此可证明相似； （2）根据两对对应角相等证明相似即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴，则， ∴， 又， 在与中， ， ∴； （2）证明：在与中， ， ∴； 在与中， ， ∴； 在与中， ， ∴； 在与中， ， ∴； 在与中， ， ∴； 在与中， ， ∴； 15．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，四边形内接于，平分，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若经过圆心O，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理和相似三角形的判定即可证明； （2）求出，过点作于E，结合勾股定理求出和，进而求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， ， ∽， ， ； （2）解：∵为直径， ， ∵平分， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ∴， 解得， ， 过点作于E， 在中，，， ∴， 解得， ， 在中，，， ， ． 16．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在中，，以为直径的分别交于点，过点作的垂线交的延长线于点． (1)求证：； (2)过点作于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质． ()连接，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可解决问题； ()证明，可得，由此求出． 【详解】（1）证明：连接， ∵是直径， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26九年级上·湖北荆州·月考）如图，在中，是直径，，点E在上，，与的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由推断出，根据圆周角定理可得，，通过证明，可证； （2）连接，根据垂径定理可得，，使用勾股定理计算出．由三角形的面积公式，可计算出，再次使用勾股定理计算出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵直径， ∴， 在直角中，， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 在直角中，． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握好圆的基本性质是解题关键． 18．（25-26九年级上·浙江·期末）如图，是中的中点，点在上，交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角、弧和弦之间的关系，相似三角形的判定与性质，根据圆周角、弧和弦之间的关系，找到相等角从而得到相似三角形是解题关键． （1）先利用点E为中点，得到．从而得到，再借助公共角即可证明结论； （2）利用（1）中的相似三角形得到对应线段的比例关系，再代入得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）证明：点是的中点， ∴， ∴， ， ∴． （2）解：由（1）得． ∴，即， ，， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴． 19．（2025九年级上·山东·专题练习）如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查圆周角定理的推论，勾股定理，余角的性质，掌握圆周角定理，等腰三角形的三线合一是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，根据等角的余角相等证明结论； （2）过点B作于H，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点B作于， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26九年级上·江西赣州·期中）【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，根据圆周角定理可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由（1）可知，结合得到，，推出，则，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1）如图①，连接，， 在中，，， ； （2）由（1）可知， ， ，， 如图②，连接，，过点作于点， ， ， ， ， ， ． 21．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，点C为圆上的点，连接，，的平分线交于点D，连接，． (1)若，，求的长． (2)延长于点E，使得，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由为的直径，得到，利用勾股定理求出的长，再通过证明是等腰直角三角形，即可求出的长； （2）根据圆内接四边形的性质得到，根据平角的定义得到，则有，再由得到，推出，再证明，利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、圆内接四边形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 22．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，点P是外接圆上的一点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，．点M为上一点，过P作于D点，求证：； (3)如图3，点Q是上一动点（不与A，P重合），连，，．求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得出结论； （2）作，交的延长线于，如图2，证明，由全等三角形的性质可得出，证出四边形为正方形，得出，则可得出结论； （3）作于，如图3，由（2）得，证出为等腰直角三角形，得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， 为直径， ， ， ， ， ； （2）证明：作，交的延长线于，如图2， ，，， 为直径， ， ， 四边形为矩形， 在和中， ， ， ， 四边形为正方形， ， ； （3）解：作于，如图3， 由（2）得， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 23．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，在中，，点是的中点，过，，三点的交于点，的半径为． (1)如图，连接，当恰好是的直径时． 求证：； 若，求的度数（用的式子表示）； 求的长； (2)如图，求的最大值． 【答案】(1)见解析；；； (2)． 【分析】（）连接，由圆周角定理得，所以，则，又，从而得，然后通过等角对等边即可求证； 通过三角形外角性质得，再由直角三角形性质即可求解； 由勾股定理得：，即有，求得即可； （）过点作于点，连接，由勾股定理得，，所以，从而得，当为直径时，有最大值，即取到最大值． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：∵，， ∴， ∴， ∴； 解：由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，连接，如图， 由勾股定理得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ∴当为直径时，有最大值，为， ∴取到最大值． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，圆的有关性质，三角形外角性质，直角三角形性质，完全平方公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 24．（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图，四边形内接于，对角线是的直径，连接，，若． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理等知识点． （1）根据，利用垂径定理可得，再根据“在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等”可得，即证平分； （2）由是的直径可得，根据勾股定理求出的长，在中，，再由即可求解． 【详解】（1）证明：对角线是的直径，， ， ， 平分； （2）是的直径， ， ， 在中，， 由（1）中得， ． 25．（25-26九年级上·山西大同·期中）阅读与思考 下面是小李同学的数学思考，请认真阅读并完成相应的任务． 对角互补的四边形存在外接圆我在学习完圆的相关知识后，知道“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，也就是任意一个三角形都存在外接圆．那任意一个四边形是否存在外接圆呢？思考学过的四边形，可以发现，平行四边形、菱形没有外接圆，矩形、正方形有外接圆．也就是说任意一个四边形不一定存在外接圆．那么一个四边形需要满足什么条件才有外接圆呢？结合学过的圆内接四边形的性质，圆的内接四边形对角互补，猜想对角互补的四边形存在外接圆．下面对我的猜想进行证明： 已知：如图1，在四边形中，． 求证：存在为四边形的外接圆． 证明：连接，作的外接圆． 假设四边形不存在外接圆，则点D不在上，即点D在外或内． 如图2，若点D在外，设与交于点M，连接，则． ∵， ∴． ∴，，矛盾． 如图3，若点D在内，…… 因此，假设不成立，点D在上，存在为四边形的外接圆，即对角互补的四边形存在外接圆． 任务： (1)小李同学的数学思考中用到的证明方法是______． (2)补全小李同学的证明过程． (3)如图，已知，作四边形，使得四边形存在外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】(1)反证法 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，反证法，分类讨论的思想方法，本题是阅读型题目，准确理解题干中的方法是解题的关键． （1）根据题意得小李同学的数学思考中用到的证明方法； （2）延长交于点N，连接，证明，与矛盾，可得结论； （3）作出的外接圆即可． 【详解】（1）解：小李同学的数学思考中用到的证明方法是反证法， 故答案为：反证法； （2）解：如图，延长交于点N，连接， 则． ∵， ∴． ∴，与矛盾． （3）解：如图，四边形即为所求． 26．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知如图①，四边形内接于．求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴可得______， ∵， ∴______，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． （3）结论运用：如图③，，点分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2），；（3）最小值 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）连接，首先根据圆周角定理可得，进而可得，同理，即可证明结论； （2）假设点落在外，交于点，连接，结合“圆内接四边形的对角互补”可知，进而可得，与得出矛盾，同理点也不会落在内，即可证明结论； （3）连接并延长，首先证明四点共圆，结合为等腰直角三角形，可推导，即点的轨迹在的平分线上，当时，取最小值，即可获得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，且， ∴， 同理， ∴； （2）若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴由（1）可得， ∵， ∴，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． 故答案为：，； （3）连接并延长，如图， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点的轨迹在的平分线上， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值， ∴的最小值为． 27．（2025·河南新乡·三模）阅读下列材料，并完成相应学习任务： 我们知道，圆内接四边形的对角互补，那么过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆吗？学习小组经过探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．下面是学习小组的证明过程： 已知：在四边形中， 求证：过点、、、可作一个圆． 证明：假设过点、、、四点不能作一个圆，设过点、、三点作出的圆为．分两种情况讨论． ①如图（），若点在内．延长交于点，连接． 是的外角， ． ，， ，与矛盾， ②如图（），若点在外．设交于点，连接． 是的外角， ． ，， ，与矛盾． 综上可知，假设不成立，故过点、、、可作一个圆． 学习任务： (1)在以上应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是______． (2)应用上述结论，解决以下问题： 如图（3），在四边形中，，对角线，交于点． ①若，求的度数； ②若，，求的长． 【答案】(1)分类讨论思想 (2)①；② 【分析】（1）根据题意，分点在圆内与圆外两种情况讨论； （2）①根据，可得过点A，B，C，D可作一个圆，根据等弧所对的圆周角相等即可求解； ②证明，设，则，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）根据题意，分点在圆内与圆外两种情况讨论 ∴应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是分类讨论思想； 故答案为：分类讨论思想． （2）①∵； ∴过点A，B，C，D可作一个圆，如图所示． ②， ． ， ， 又， ， ， ． 设，则， ， 解得，（不合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $