2026年中考数学二轮专题复习-二次函数压轴题（线段周长问题）

2026年中考数学二轮专题复习-二次函数压轴题（线段周长问题） 一、单选题 1．（2025九年级下·北京·专题练习）已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·月考）图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体是抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点， ，D是的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级下·浙江绍兴·自主招生）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是线段上一动点，过点分别作，的垂线，垂足分别为两点，则的最小值是（　　） A．3 B． C． D． 5．（19-20九年级上·浙江温州·月考）如图，抛物线交坐标轴于A、B、C三点，直线为抛物线的对称轴，E为对称轴与x轴的交点，点D为抛物线上一动点（D点在x轴下方），直线交直线于点M、直线交直线于点N，在点D从点A运动到点B的过程中，线段的变化趋势为（    ） A．一直在增大 B．一直不变 C．先增大后减小 D．先减小后增大 6．（2020·福建福州·一模）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA，求抛物线的解析式（　　） A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x﹣4 D．y＝x2﹣2x﹣5 7．（2017·福建厦门·一模）在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线的对称轴l 交x 轴于点M，直线 y＝mx－2m（m＜0）与该抛物线x 轴上方的部分交于点A，与l 交于点B，过点A 作AN⊥x 轴，垂足为N，则下列线段中，长度随线段ON 长度的增大而增大的是(      ) A．AN B．MN C．BM D．AB 8．（2023·四川宜宾·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，的半径为2，G为上一动点，P为的中点，则的最大值为（　　） A． B． C． D．5 9．（2024·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，且）经过和两点．已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 10．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点的坐标为，连接，．下列结论错误的是（    ） A．直线，关于轴对称 B．当时，的值随的增大而增大 C．当时， D．的面积的最小值为 二、填空题 11．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数，点A在该图像的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点B，C，则的最大值为 ． 12．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点，当的周长最小时，则此时的面积为 ． 13．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标是____________． 14．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数（是常数，且）的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．当的最小值等于时，则的值为 ． 15．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围为 ． 三、解答题 16．（青海省海东市2025-2026学年九年级上学期期末学业质量评估数学试卷）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知点为抛物线上一动点（不与重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上运动时，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求的最大值． 17．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，抛物线：的对称轴为，且与y轴交点的纵坐标为． (1)求b，c的值； (2)若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），求A、B两点的坐标； (3)抛物线：经过抛物线的顶点P． ①请判断抛物线的顶点Q是否在抛物线上，并说明理由； ②若，点E是在点P和点Q之间抛物线上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，直接写出长度的最大值． 18．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交于点Q，过点P作x轴的平行线交y轴于点F，过点Q作x轴的平行线交y轴于点E，求矩形的周长最大值及此时点P的坐标． 19．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)设点Q是线段上的动点，作直线轴于点D，交抛物线于点E，求线段长度的最大值． 20．（25-26九年级上·福建莆田·月考）如图，已知抛物线L：经过点，． (1)确定该抛物线的函数表达式； (2)连接，交抛物线L的对称轴于点D． ①求点D的坐标； ②将抛物线L向左平移个单位长度得到抛物线．抛物线L的对称轴交抛物线于点E，抛物线的对称轴交抛物线L于点F．当时，求m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学二轮专题复习-二次函数压轴题（线段周长问题）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A D B A C A C B 1．D 【分析】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题；根据题意先求得直线为，设，则，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，      当时， 解得： ∴ 当时， ∴ 设直线为， ∴ ∴ 直线为 设，则， ∴ ∵， ∴当时，的长度随增大而减小 ∴的取值范围是 故选：D． 2．D 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 3．A 【分析】以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图，利用三角形的内角和定理，结合等腰直角三角形的性质得到，故当最大时，最大；根据坐标与图形性质，结合等腰三角形的判定与性质求得；然后利用待定系数法求得直线的解析式为，抛物线的解析式为，设，则，利用二次函数性质求得的最大值为，可得的最大值为，根据旋转性质可得倾斜后酒杯内红酒的最大深度是的最大值，即可求解． 【详解】解：以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图， ∵，， ∴， ∴，故当最大时，最大； ∵高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为． ∴轴，， 则，，， ∴，， ∴，则， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得，则， ∴抛物线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， 当时，最大，最大值为， 此时，的最大值为， ∵高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示， 则此时酒杯内红酒的最大深度就是图1中的最大值， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，建立合适的平面直角坐标系，得到倾斜后酒杯内红酒的最大深度就是的最大值是解答的关键． 4．D 【分析】令抛物线解析式中和，求出与坐标轴交点，计算得；再利用三角形面积关系，得出，进而推导出；接着令，分和两种情况，结合全等三角形（）、相似三角形（）的判定与性质，以及角平分线性质等，计算得出的最小值为． 【详解】解：对于抛物线，令，即， 解得， ， ， 令，则， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 令，则， 当时，， 在内，随m的增大而减小， 当，即时，有最小值， 平分， 在和中，， ， ， 而， ， ，即， 解得，； 当时，与上面的解题过程相同． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求解、待定系数法求一次函数解析式及一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质。解题关键是通过证明（利用三角形面积关系建立等式），再结合角平分线性质推导全等与相似三角形，最后分区间用三角形三边关系及一次函数的性质确定的最小值． 5．B 【分析】根据题意，分别解得点A、B、C、E的坐标，设，分别解得直线BD、AD的表达式，再进一步解得交点M、N的坐标，即可解得线段EM、EN 的长，据此解题． 【详解】抛物线的对称轴为 直线为 E为对称轴与x轴的交点， 点D为抛物线上一动点，设 令x=0，解得y=-3， 令y=0，则 设直线的表达式为，代入点B、D 得 直线的表达式为 设直线的表达式为，代入点A、D 得 直线的表达式为 直线交直线于点M 解得 同理直线交直线于点N， 解得 的长度不变， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的综合，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键． 6．A 【分析】由抛物线与y轴的交点坐标可求OC得长，根据OB＝OC＝3OA，进而求出OB、OA，得出点A、B坐标，再用待定系数法求出函数的关系式. 【详解】解：在抛物线y＝ax2+bx﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，点C（0，﹣3） ∴OC＝3， ∵OB＝OC＝3OA， ∴OB＝3，OA＝1， ∴A（﹣1，0），B（3，0） 把A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3得： a﹣b﹣3＝0，9a+3b﹣3＝0， 解得：a＝1，b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 故选：A． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式；是一道二次函数综合题. 7．C 【分析】找出AN、MN、BM以及AB随ON变化的情况，即可得出结论． 【详解】解：如图： 直线 y＝mx－2m（m＜0）与x轴交于（2，0） 当线段ON 长度增大时，M逐渐变小， 当直线 y＝mx－2m（m＜0）与该抛物线交于对称轴左侧时，MN，AB逐渐变小； 如果交于对称轴右侧时，随着ON的增大AN逐渐变小； 只有BM才会逐渐变大 故选C． 【点睛】本题以平面直角坐标系，二次函数为平台，考查了坐标几何，数形结合法，分类讨论等知识，解题关键在于用根据点A的可能位置（在对称轴的左侧与右侧）进行分类讨论． 8．A 【分析】根据抛物线解析式可求得点A、B、C点坐标，由三角形中位线的性质可得，求出长，再加长可得长，易知的最大值. 【详解】解：令得或， 如图，连接， P为中点，D为中点， ， 当最大时，最大，由圆的性质可知当点G、C、B三点共线时，最大， 此时， 所以的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合，涉及了三角形中位线的性质及勾股定理，灵活利用三角形中位线的性质将所求线段的最大值转画为圆外一点到圆上一点的最大值是解题的关键. 9．C 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，构建不等式解决问题． 由，得，，则其顶点坐标为，可知当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，分两种情况：当顶点在线段上方时，当顶点在线段上时，分别讨论即可求解． 【详解】解：将，代入中， 得，解得：， ∴，，则其顶点坐标为， 当时，，当时，， 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 当顶点在线段上方时，，即：， ∵当时，随增大而减小， ∴此时，抛物线与线段有一个交点， 即：在上方，在下方， ∴，可得； 当顶点在线段上时，，可得； 综上：或． 故答案为：或． 10．B 【分析】设，，其中，，联立得，即，可得，，待定系数法求直线的解析式为，直线与轴交点的坐标为，同理可得，直线的解析式为，直线与轴交点的坐标为．由，可知直线，与轴的交点关于轴对称，即直线，关于轴对称，进而可判断A的正误；如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，，，，，证明，则，可得，证明，则，可得，，由，，可得，即，为定值，进而可判断B的正误；当，联立得方程组，可求得，，由，，可得，进而可判断选项C的正误；根据 ，可知当时，的面积有最小值，为，进而可判断选项D的正误． 【详解】解：设，，其中，， 联立得，即， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为． 令，得， 直线与轴交点的坐标为． 同理可得，直线的解析式为，直线与轴交点的坐标为． ∴， 直线，与轴的交点关于轴对称，即直线，关于轴对称，故选项A正确； 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，，，，， 又∵， ∴， ∴， 解得， 由对称可知，为的角平分线， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴，即为定值，故选项B错误； 当，联立得方程组， 解得，或； ∴，， ∴，， ∴，故选项C正确； ∵ ， 当时，的面积有最小值，为，故选项D正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握二次函数与一次函数综合，一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 11． 8 【分析】此题考查二次函数的性质，二次函数的最大值，设点的坐标为，其中，由垂线性质可得，，则，代入抛物线解析式，得到，通过求二次函数的最大值即可求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值， 则的最大值为． 故答案为：8． 12．6 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，二次函数图象上的点的坐标特征以及待定系数法求解析式，作出B的对称点是本题的关键． 先求出点A、B坐标，再根据抛物线的性质，作出B关于y轴的对称点，连接交y轴于P，点P即为所求，再求出的面积即可． 【详解】解：如图，作出B关于y轴的对称点，则⊥y轴于点H，连接交y轴于P， 则点就是使的周长最小时的位置． ∵抛物线的对称轴是y轴，B、关于y轴对称， ∴点P在抛物线的对称轴上，且， ∴， ∴此时的周长最小， 当时，，当时，， ∴，， ∴=6，点H的坐标是， ∵， ∴点A到的距离为， 设直线的直线方程为，把点A和点的坐标代入后得到， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴P点的坐标为 ∴， 此时， 即的面积为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 联立二次函数和一次函数求得A、B两点坐标，因为长度不变，所以当最小时，即的周长最小．过点A作y轴的对称点，连接交y轴于点，当三点共线时，最小，即的周长最小，利用待定系数法求出直线的函数表达式，即可求出点P坐标． 【详解】解：直线与抛物线交于A、B两点， 联立，得或， ，， ． 过点A作y轴的对称点，连接交y轴于点，如图所示． ． 不变， 当三点共线时，最小，即的周长最小． ， ． 设直线的函数表达式为，将，代入得， ，解得， ， 当时，． ． 故填：． 14．4 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，可求出点B和点C的坐标，得到线段的长，由对称性可知，则当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，由勾股定理求出的长，再根据的最小值等于，可建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，当时，， 当时，，整理得，即， 解得，， ∴，，， ∴； 由对称性可知， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∵的最小值等于， ∴， 解得， 故答案为：4． 15． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与线段交点问题，熟知二次函数的图象和性质及分类讨论思想是解题的关键． 由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴点在抛物线对称轴上， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴当时，将代入函数解析式得：，解得， 将代入函数解析式得：，解得， ∴； 当时，， ∴顶点在点A下方， ∴抛物线与线段没有交点， 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）设点，可得，，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：∵直线过点，点在轴上， ，   又， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设点， ∵轴，轴， ∴，， ，， ， ∵点在直线上方的抛物线上运动， ， ∴当时，取得最大值，最大值为． 17．(1)b的值为，c的值为 (2)， (3)①抛物线的顶点Q在抛物线上，见解析；② 【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数最值，二次函数顶点、对称轴，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． （1）根据二次函数的性质即可解答； （2）把代入函数解析式即可解答； （3）①求得顶点P的坐标，代入，得到之间的关系，求得抛物线的顶点Q，代入即可判断； ②设点E的横坐标为，表示出的长度，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：抛物线：的对称轴为， ， 解得， 抛物线与y轴交点的纵坐标为， ； （2）解：根据（1）可得抛物线的解析式为， 令， 解得， 点A在点B左侧， ，； （3）解：①抛物线的顶点Q在抛物线上，理由如下： ， ， 把代入抛物线：， 可得， ， 抛物线：， ， 把代入：， 可得， ， 把代入抛物线：， 可得， ∴抛物线的顶点Q在抛物线上； ②， ， ∴抛物线：，， 设，则， ， ， ， 当，取最大值为． 18．(1)； (2)矩形的周长最大值为，此时点P的坐标是． 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求一次函数解析式，矩形的性质，二次函数的性质． （1）把代入求解即可； （2）求出，进而求出直线解析式，设，则，则，根据矩形的性质得到，求出矩形的周长的解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴， 设直线解析式为，把代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵矩形， ∴， ∴矩形的周长为， ∴当时，矩形的周长最大值为，此时点P的坐标是． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）求出直线解析式为，设点，则点，根据二次函数的最值求法，可求的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴点， 设直线解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设点，如图， 则点， ， ∵， 当时，有最大值，最大值为． 20．(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的平移，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）由（1）可得二次函数解析式，即得抛物线L的对称轴为直线，，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入计算即可求解； （3）根据平移可得的解析式为，进而可求出点E，F的坐标，最后根据列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线L：经过点，， 将点A、点B的坐标代入得： ， 解得， 即，， 该抛物线的函数表达式为； （2）①由（1）得：抛物线L的解析式为， 抛物线L的对称轴为直线， 由图可知，抛物线与y轴相交于点C， 当时，得， ， 设直线的解析式为，将点B，点C的坐标代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 直线：交抛物线的对称轴于点D，如图， 当时，得：， ； ②， 将抛物线L向左平移个单位得到抛物线，的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ， 把代入得：， ， ， 或， 整理得：或， 解得，（舍去），，（舍去）， 的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $