精品解析：河南省三门峡市义马市2025～2026学年高二上学期期末诊断性考试数学试题

2025~2026学年度第一学期期末诊断性考试 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 5.考察内容：人教A版选择性必修第一册~选择性必修第二册5.2节止. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知函数，则的值为（ ） A. -1 B. 3 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据题意，，则， 由导数的定义知，． 故选：C． 2. 是等差数列，…，，，…的（ ） A. 第1013项 B. 第1012项 C. 第1011项 D. 第1010项 【答案】C 【解析】 【分析】首先求等差数列的通项公式，再根据项求序号，即可求解. 【详解】由条件可知，等差数列的首项是，公差是， 所以等差数列的通项公式为， 令，得. 故选：C 3. 若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设，将两圆方程作差即可得公共线方程. 【详解】由题设，将两圆作差，有， 整理可得，即公共弦所在直线为. 故选：B 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和结合等差数列的项的性质计算即得. 【详解】已知等差数列的前n项和为，， 所以，所以. 故选：B. 5. 已知是各项均为正数的等比数列，且，是关于x的方程的两个实数根，则（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得：，结合对数运算知识整理，代入计算得解． 【详解】是关于的方程的两个实数根，则， 由等比数列的性质可得：， ，， 所以 故选：D. 6. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，运用转化思想，把问题转化为直线与圆有公共点问题，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】设， 问题可转化为直线与圆有公共点． 由，得，所以的取值范围为， 故选：A 7. 已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 8. 设为数列的前项积，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，结合已知可推出当时，，从而求得，利用即可求得答案. 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则由可得， 即，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复合函数的导数公式判断A，应用对数求导公式判断B，应用除法及乘法的对数运算律计算判断C，D. 【详解】对于A，由复合函数的导数公式得 ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线（为切点），则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当轴时，四边形的面积为 C. 原点到直线距离的最大值为 D. 的外接圆恒过两个定点 【答案】AD 【解析】 【分析】直接证明切线长可判断A，举反例判断B，用求两圆公共弦所在直线方程法求出直线方程，然后求点到直线的距离可判断C，用参数表示求出的外接圆方程，利用恒等式知识求得两定点坐标后判断D． 【详解】A选项，由题意得，，则． 设，所以，故A正确； B选项，由于满足条件，但此时，故B错误； C选项，设点到的距离为，以为直径的圆的方程为，即， 两圆方程相减得的方程为， 所以，故C错误； D选项，由可知，的外接圆是以为直径的圆，由C可知圆的方程为，即， 由，解得或，故该圆恒过和，故D正确． 故选：AD． 11. 已知椭圆的方程是，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点，使得的面积为1 C. 椭圆上存在6个不同的点，使得为直角三角形 D. 内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据椭圆的定义求解即可；对B，根据椭圆的性质判断即可；对C，根据，或，可判断；对D，根据的面积表达式分析内切圆半径的最大值，正弦定理得外接圆半径的最小值即可. 【详解】A，椭圆的方程是，且焦点在轴， 由椭圆的定义可得的周长为，得，正确； B，根据椭圆性质，， 的面积最大值为， 所以存在点，使得的面积为1，正确； C，若为直角三角形，当，存在两个这样的点， 当，存在两个这样的点， 当，可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括两点， 因为，所以圆与椭圆有四个交点， 即椭圆上存在4个不同的点，使得， 所以椭圆上存在8个不同的点，使得为直角三角形，错误； D，的周长为，设的内切圆半径为， 则，故当最大时最大，此时为上（下）顶点， ，则，解得， 设的外接圆半径为，根据正弦定理，， 根据C选项，可知存在点P使得，则，此时， 所以内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为，正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线在点处的切线为，则实数的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，根据斜率和函数值进行计算即可. 【详解】求导得，因为曲线在点处的切线为， 则，所以，解得． 故答案为：. 13. 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据双曲线方程求出其焦点坐标，再结合抛物线准线方程与双曲线焦点的关系，求出p的值，进而得到抛物线的标准方程. 【详解】设双曲线的焦距为， 由双曲线的方程可得：，解得：， 所以双曲线的焦点坐标为：， 因为抛物线的准线方程为：，且，所以， 故双曲线的焦点在抛物线的准线上， 由题意可得，解得：， 所以抛物线的方程为：， 故答案为：． 14. 若数列满足为常数)，则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数列新定义有为等差数列，再由等差数列前n项和公式及下标和的性质得，最后应用基本不等式求的最大值. 【详解】因为数列为调和数列，所以，故为等差数列. 由，得，所以， 所以，故，故 由于， 此时，故的最大值为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线过点的切线方程. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用点斜式即可得到切线方程； （2）设过点的切线与曲线相切于点，然后根据曲线在点处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果． 【小问1详解】 由题意得，则在点处的切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 设曲线与过点的切线相切于点， 设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为， 则，解得或， 则曲线过点处的切线方程为和. 16. 已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点． （1）求圆的标准方程； （2）圆的方程为，若圆与圆的公共弦长为，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据圆心在直线上和切线的性质列出方程组得出圆心坐标，然后根据两点间的距离公式得出半径即可求出圆的标准方程； （2）首先求出圆的公共弦方程，然后求出弦心距，最后利用勾股定理就可求解. 【小问1详解】 设圆心， 由题意得，解得，，则半径， 故圆的标准方程为． 【小问2详解】 圆，圆心，半径． 两圆方程相减，得公共弦所在直线：． 圆心到该直线的距离（弦心距）：． 在圆中，公共弦长，可得，解得或， 均满足且两圆相交，符合题意．故实数的值为或． 17. 如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，. （1）在棱（包括端点和）上是否存在点，使得平面？若存在，求的长，若不存在，说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）存在，2 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及平面的法向量，结合线面平行时向量关系求解即可. （2）求出平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 连接，交于点，则为，中点， 因为，，所以，为等边三角形， 所以. 又因为，，所以为等边三角形， 所以，平面， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面， 所以. 以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， 则，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以. 设，则， 因为平面，所以，即，解得， 此时点与重合，则. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以. 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知各项均为正数的数列，其前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和； （3）若，求数列的前项和为 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用的关系求递推公式，然后因式分解，结合已知可得为等差数列，然后可得通项公式； （2）利用错位相减法求和即可； （3）利用裂项相消法即可得解. 【小问1详解】 当时，由，得，得， 由，得，两式相减， 得，即， 即. 因为数列各项均为正数，所以，所以 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 因此， 【小问2详解】 由（1）得， ， 则， 两式相减得 【小问3详解】 由（1）知，所以. 所以. 所以 19. 已知双曲线：的离心率为，且过点．抛物线C：的焦点与双曲线的右焦点重合． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线l：与抛物线C交于A，B两点，与双曲线的左、右两支分别交于C，D两点． （ⅰ）探究是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由； （ⅱ）求的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）存在，；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件建立，，方程，求得，即可. （2）（ⅰ）由（1）可求得抛物线方程，分别将直线l双曲线和抛物线联立方程组，利用弦长公式求得，，结合求得的值. （ⅱ）设点到直线l的距离为，利用点到直线的距离公式求得，结合（ⅰ）表示，利用导数求出最小值. 【小问1详解】 由已知可得，，， 又双曲线过点，，，， 双曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可知，双曲线的右焦点为， 抛物线C：，设，，如图所示： 由，得，，，， ， 设，，由，得， 直线l与双曲线的左、右两支分别交于，两点，，， ，，， 由，可得，，， ，，，， 故存在实数满足条件，且. （ⅱ）设点到直线l的距离为，则， 令，由（ⅰ）知，， 令，， 故当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增，， 的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末诊断性考试 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 5.考察内容：人教A版选择性必修第一册~选择性必修第二册5.2节止. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知函数，则的值为（ ） A. -1 B. 3 C. 8 D. 16 2. 是等差数列，…，，，…的（ ） A. 第1013项 B. 第1012项 C. 第1011项 D. 第1010项 3. 若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 34 5. 已知是各项均为正数的等比数列，且，是关于x的方程的两个实数根，则（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 18 6. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设为数列的前项积，已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线（为切点），则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当轴时，四边形的面积为 C. 原点到直线距离的最大值为 D. 的外接圆恒过两个定点 11. 已知椭圆的方程是，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点，使得的面积为1 C. 椭圆上存在6个不同的点，使得为直角三角形 D. 内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线在点处的切线为，则实数的值为___________． 13. 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为__________． 14. 若数列满足为常数)，则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线过点的切线方程. 16. 已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点． （1）求圆的标准方程； （2）圆的方程为，若圆与圆的公共弦长为，求实数的值． 17. 如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，. （1）在棱（包括端点和）上是否存在点，使得平面？若存在，求的长，若不存在，说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知各项均为正数的数列，其前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和； （3）若，求数列的前项和为 19. 已知双曲线：的离心率为，且过点．抛物线C：的焦点与双曲线的右焦点重合． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线l：与抛物线C交于A，B两点，与双曲线的左、右两支分别交于C，D两点． （ⅰ）探究是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由； （ⅱ）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $