专题09 三角函数的图象与性质的综合应用（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数的图象与性质综合应用，涵盖三角恒等变换、图象变换、性质应用等核心考点，按考情精解、知能框架、题型攻坚分层构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破角的配凑、ω范围确定等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义以核心素养为导向，如在三角恒等变换中设计角的配凑专题训练逻辑推理能力，在图象性质中通过数形结合培养几何直观，设置基础真题与模拟题分层练习。通过考向预测与方法总结，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

专题09 三角函数的图象与性质的综合应用 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点一 三角恒等变换 3 真题动向 必备知识 知识1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 知识2二倍角公式 命题预测 考向1角的配凑 考向2三角恒等变换的综合 考点二 三角函数的图象与性质 12 真题动向 必备知识 知识1正弦函数、余弦函数的图象与性质 知识2正切函数的图象与性质 知识3图像变换 命题预测 考向1三角函数对称性、奇偶性的综合 考向2三角函数的单调性 考向3三角函数的最值问题 考向4三角函数中的w范围 考向5三角函数的解析式问题 考向6三角函数图象的平移伸缩问题 考向7绝对值与三角函数的综合问题 命题轨迹透视 近三年全国卷中，三角函数图象与性质为核心高频考点，考查形式稳定且层次分明。选择题、填空题聚焦图象变换（平移、伸缩）、解析式确定，及三角恒等变换的求值化简，题型基础，难度偏低；解答题多与性质应用结合，涉及单调区间、最值、值域、参数求解，常融入三角恒等变换、解三角形，凸显知识关联性，难度适中。命题避免偏怪，侧重基础考点的灵活迁移。 核心考查图象变换规律、解析式求解、性质应用及三角恒等变换工具性。能力上要求熟练掌握三角公式，具备图象分析与数形转化能力，能精准进行运算化简，灵活整合跨模块知识解决问题。强调逻辑推理与运算严谨性，是高考中得分的关键板块，全面检验基础核心素养与知识综合应用能力。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 三角恒等变换 一卷T11，6分 二卷T8，5分 I卷T4，5分 II卷T13，5分 甲卷（文）T9，5分 I卷T8，5分 II卷T7，5分 三角函数的图象与性质 一卷T4，5分 二卷T15，13分 I卷T7，5分 II卷T6、T9，11分 I卷T15，5分 II卷T16，5分 甲卷（理）T10，5分 甲卷（文）T12，5分 乙卷（理）T6，5分 乙卷（文）T10，5分 2026命题预测 2026年全国卷三角函数图象与性质考查将保持稳定，形式仍以选择、填空+解答题为主。选择填空聚焦图象变换、解析式确定及三角恒等变换求值；解答题延续与性质应用、解三角形的融合。难度适中，或在情境设计上略有创新，侧重公式熟练运用、数形转化与运算精准性，凸显基础核心素养与知识综合应用能力。 考点一 三角恒等变换 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题，7，5分）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题，9，5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题，4，5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 4．（2025·全国二卷·高考真题，8，5分）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，8，5分）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，13，5分）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 知识1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） 记忆口诀：“CCSS，符号改变”； （3）；（4） 记忆口诀：“SCCS，符号不变”； （5） （6） 辅助角公式：，其中，， 知识2二倍角公式 （1） （2） （3） 常用变形：降幂公式：；； 考向1角的配凑 1．（2025·四川乐山·三模）已知，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 且， 故， 故. 故选：A 2．（2024·广东潮州·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 又由，得，即， ，即． 故选：D 3．（2024·湖南永州·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 4．（2025·河北唐山·模拟预测）若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因则.又，则， 可得. 又则 由，可得 由 . 因则 . 故选：A. 5．（2024·河北沧州·二模）已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因为所以则 所以 则， 因为，所以， 又则， 所以 故 因为所以 则. 故选：A. 6．（2025·黑龙江鹤岗·三模）设，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设， 所以， 因为，，则，又， 所以或，即或（舍）， 故． 故选：D 考向2三角恒等变换的综合 7．（2025·辽宁锦州·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，即，即， 得，又因为， 所以， 因此. 故选：B. 8．（2025·四川攀枝花·一模）已知，则（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】D 【详解】因为 ， 所以，又，所以， 又， 解得，所以. 故选：D. 9．（2025·四川遂宁·一模）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设 ，，则， 已知，即； 已知，即， 由得：，即 设，则， 又，解得， 因此， 所求， 综上，. 故选：D 10．（2024·湖南常德·模拟预测）（多选）已知实数x，θ满足则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A选项，若，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 又，，故只有时，等号成立，此时， 若，可得，当且仅当时，等号成立， 又，，故只有时，等号成立，此时， 综上，，A错误； B选项，当时，，满足要求； 当时，，满足要求，B正确； C选项，，两边平方得， 即，C正确； D选项，当时，， ， 满足要求； 当时，， 此时， 故成立，综上，D正确. 故选：BCD 11．（2025·河北石家庄·模拟预测）已知满足，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：由得，即， 所以， 因为，所以， 因为， 所以， 所以 故答案为： 考点二 三角函数的图象与性质 1．（2025·全国一卷·高考真题，4，5分）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 2．（2023·全国乙卷·高考真题，6，5分）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 3．（2023·全国甲卷·高考真题，10，5分）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，6，5分）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 5．（2023·全国甲卷·高考真题，12，5分）若为偶函数，则 ． 【答案】2 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题，16，5分）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【答案】 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，9，6分）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 8．（2025·全国二卷·高考真题，15，13分）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 知识1正弦函数、余弦函数的图象与性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在()上单调递增;在上单调递减 在上单调递增; 在()上单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当时， 对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 知识2正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间内单调递增 知识3图象变换 1.对函数,的图象的影响（左加右减） 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、的图象经变换得到的图象 注意：由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 考向1三角函数对称性、奇偶性的综合 1．（2025·江西抚州·一模）函数（）的最小正周期为 ，若直线是图象的一条对称轴，则 . 【答案】 / / 【详解】①函数（）的最小正周期为； ②因为函数，令， 所以，又， 因为直线是图象的一条对称轴，所以， 化简得.又， 所以令，则. 故答案为：①；②. 2．（2025·云南保山·三模）函数（其中为自然对数的底数）的图象大致形状是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数，可得的定义域为， 又由， 所以为奇函数，图象关于原点对称，可排除A、C； 当时，可得，，所以， 则，所以， 即当时，，所以选项B符合题意. 故选：B. 3．（2025·广东河源·一模）已知函数在的最大值和最小值分别为，则 ． 【答案】2 【详解】设，， 则， ， 所以是奇函数， 又，， 所以，． 故答案为：． 4．（2025·河南平顶山·二模）已知函数，，则 . 【答案】7 【详解】令，定义域为， 且， 所以为奇函数， 所以， 即， 所以. 故答案为：7 5．（2024·黑龙江黑河·二模）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 6．若函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于函数，由可得， 所以函数图象的对称中心为， 又因为函数图象的对称中心也为， 故函数图象的对称中心为， 对于正弦型函数，由可得， 故函数图象的对称中心为， 故函数图象相邻对称中心间的距离为， 易知函数图象相邻对称中心间的距离为， 且原点为函数、的一个公共对称中心， 因为函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心， 故存在，使得，解得，C选项合乎要求. 故选：C. 考向2三角函数的单调性 7．（2024·广东韶关·一模）下列区间中，函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得，， 当时，的单调递减区间为； 经检验，仅是的子集，其余选项中的区间均不是其子集. 故选：B 8．（2025·安徽铜陵·三模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若和在上均单调递减，则m的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：，， 令，解得， 因为和在上均单调递减，则， 所以m的最大值为. 故选：B. 9．（2024·吉林白山·一模）已知函数的定义域为，若，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，，故函数在上单调递减， 又函数在上单调递增，所以在上单调递增， 由，得，又， 所以， 则且，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 10．（2025·广西来宾·模拟预测）（多选）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】， ， ， ， ， ， ， 即， 所以， 即，所以ABC正确，D错误， 故选：ABC. 11．（2025·四川南充·一模）若函数（），在 上单调递减，则a的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】利用辅助角公式得： （）， 其中， 因为 ，所以， 又因为，所以. 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以为了使得函数在 上单调递减，必须且只需， 所以， 所以,解得. 当时,在 上单调递减，符合题意. 故a的最小值为1. 故选：B 考向3三角函数的最值问题 12．（2025·广东汕尾·一模）若函数的最大值为，则常数的一个取值为 ． 【答案】（答案不唯一，只需，即可） 【详解】， ， 依题意，，即， 化简得，解得. 故答案为：（，即可）. 13．（2025·山西太原·模拟预测）已知函数 ，则（    ） A．其最小正周期为，最小值为0 B．其最小正周期为，最小值为0 C．其最小正周期为，最大值为 D．其最小正周期为，最大值为 【答案】C 【详解】因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以的最小正周期为. ， 由二次函数的性质知，当时，取得最大值，为； 当时，取得最小值，为. 故选：C. 14．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知函数在处取得最大值，若在处取得最大值，则与的关系可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，且， 由题意，则， ，则， 所以，则或均不可能， ，则不可能，时. 故选：C 15．（2024·河北承德·模拟预测）已知，若存在，，使得，则（    ） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】B 【详解】由题，即， 又， ∵，∴， 又， ∴，又，，， ∴，又在上单调递增， ∴有最大值，无最小值. 故选：B. 16．（2025·云南昆明·模拟预测）设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则， 则， 又因为，所以， 令，当单调递减，当单调递增， 所以当时，，当或时，， 所以的取值范围是. 故选：D. 考向4三角函数中的w范围 17．（2025·江西宜春·三模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 可知，解得 又，故的取值范围为 故选: 18．（2025·山东东营·一模）已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴， 根据函数的图像：    所以，整理得：． 故选：A． 19．（2025·吉林长春·模拟预测）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】； 当时，， ，，， 在上单调递增，，解得：， 即的取值范围为. 故选：D. 20．（2024·安徽黄山·模拟预测）已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由函数， 可得，可得函数为偶函数，其图象关于轴对称， 因为有5个零点，所以必有一个零点为， 则，可得， 所以函数的零点， 等价于函数与的图象在上的交点个数， 由，可得， 要使得函数与的图象在上有5个交点， 则满足，解得，即实数的范围为. 故答案为：. 21．（2025·黑龙江伊春·一模）已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，且时，， 由函数在区间上单调递增， 故，解得，即. 当时，， 由函数在区间内至少有一个零点， 则，解得. 综上所述，，则的取值范围是. 故选：B. 22．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数仅存在一个极值点和两个零点在区间内，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】设为的最小正周期，由题意可知，，即，解得， 由得，，，由得，， 又，所以，， 由余弦函数的图象可知，两个相邻零点之间必有一条对称轴，即存在一个极值点. 由题意或， 解得或， 故实数的取值范围为. 故答案为： 考向5三角函数的解析式问题 23．（2025·河北保定·一模）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知,,则 由图像根据五点法，当 时,对应得到, 即，因为，所以或， 当，验证单调递增区间： 令， 当时，为其一个增区间，由图象可得位于减区间上，矛盾， 所以. 故选：D 24．（2025·广西崇左·三模）（多选）如图，以某摩天轮某座舱P距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间t（单位：分钟）与座舱P距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为（，），且开始转动分钟后，座舱P距离地面的高度为32米，转动7.5分钟后，座舱P距离地面的高度为H米，该摩天轮转动一圈的时间为20分钟，则（   ）    A． B． C． D．该摩天轮座舱P距离地面的最大高度为110米 【答案】AC 【详解】已知周期 分钟，故 ，选项A正确； 初始位置 时高度最小，代入 ，且 （），得 ， 即 ；代入 时 ， 得 ，解得 ，选项B错误； 当 时，，选项C正确； 最大高度为 米，选项D错误. 故选：AC 25．（2025·河南周口·二模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．的最小正周期为 D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称 【答案】BCD 【详解】依题意，，解得， 函数的周期， 解得，则，由，得， 而，则，解得，A错误； 因此， 对于B，，B正确； 对于C，如下图：的最小正周期为，C正确；    对于D，，， 由正弦函数图象性质可知：的图象关于点对称，D正确； 故选：BCD 26．（2025·山东济宁·模拟预测）（多选）已知函数，其部分图象如图所示，其中B为最高点，，，则（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】BC 【详解】由题意，过点作轴的垂线，垂足为， 中，， ，， 解得，，的最大值为，故A错误； 根据，解得的周期，所以， ，结合， 即，，又属于函数的递减区间， 解得，所以，故C正确； 令，则或， 解得或，，所以，故B正确； 根据是周期为4的函数，可得是周期为12的周期函数， 所以， 结合，，， ，，，， 可得，故D错误. 故选：BC 27．（2025·河南开封·二模）已知函数的部分图象如图所示，则 ． 【答案】 【详解】从图象可以看出的最小正周期为，故， 又，故，所以，故， 又，故，故，解得， 又，即，故，故. 故答案为： 28．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的有 ① ②与时小球偏离平衡位置的距离之比为 ③当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 ④当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】②③ 【分析】 【详解】对于①：由题可知小球运动的最小正周期，又，所以，解得， 当时，，即， 又，所以，则，故①错误； 对于②：因为，， 所以与时小球偏离平衡位置的距离之比为，故②正确； 对于③：若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故③正确； 对于④：，令， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，此时，故④错误． 故答案为：②③ 考向6三角函数图象的平移伸缩问题 29．（2024·江苏宿迁·一模）2025年“九三”阅兵活动中，官兵步调一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为，将函数图像上所有的点向左平移个单位长度，可得函数的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得. 故选：A. 30．（2024·陕西榆林·模拟预测）想要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位 B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位 C．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 D．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 【答案】C 【详解】， 将函数的图像各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位，即可得出函数的图像， 故选：C． 31．（2025·湖南衡阳·一模）如果是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的点，则的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是函数图象上的一点，所以， 设点，因为就是函数图象上的点 所以，即， 所以， 所以， 求的减区间，即求的增区间， 令，解得，， 令，得一个减区间为，故D正确； 对于选项AB，函数在和上不单调， 对于C选项，函数在上单调递增， 故选：D 32．（2025·海南三亚·三模）已知函数，将其图象进行如下两种变换： ①先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）； ②先将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度． 若两种变换后得到的函数图象完全重合，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于①，将函数的图象先向左平移个单位长度， 可得到函数的图象， 再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），可得到函数的图象， 对于②，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）， 可得到函数的图象，再将所得图象向左平移个单位长度， 可得到函数的图象， 因为两种变换后得到的函数图象完全重合，所以， 因为，所以，又因为，故， 又因为，故，即. 故选：C. 33．（2024·四川雅安·一模）已知函数. (1)求的值； (2)求的最小正周期和单调递增区间； (3)将函数图象上各点横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到的图象，若锐角满足，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）. 代入 ，得： （2）最小正周期 ； 由 ，解得， 即单调递增区间为 . （3）将函数图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍得 ， 再向左平移 个单位得：， 由 ，得 ，即 . 因为 为锐角， 所以 ，， . 考向7绝对值与三角函数的综合问题 34．（2025·江苏苏州·三模）若函数的最大值为 【答案】 【详解】∵，且， ∴，∴， ∴， ∵在上单调递增，∴在上单调递减， ∴， 故答案为：. 35．（2025·黑龙江七台河·二模）已知函数，则下列命题正确的是（   ） A．是以为周期的函数 B．直线是曲线的一条对称轴 C．函数的最大值为，最小值为 D．函数在上恰有个零点 【答案】C 【详解】对于A，因为， 所以不是以为周期的函数，故A错误； 对于B，因为，， 显然，故B错误； 对于C，易知是函数的一个周期，所以只需考虑在上的最大值. ①当时，，令， 则，对称轴为， 易知在区间上的最大值为，最小值为， ②当时，，令， 则，对称轴为， 知在区间上的最大值为，最小值为， 又，综上所述函数的最大值为，最小值为，故C正确； 对于D，先研究函数在上的零点个数， 由C可知，当时，令，得或（舍）， 又因为，且时，， 当时，单调递减，且， 所以在只有唯一解，即此时函数只有唯一零点. 当时，令，得到， 又，且时，， 又时，，且时，单调递减， 所以，函数也只有唯一零点， 综上，在上有2个零点，且在和各有一个零点， 所以函数在上恰有2025个零点，故D错误. 故选：C. 36．（2024·陕西安康·二模）（多选）已知函数，关于函数下列说法正确的是（    ） A．为的一个周期 B．关于直线对称 C．的值域为 D．在上单调递减 【答案】CD 【详解】由，作出的图象如下图： 对于AB，由图象知，A，B错误； 对于C，由图象得的值域为，故C正确； 对于D，由图象在上单调递减，故D正确. 故选：CD. 37．（2024·辽宁阜新·三模）（多选）已知函数，，则（   ） A．的最小正周期为 B．直线为图象的一条对称轴 C．若在区间上单调递增，则 D．存在，使得在区间上恰有2025个零点 【答案】ABD 【详解】对于A,由于函数的最小正周期为，且，故的最小正周期为，因此的最小正周期为和的最小公倍数，故的最小正周期为，A正确， 对于B, ,而故直线为图象的一条对称轴，B正确， 对于C，当时，，令当时，，则，且在单调递增， 故单调递增，则需要，故，因此若在区间上单调递增，则，故C错误， 对于D,由C选项可知：,令，则，故或， 当时，则,则，当时，此时符合的共有1013个， 当，或解得或故当时，符合条件的有，和共有1012个， 当，且时，此时，令，则，故或， 由于，当时，，故，故当，无零点， 综上可知：当时，在区间上恰有2025个零点，故D正确， 故选：ABD 38．（2024·甘肃庆阳·一模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．关于直线对称 B．的最小正周期为π C．是偶函数 D．的最大值为4 【答案】AC 【详解】由题可知：函数的定义域为， 对A，， 所以关于直线对称，故A正确； 对B，由， 所以也是函数的一个周期，所以B错误； 对C，，所以是偶函数， 所以C正确； 对D，由，所以若，则， 此时，故D错误. 故选：AC 39．（2025·广东茂名·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的最小正周期为 C．的最小值为 D．在上有四个不同的实数解 【答案】BD 【分析】 【详解】方法一：由， 则，，则， 所以不可能关于对称，A错误； 因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 则的最小正周期为，B正确； 当时，，当时，； 当时，，作出函数大致图象，如图， 则，C错误， 在有4个根，D正确. 方法二：由， 作出和的图像，取位于上方的部分即可：    由图可知，AC错误，B正确， 对于D，计算知与在内的交点坐标为， 而，结合函数的图象特征可知函数与图象在内有四个交点， 所以在上有四个不同的实数解，故D正确. 故选：BD. 40．（2025·广西柳州·三模）已知函数，. (1)求，的值； (2)求的最大值并写出取得最大值时的集合； (3)定义，，求函数的最小值. 【答案】(1)； (2)，； (3) 【分析】 【详解】（1）； （2）对于两边平方得，， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，此时，即，解得. 所以的最大值为，且对应的的集合为； （3）由（2）可知，，， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，， 综上，， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，函数有最小值. 所以函数的最小值为. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 三角函数的图象与性质的综合应用 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点一 三角恒等变换 3 真题动向 必备知识 知识1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 知识2二倍角公式 命题预测 考向1角的配凑 考向2三角恒等变换的综合 考点二 三角函数的图象与性质 6 真题动向 必备知识 知识1正弦函数、余弦函数的图象与性质 知识2正切函数的图象与性质 知识3图像变换 命题预测 考向1三角函数对称性、奇偶性的综合 考向2三角函数的单调性 考向3三角函数的最值问题 考向4三角函数中的w范围 考向5三角函数的解析式问题 考向6三角函数图象的平移伸缩问题 考向7绝对值与三角函数的综合问题 命题轨迹透视 近三年全国卷中，三角函数图象与性质为核心高频考点，考查形式稳定且层次分明。选择题、填空题聚焦图象变换（平移、伸缩）、解析式确定，及三角恒等变换的求值化简，题型基础，难度偏低；解答题多与性质应用结合，涉及单调区间、最值、值域、参数求解，常融入三角恒等变换、解三角形，凸显知识关联性，难度适中。命题避免偏怪，侧重基础考点的灵活迁移。 核心考查图象变换规律、解析式求解、性质应用及三角恒等变换工具性。能力上要求熟练掌握三角公式，具备图象分析与数形转化能力，能精准进行运算化简，灵活整合跨模块知识解决问题。强调逻辑推理与运算严谨性，是高考中得分的关键板块，全面检验基础核心素养与知识综合应用能力。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 三角恒等变换 一卷T11，6分 二卷T8，5分 I卷T4，5分 II卷T13，5分 甲卷（文）T9，5分 I卷T8，5分 II卷T7，5分 三角函数的图象与性质 一卷T4，5分 二卷T15，13分 I卷T7，5分 II卷T6、T9，11分 I卷T15，5分 II卷T16，5分 甲卷（理）T10，5分 甲卷（文）T12，5分 乙卷（理）T6，5分 乙卷（文）T10，5分 2026命题预测 2026年全国卷三角函数图象与性质考查将保持稳定，形式仍以选择、填空+解答题为主。选择填空聚焦图象变换、解析式确定及三角恒等变换求值；解答题延续与性质应用、解三角形的融合。难度适中，或在情境设计上略有创新，侧重公式熟练运用、数形转化与运算精准性，凸显基础核心素养与知识综合应用能力。 考点一 三角恒等变换 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题，7，5分）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题，9，5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题，4，5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·全国二卷·高考真题，8，5分）已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，8，5分）已知，则（    ）． A． B． C． D． 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，13，5分）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 知识1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） 记忆口诀：“CCSS，符号改变”； （3）；（4） 记忆口诀：“SCCS，符号不变”； （5） （6） 辅助角公式：，其中，， 知识2二倍角公式 （1） （2） （3） 常用变形：降幂公式：；； 考向1角的配凑 1．（2025·四川乐山·三模）已知，则＝（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东潮州·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南永州·模拟预测）若，则 ． 4．（2025·河北唐山·模拟预测）若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 5．（2024·河北沧州·二模）已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 6．（2025·黑龙江鹤岗·三模）设，，且，则（   ） A． B． C． D． 考向2三角恒等变换的综合 7．（2025·辽宁锦州·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·四川攀枝花·一模）已知，则（    ） A． B． C．6 D．7 9．（2025·四川遂宁·一模）已知，则（　　） A． B． C． D． 10．（2024·湖南常德·模拟预测）（多选）已知实数x，θ满足则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河北石家庄·模拟预测）已知满足，则的值为 ． 考点二 三角函数的图象与性质 1．（2025·全国一卷·高考真题，4，5分）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国乙卷·高考真题，6，5分）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国甲卷·高考真题，10，5分）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，6，5分）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2023·全国甲卷·高考真题，12，5分）若为偶函数，则 ． 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题，16，5分）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，9，6分）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 8．（2025·全国二卷·高考真题，15，13分）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 知识1正弦函数、余弦函数的图象与性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在()上单调递增;在上单调递减 在上单调递增; 在()上单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当时， 对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 知识2正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间内单调递增 知识3图象变换 1.对函数,的图象的影响（左加右减） 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、的图象经变换得到的图象 注意：由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 考向1三角函数对称性、奇偶性的综合 1．（2025·江西抚州·一模）函数（）的最小正周期为 ，若直线是图象的一条对称轴，则 . 2．（2025·云南保山·三模）函数（其中为自然对数的底数）的图象大致形状是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·广东河源·一模）已知函数在的最大值和最小值分别为，则 ． 4．（2025·河南平顶山·二模）已知函数，，则 . 5．（2024·黑龙江黑河·二模）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 6．若函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 考向2三角函数的单调性 7．（2024·广东韶关·一模）下列区间中，函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽铜陵·三模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若和在上均单调递减，则m的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·吉林白山·一模）已知函数的定义域为，若，则的取值范围为 . 10．（2025·广西来宾·模拟预测）（多选）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·四川南充·一模）若函数（），在 上单调递减，则a的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 考向3三角函数的最值问题 12．（2025·广东汕尾·一模）若函数的最大值为，则常数的一个取值为 ． 13．（2025·山西太原·模拟预测）已知函数 ，则（    ） A．其最小正周期为，最小值为0 B．其最小正周期为，最小值为0 C．其最小正周期为，最大值为 D．其最小正周期为，最大值为 14．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知函数在处取得最大值，若在处取得最大值，则与的关系可能为（   ） A． B． C． D． 15．（2024·河北承德·模拟预测）已知，若存在，，使得，则（    ） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 16．（2025·云南昆明·模拟预测）设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考向4三角函数中的w范围 17．（2025·江西宜春·三模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·山东东营·一模）已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·吉林长春·模拟预测）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·安徽黄山·模拟预测）已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是 ． 21．（2025·黑龙江伊春·一模）已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数仅存在一个极值点和两个零点在区间内，则实数的取值范围为 . 考向5三角函数的解析式问题 23．（2025·河北保定·一模）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 24．（2025·广西崇左·三模）（多选）如图，以某摩天轮某座舱P距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间t（单位：分钟）与座舱P距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为（，），且开始转动分钟后，座舱P距离地面的高度为32米，转动7.5分钟后，座舱P距离地面的高度为H米，该摩天轮转动一圈的时间为20分钟，则（   ）    A． B． C． D．该摩天轮座舱P距离地面的最大高度为110米 25．（2025·河南周口·二模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．的最小正周期为 D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称 26．（2025·山东济宁·模拟预测）（多选）已知函数，其部分图象如图所示，其中B为最高点，，，则（    ） A． B．若，则 C． D． 27．（2025·河南开封·二模）已知函数的部分图象如图所示，则 ． 28．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的有 ① ②与时小球偏离平衡位置的距离之比为 ③当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 ④当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 考向6三角函数图象的平移伸缩问题 29．（2024·江苏宿迁·一模）2025年“九三”阅兵活动中，官兵步调一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为，将函数图像上所有的点向左平移个单位长度，可得函数的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 30．（2024·陕西榆林·模拟预测）想要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位 B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位 C．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 D．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 31．（2025·湖南衡阳·一模）如果是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的点，则的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 32．（2025·海南三亚·三模）已知函数，将其图象进行如下两种变换： ①先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）； ②先将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度． 若两种变换后得到的函数图象完全重合，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（2024·四川雅安·一模）已知函数. (1)求的值； (2)求的最小正周期和单调递增区间； (3)将函数图象上各点横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到的图象，若锐角满足，求的值. 考向7绝对值与三角函数的综合问题 34．（2025·江苏苏州·三模）若函数的最大值为 35．（2025·黑龙江七台河·二模）已知函数，则下列命题正确的是（   ） A．是以为周期的函数 B．直线是曲线的一条对称轴 C．函数的最大值为，最小值为 D．函数在上恰有个零点 36．（2024·陕西安康·二模）（多选）已知函数，关于函数下列说法正确的是（    ） A．为的一个周期 B．关于直线对称 C．的值域为 D．在上单调递减 37．（2024·辽宁阜新·三模）（多选）已知函数，，则（   ） A．的最小正周期为 B．直线为图象的一条对称轴 C．若在区间上单调递增，则 D．存在，使得在区间上恰有2025个零点 38．（2024·甘肃庆阳·一模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．关于直线对称 B．的最小正周期为π C．是偶函数 D．的最大值为4 39．（2025·广东茂名·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的最小正周期为 C．的最小值为 D．在上有四个不同的实数解 40．（2025·广西柳州·三模）已知函数，. (1)求，的值； (2)求的最大值并写出取得最大值时的集合； (3)定义，，求函数的最小值. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $