15.3角的平分线 课件2025-2026学年沪科版（2024）八年级数学上册

15.3 角的平分线 轴对称图形与等腰三角形 第15章 理解加减消元法的本质有助于更好地拓扑化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握根式化简的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过数学学习方法的学习，可以培养学生的复习能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握锥体体积的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。 学习目标 1.掌握角平分线定理及其判定. 2.能利用角平分线定理及其判定解决几何图形中的问题. 3.知道三角形的三个内角的平分线相交于一点. 4.理解三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等. 新知导入 要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路， 铁路的交叉处500米，应建在何处？(比例尺 1：20 000) S O 公路 铁路 理解加减消元法的本质有助于更好地拓扑化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握根式化简的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过数学学习方法的学习，可以培养学生的复习能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握锥体体积的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。 思考：如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作 PC⊥OA，PD⊥OB，点C， D是垂足． 你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想. 任务一：角平分线的性质定理 新知讲解 猜想：PC=PD 新知讲解 证明：∵ OP平分∠AOB，(已知) ∴∠AOP＝∠BOP．(角平分线定义) 又∵PC⊥OA，PD⊥OB， (已知) ∴∠PCO＝∠PDO＝90°． (垂直的定义) 在△PCO和△PDO中，   ∴△PCO≌△PDO.(AAS) ∴PC＝PD． 理解加减消元法的本质有助于更好地拓扑化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握根式化简的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过数学学习方法的学习，可以培养学生的复习能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握锥体体积的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。 新知讲解 角平分线上的点到角两边的距离相等． 角平分线的性质定理： 应用格式： ∵OP是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE. B A D O P E C 新知讲解 应用所具备的条件： (1)角的平分线； (2)点在该平分线上； (3)垂直距离. 定理的作用：证明线段相等. 理解加减消元法的本质有助于更好地拓扑化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握根式化简的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过数学学习方法的学习，可以培养学生的复习能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握锥体体积的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。 思考：写出上面角平分线性质定理的逆命题．这个逆命题是真命题吗？ 如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明． 任务二：角平分线的判定定理 新知讲解 逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上. 新知讲解 A B O D E P 证明：作射线OP， ∵CE⊥OA，CF⊥OB. ∴∠CEO=∠CFO=90°， 在Rt△CEO和Rt△CFO 中， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO，(HL) ∴∠AOP=∠BOP， (全等三角形的对应角相等) ∴点P在∠AOB角的平分线上.   理解加减消元法的本质有助于更好地拓扑化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握根式化简的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过数学学习方法的学习，可以培养学生的复习能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握锥体体积的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。 新知讲解 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 角平分线的判定定理： 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴点P在∠AOB的平分线上. P A O B C D E 新知讲解 应用所具备的条件： (1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 理解加减消元法的本质有助于更好地拓扑化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握根式化简的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过数学学习方法的学习，可以培养学生的复习能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握锥体体积的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。 新知讲解 证明角平分线的“两种方法” (1)定义法：应用角平分线的定义. (2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”. 新知讲解 证明：过点P分别作 PM⊥BC，PN⊥AC，PQ⊥AB， 垂足分别为点 M，N，Q． ∵BE是∠B的平分线，点P在BE上，(已知) ∴PQ＝PM．(角平分线上的点到角两边的距离相等) 例.已知：如图，△ABC中，∠B的平分线 BE与∠C的平分线CF 相交于点P． 求证：AP平分∠BAC． 任务三：三角形内角平分线交点的性质  理解加减消元法的本质有助于更好地拓扑化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握根式化简的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过数学学习方法的学习，可以培养学生的复习能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握锥体体积的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。 新知讲解 同理， PN＝PM． ∴PN＝PQ．(等量代换) ∴AP平分∠BAC.(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上) 例.已知：如图，△ABC中，∠B的平分线 BE与∠C的平分线CF相交于点 P． 求证：AP平分∠BAC． 新知讲解 三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的 距离相等． 三角形内角平分线交点的性质： 理解加减消元法的本质有助于更好地拓扑化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握根式化简的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过数学学习方法的学习，可以培养学生的复习能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握锥体体积的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。 新知讲解 应用格式： 如图，在△ABC中，AD，BM，CN 分别是∠BAC， ∠ABC，∠ACB的平分线，AD，BM，CN交于一点O， 且点O到三边BC，AB，AC的距离(OE，OG，OF的长)相等， 即OE＝OG＝OF. 新知讲解 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等. 反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点. 理解加减消元法的本质有助于更好地拓扑化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握根式化简的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过数学学习方法的学习，可以培养学生的复习能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握锥体体积的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。 [知识技能类作业]必做题： 课堂练习 1.如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是 ( 　　) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对 C 课堂练习 2.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，D是OB.上的动点若PC=5 cm， 则PD的长可以是( ) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm D [知识技能类作业]必做题： 理解加减消元法的本质有助于更好地拓扑化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握根式化简的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过数学学习方法的学习，可以培养学生的复习能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握锥体体积的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。 [知识技能类作业]必做题： 3.如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°， 则∠ABC＝_______. 100° 课堂练习 课堂练习 4.如图， BD⊥AC于点 D， CE⊥AB于点E，BD， CE交于点 F， AE＝AD. 求证：点F在∠A的平分线上. [知识技能类作业]必做题： 证明：∵BD⊥AC， CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°. ∵AE＝AD，∠A＝∠A， ∴△ABD≌△ACE . (ASA) ∴∠ABD＝∠ACE， AB＝AC . 理解加减消元法的本质有助于更好地拓扑化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握根式化简的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过数学学习方法的学习，可以培养学生的复习能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握锥体体积的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。 课堂练习 4.如图， BD⊥AC于点 D ， CE⊥AB于点 E， BD，CE交于点 F ， AE＝AD. 求证：点F在∠A的平分线上. [知识技能类作业]必做题： ∴AB－AE＝AC－AD，即 BE＝CD . ∵∠DFC＝∠EFB， ∴△CDF≌△BEF. (AAS) ∴DF＝EF. ∴点F在∠A的平分线上. 5.如图，在Rt△ABC中，∠C= 90° ，AB=5，BC=4，AC=3， 且∠BAC与∠ABC的平分线相交于点O，则点O到AB的距离为 . [知识技能类作业]选做题： 课堂练习 1 理解加减消元法的本质有助于更好地拓扑化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握根式化简的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过数学学习方法的学习，可以培养学生的复习能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握锥体体积的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。 [知识技能类作业]选做题： 课堂练习 6.△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6 cm，4 cm，4 cm，P为△ABC三条角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于(　 　) A.1：1：1 B.2：2：3 C.2：3：2 D.3：2：2 D [综合拓展类作业] 课堂练习 7.已知△DCE的顶点C在∠AOB的平分线OP上， CD交OA于点F，CE交OB于点G . (1)如图①，若 CD⊥OA， CE⊥OB，则图中有哪些相等的线段，直接写出你的结论 ； CF＝CG，OF＝OG 25 理解加减消元法的本质有助于更好地拓扑化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握根式化简的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过数学学习方法的学习，可以培养学生的复习能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握锥体体积的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。 [综合拓展类作业] 课堂练习 解：(2)CF＝CG . 证明如下： 如图，过点C作CM⊥OA于点M， CN⊥OB于点 N. ∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，① ∠CMF＝∠CNG＝90°.② ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠BOC＝∠DCE＝60°， (2)如图②，若∠AOB＝120°，∠DCE＝∠AOC，试判断线段CF与线段 CG的数量关系，并加以证明. 26 [综合拓展类作业] 课堂练习 ∠MCN ＝360°－∠AOB－∠CMF－∠CNO ＝60°. ∴∠DCE＝∠MCN， ∴∠MCN －∠FCN＝∠DCE－∠FCN， 即∠1＝∠2.③由①②③，得△CMF≌△CNG，(ASA) ∴CF＝CG. (2)如图②，若∠AOB＝120°，∠DCE＝∠AOC，试判断线段CF与线段CG的数量关系，并加以证明. 27 理解加减消元法的本质有助于更好地拓扑化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握根式化简的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过数学学习方法的学习，可以培养学生的复习能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握锥体体积的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。 课堂总结 1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 2.角平分线的判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 3.三角形内角平分线交点的性质：  三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等． 本课结束 2 $