9.1 因式分解的概念（题型专练，3大题型）数学新教材苏科版八年级下册

9.1 因式分解的概念 题型一 因式分解与乘法公式的关系 1．对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①②都是因式分解 B．①②都是整式的乘法 C．①是因式分解，②是整式的乘法 D．①是整式的乘法，②是因式分解 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解与整式的乘法；因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，整式的乘法是将整式的积化为多项式．对于①，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式的乘法；对于②，左边是多项式，右边是积的形式，属于因式分解． 【详解】解：对于①：左边为，是整式的积，右边为，是多项式，从左到右是整式的乘法． 对于②：左边为，是多项式，右边为，是整式的积，从左到右是因式分解． ①是整式的乘法，②是因式分解， 故选：D． 2．下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解的定义， 分解因式是指将多项式变形为几个整式的乘积形式，需满足左边为多项式，右边为整式乘积． 【详解】解：分解因式要求右边为整式乘积形式， 选项A：左边为多项式，右边为整式乘积，符合定义； 选项B：左边为整式平方，右边为多项式，是整式乘法； 选项C：右边为积与和的形式，不是因式分解； 选项D：左边为乘积，右边为多项式，是整式乘法； 故选：A． 3．下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（    ） 甲：． 乙：． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的乘法和因式分解，根据因式分解的定义，因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积的形式.． 甲的变形是将乘积展开为多项式，属于整式的乘法；乙的变形结果不是乘积形式，因此不是因式分解． 【详解】解：因式分解需满足结果为整式的乘积， 甲: ，左边为乘积，右边为多项式， 甲是整式的乘法，不是因式分解； 乙: ，右边为和的形式，不是乘积， 乙不是因式分解. 甲、乙均不是因式分解． 故选：D． 4．有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 题型二 利用因式分解解决整除问题 1．903﹣90能被（　　）整除． A．86 B．89 C．92 D．93 【答案】B 【分析】先提取公因式90，再根据平方查公式进行二次分解，继而求得答案． 【解答】解：∵903﹣90＝90×（902﹣1） ＝90×（90+1）×（90﹣1） ＝90×91×89． ∴903﹣90能被90或91或89整除． 故选：B． 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后，利用平方差公式进行二次分解是关键． 2．若m是一个正整数，且m除以3余2．判断2m2﹣5m+11是否一定能被9整除，并说明理由． 【答案】2m2﹣5m+11一定能被9整除． 【分析】若m是一个正整数，且m除以3余2，设m＝3k+2，所以2m2﹣5m+11＝2（3k+2）2﹣5（3k+2）+11＝9（2k2+k+1），根据9（2k2+k+1）能被9整除，可得2m2﹣5m+11能被9整除． 【解答】解：设m＝3k+2，（m是一个正整数）， 2m2﹣5m+11 ＝2（3k+2）2﹣5（3k+2）+11 ＝2（9k2+12k+4）﹣（15k+10）+11 ＝18k2+24k+8﹣15k﹣10+11 ＝18k2+9k+9 ＝9（2k2+k+1）， 因为9（2k2+k+1）能被9整除， 所以2m2﹣5m+11能被9整除． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是表示出m，代入到式子2m2﹣5m+11中计算． 3．设n为正整数，且64n﹣7n能被57整除，证明：82n+1+7n+2是57的倍数． 【答案】见试题解答内容 【分析】由于64n﹣7n能被57整除，则可设64n﹣7n＝57m（m为正整数），即82n＝57m+7n，根据幂的乘方得到和提公因数得到82n+1+7n+2＝8×82n+49×7n＝8（57m+7n）+49×7n＝57（8m+7n），于是可得到82n+1+7n+2是57的倍数． 【解答】证明：∵64n﹣7n能被57整除， ∴64n﹣7n＝57m（m为正整数），即82n＝57m+7n， ∴82n+1+7n+2＝8×82n+49×7n ＝8（57m+7n）+49×7n ＝57（8m+7n）， ∴82n+1+7n+2是57的倍数． 【点评】本题考查了因式分解的应用：运用因式分解的方法可简化运算． 4．【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务． 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若a+b+c能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为100a+10b+c． 100a+10b+c＝（99a+9b）+（a+b+c） ＝3（33a+3b）+（a+b+c）． ∵a+b+c能被3整除，3（33a+3b）也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除． 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若a+b+c+d能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 【答案】见解析． 【分析】首先得到个四位数为1000a+100b+10c+d，仿照题干给定的方法，将1000a+100b+10c+d表示为3（333a+33b+3c）+（a+b+c+d）的形式，即可得证． 【解答】证明：这个四位数为1000a+100b+10c+d． 1000a+100b+10c+d＝3（333a+33b+3c）+（a+b+c+d）． ∵a+b+c+d能被3整除，3（333a+33b+3c）也能被3整除， ∴这个四位数能被3整除． 【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解是关键． 题型一 已知因式分解的结果求参数的值 1．在因式分解关于的多项式时，其中一个正确的因式为，另一个正确因式为，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解及整式乘法的应用，根据因式分解的结果，将多项式展开后比较系数，求出和的值，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵多项式的因式为和， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 2．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 3．二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为．求另一个因式及b的值． 【答案】另一个因式为， 另一个因式为 ， 【分析】本题考查了已知因式分解求参数，多项式乘多项式，熟练掌握因式分解的定义和多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．设另一个因式为，则，然后展开右边，通过比较系数即可解答． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 展开右边：， 比较系数得：，， 解得，， ∴另一个因式为，． 4．已知整式，整式，若可以分解为，求． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解． 分别计算和的值，进而作答即可． 【详解】解： ， ， ∵可以分解为， ∴， 解得：． 1．下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（　　） A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．ab﹣a﹣b+1＝（a﹣1）（b﹣1） D． 【答案】C 【分析】因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，根据定义逐一判断即可． 【解答】解：（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1是整式的乘法，故A不符合题意；x2+2x+1＝x（x+2）+1不是化为整式的积的形式，故B不符合题意；ab﹣a﹣b+1＝（a﹣1）（b﹣1）是因式分解，故C符合题意；不是化为整式的积的形式，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是因式分解的含义，掌握“利用因式分解的定义判断是否是因式分解”是解题的关键． 2．如果把多项式x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），那么m＝　　 ，n＝　　 ． 【答案】﹣2；2 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得m、n的值． 【解答】解：x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），得 x2﹣3x+n＝x2+（m﹣1）x﹣m． m﹣1＝﹣3，n＝﹣m． 解得m＝﹣2，n＝2， 故答案为：﹣2，2． 【点评】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法得出相等的整式是解题关键． 3．当a为何值时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个一次因式的乘积． 【答案】当a＝﹣18时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个一次因式的乘积 【分析】设原式可分解为（x+ky+c）（x+ly+d），展开后得出x2+（k+l）xy+kly2+（c+d）x+（cl+dk）y+cd，推出cd＝﹣24，c+d＝﹣5，cl+dk＝43，k+l＝7，a＝kl，求出即可． 【解答】解：多项式的第一项是x2，因此原式可分解为：（x+ky+c）（x+ly+d）， ∵（x+ky+c）（x+ly+d）＝x2+（k+l）xy+kly2+（c+d）x+（cl+dk）y+cd， ∴cd＝﹣24，c+d＝﹣5， ∴c＝3，d＝﹣8， ∵cl+dk＝43， ∴3l﹣8k＝43， ∵k+l＝7， ∴k＝﹣2，l＝9， ∴a＝kl＝﹣18， 即当a＝﹣18时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个一次因式的乘积． 【点评】本题考查了因式分解的意义的应用，解此题的关键是根据题意得出cd＝﹣24，c+d＝﹣5，cl+dk＝43，k+l＝7，a＝kl，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目． 4．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式． 【答案】2x2﹣12x+18＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2 【分析】由于含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0），所以可设原多项式为ax2+bx+c．看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将2（x﹣1）（x﹣9）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将2（x﹣2）（x﹣4）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案． 【解答】解：设原多项式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）． ∵2（x﹣1）（x﹣9）＝2（x2﹣10x+9）＝2x2﹣20x+18， ∴a＝2，c＝18； 又∵2（x﹣2）（x﹣4）＝2（x2﹣6x+8）＝2x2﹣12x+16， ∴b＝﹣12． ∴原多项式为2x2﹣12x+18，将它分解因式，得 2x2﹣12x+18＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2． 【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．本题中注意：如果一个二次三项式，看错了一次项系数，意思是二次项系数与常数项都没有看错． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.1因式分解的概念 题型一因式分解与乘法公式的关系 基础达标题 题型二利用因式分解解决整除问题 因式分解的概念 题型一已知因式分解的结果求参数的值 能力提升题 拓展培优题 A 基础达标题 题型一因式分解与乘法公式的关系 1.D 2.A 3.D 4.① ② 题型二利用因式分解解决整除问题 1.B 2.2m2-5m+11一定能被9整除. 3.见试题解答内容 4.见解析 1/2 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一已知因式分解的结果求参数的值 1.C 2.A 3.另一个因式为a+1,b=3 4.a=-8 拓展培优题 1.C 2.-2;2 3.当a=-18时，多项式x247xy+ay2-5x+43y-24可以分解为两个一次因式的乘积 4.2x2-12r+18=2(x2-6r+9)=2(x-3)2 2/2 9.1 因式分解的概念 题型一 因式分解与乘法公式的关系 1．对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①②都是因式分解 B．①②都是整式的乘法 C．①是因式分解，②是整式的乘法 D．①是整式的乘法，②是因式分解 2．下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（    ） 甲：． 乙：． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 4．有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ． 题型二 利用因式分解解决整除问题 1．903﹣90能被（　　）整除． A．86 B．89 C．92 D．93 2．若m是一个正整数，且m除以3余2．判断2m2﹣5m+11是否一定能被9整除，并说明理由． 3．设n为正整数，且64n﹣7n能被57整除，证明：82n+1+7n+2是57的倍数． 4．【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务． 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若a+b+c能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为100a+10b+c． 100a+10b+c＝（99a+9b）+（a+b+c） ＝3（33a+3b）+（a+b+c）． ∵a+b+c能被3整除，3（33a+3b）也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除． 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若a+b+c+d能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 题型一 已知因式分解的结果求参数的值 1．在因式分解关于的多项式时，其中一个正确的因式为，另一个正确因式为，则=（　　） A． B． C． D． 2．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 3．二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为．求另一个因式及b的值． 4．已知整式，整式，若可以分解为，求． 1．下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（　　） A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．ab﹣a﹣b+1＝（a﹣1）（b﹣1） D． 2．如果把多项式x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），那么m＝　　 ，n＝　　 ． 3．当a为何值时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个一次因式的乘积． 4．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $