7.3.2 正弦型函数的性质和图象（题型专练）高一数学人教B版必修第三册

7.3.2 正弦型函数的性质和图象 题型一 根据解析式确定相关参数 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）函数的周期、振幅、初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 【答案】D 【知识点】识别正（余）弦型三角函数的图象 【分析】由函数解析式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期即可. 【详解】函数， 振幅是2，初相是， 又的系数是，故函数的最小正周期是， 故选：D． 2．（24-25高一下·上海·月考）函数的频率与初始相位之差为 【答案】 【知识点】周期变换及解析式特征 【分析】根据给定函数，结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】函数的周期，初相为， 所以频率为，故频率与初始相位之差为. 故答案为：. 题型二 图象变换的左右平移问题 1．（24-25高二下·云南·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程、相位变换及解析式特征 【分析】根据平移变换的原则即可得解. 【详解】要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、相位变换及解析式特征 【分析】根据平移的性质即可求解. 【详解】的图象向左平移个单位长度，得到函数， 故， 故选：A 3．（24-25高一下·北京·月考）要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位 C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 【答案】B 【知识点】相位变换及解析式特征 【分析】根据图象平移的性质即可求解. 【详解】要得到函数的图象，只要将函数的图象向左平行移动个单位, 故选：B 题型三 横坐标的伸缩问题 1．（23-24高一下·河南南阳·月考）要得到函数的图象，只需要将函数的图象上各点（    ） A．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 B．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 C．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 D．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 【答案】A 【知识点】周期变换及解析式特征 【分析】根据正弦型三角函数的周期关系，确定伸缩变换的比例即可得结论. 【详解】因为的最小正周期，函数最小正周期， 所以，则横坐标缩短为原来的，纵坐标不变. 故选：A. 2．（23-24高一下·四川绵阳·月考）为了得到函数的图象，只需要把函数图象（    ） A．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 B．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D．先向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】B 【知识点】相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】利用平移变换和周期变换的规则来判断. 【详解】为了得到函数的图象，只需要把函数图象 先向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），CD错； 也可以先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，A错误，B正确. 故选：B. 3．（24-25高一上·广东广州·期末）把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、相位变换及解析式特征 【分析】根据三角函数变换即可求解. 【详解】. 故选：D. 题型四 根据图象确定参数 1．（25-26高一上·北京海淀·期末）已知正弦型函数的图象过点，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据以及即可求解. 【详解】因为正弦型函数的图象过点， 所以，又，故. 故选：B 2．（25-26高一上·云南楚雄·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由函数图像求出，利用周期公式求出，将代入函数求出. 【详解】由函数图像可知，所以，又，所以， 将代入得到，因为，所以， 故，解得． 故选：C． 3．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）已知是直线与函数图象的两个相邻交点，且，则（    ） A．2 B．4 C．2或6 D．4或8 【答案】C 【知识点】正、余弦型三角函数图象的应用、正弦函数图象的应用 【分析】设出的横坐标分别为，根据题意写出的值，再利用整体代入求解即可. 【详解】设的横坐标分别为且，因为，所以， 令， 故或 ， 所以或，即或， 所以或， 故选：C. 4．（2025·福建三明·模拟预测）已知函数部分图象如图所示，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】正、余弦型三角函数图象的应用、由正弦（型）函数的周期性求值、正弦函数图象的应用 【分析】先根据求得的值，再对照的图象，得到与函数的周期间的关系，进而得到与的关系，利用求得的范围，得到的最小值. 【详解】由图象知所以.因为,所以.所以. 根据正弦函数的图象，如图， ,, 所以设函数的周期为T,则，即. 因为，所以所以. 所以的最小值为. 故选：A. 5．（2021·全国·模拟预测）已知函数，设，是函数图象的两条相邻对称轴与函数图象的交点，且，则 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、识别正（余）弦型三角函数的图象 【分析】作出函数的图象，根据题意以及平面几何性质可得到方程，解方程即可. 【详解】画出函数的大致图象，如图： 过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线交于点M 由题意知：，， 由图可知： 即，解得， 又∵，∴. 故答案为：. 6．（21-22高一·全国·课后作业）若电流I（单位：A）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则函数的最小正周期为 ，当时的电流为 A． 【答案】 /0.02 0 【知识点】识别正（余）弦型三角函数的图象、由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在物理学中的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】由题可得该函数的最小正周期是，然后利用函数的周期性可得函数值. 【详解】由图象，可知该函数的最小正周期是， 设，由函数的最小正周期是， 可知， 故时的电流是0A． 故答案为：；0. 题型五 根据图象确定解析式 1．（25-26高一·全国·假期作业）函数（，）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据函数的图象，求得，得到，再由点在函数的图象上，求得，进而求得的解析式，得到答案. 【详解】由函数的图象，可得，所以， 则，所以， 又由点在函数的图象上，可得，即， 所以，因为，所以， 所以所求函数的解析式为. 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】先由图象得到，，则，再由五点法再结合单调性求出即可得到函数解析式. 【详解】由图可知,,则 由图像根据五点法，当 时,对应得到, 即，因为，所以或， 当，验证单调递增区间： 令， 当时，为其一个增区间，由图象可得位于减区间上，矛盾， 所以. 故选：D 3.（25-26高一上·安徽阜阳·月考）已知函数的部分图象如图所示，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用正弦函数的对称性求最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由图象先确定的解析式，再分析出为函数的零点，从而得到的值，再代入的解析式即可得解. 【详解】由图可知，又因为，故. 又，即， 由“五点法作图”可知，，解得，所以. 又因为，，所以为函数的零点， 即，所以， 故. 故选：C 4．（多选）（22-23高一下·江西吉安·期中）已知函数的部分图象如图所示，其中，，将的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则的解析式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据图象求出函数的解析式，再由函数图象的平移得出. 【详解】设函数的最小正周期为T. 由题图及，利用勾股定理得，则，. 又由，得，且，得. 所以， 则. 故选：AD 5．（23-24高一上·江苏·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据函数图象得到，从而求出，结合特殊点的函数值得到，得到的解析式，再根据平移变换和伸缩变换得到的解析式. 【详解】由函数的图象可得：， 可得，解得， 则 ∵函数的图象过点，则，即， 由，可得，故，解得， 故， 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，得到， 再向左平移个单位长度，得到. 故答案为：（答案不唯一） 6．（25-26高一·全国·假期作业）如图所示为函数（，）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（1）＝ ． 【答案】-1 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由，得到，从而得到，然后由时，求得函数求解． 【详解】由，得， 解得． 由，，得． 又当时，． 即， ∴，又∵， ∴．∴， 因此， ． 故答案为：-1 7．（22-23高一下·江西吉安·期中）如图，某地一天从早上6时至中午14时的温度变化曲线近似满足函数（其中）的关系式，其中点和分别是曲线的最低和最高点，则这段曲线的函数解析式为 . 【答案】 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、由图象确定正（余）弦型函数解析式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据图像确定函数的半个周期，即可得出；根据函数的最大值和最小值的差值与和值得出和；代入一个点的坐标，得出. 【详解】由图像可知，从时至时的曲线恰好是函数的半个周期， 得，； 又，解得； 由“五点作图”原理知，解得. 故这段曲线的函数解析式为， 故答案为：. 8．（25-26高一上·江苏常州·月考）函数的部分图像如图所示，则 ．    【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由函数图象求得，再根据函数周期性求解即可. 【详解】由题知：函数的振幅为，周期满足， 所以，即，所以， 又，故， 所以，即， 所以 所以，，， ，，， 所以 故答案为： 题型六 根据图象的变换求解析式 1．（18-19高一下·上海黄浦·月考）将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 【答案】 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、周期变换及解析式特征、相位变换及解析式特征 【分析】根据伸缩变换和平移变换得到函数解析式. 【详解】图象上的所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到， 再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数. 故答案为： 2．（22-23高一·全国·课后作业）将函数的图象向左平移个单位,再向上平移2个单位,得到的图象的函数解析式是 ． 【答案】 【知识点】相位变换及解析式特征、上下平移变换及解析式特征、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据函数图象变换,根据上加下减,左加右减即可得出解析式. 【详解】解:由题知的图象向左平移个单位, 可得, 再将图象向上平移2个单位可得: , 故答案为: 题型七 “五点法”作函数的图象 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某振动物体的运动方程是，下表是用“五点法”画该运动方程在某一个周期内的图象时所列表格． 0 ① ② ③ 0 2 0 0 (1)①为________，②为________，③为________（直接写出结果即可）； (2)求该振动物体的振幅、频率、初相． 【答案】(1)①，②，③ (2)振幅为2，频率为，初相为． 【知识点】振幅变换及解析式特征、相位变换及解析式特征、由正弦（型）函数的周期性求值、五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】（1）根据规律求出，再依次填入即可； （2）根据表格得到其周期，求出，再根据零点得到，则得到解析式，最后根据振幅、频率、初相即可得到答案. 【详解】（1）因为，则空②填； 空③填；空①填. （2）根据表中已知数据可得， ，因此最小正周期为，，则， 当时，，（），解得，（）. 因为，则， ∴函数表达式为． 因此振幅为2，频率为，初相为． 2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数．请用“五点法”画出函数在一个周期上的图像； 【答案】答案见解析 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】根据“五点法”作图的步骤求解即可. 【详解】的周期为， 下面是在内的图像， 列表 0 0 2 0 0 描点、连线得到图像如下： 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；    (2)若函数在区间上的值域为，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）根据五点法作图，先列表，再描点，连线即可； （2）求出，再对分讨论即可. 【详解】（1）列表如下： 0 0 2 0 0 作图如下：    （2），则． 当时，不符合题意． 当时，，符合题意； 当时，，符合题意． 综上，或 题型一   函数图象的辨析 1．（20-21高一上·全国·单元测试）已知是实数，则函数的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】识别正（余）弦型三角函数的图象 【分析】根据分类讨论，结合的性质可得． 【详解】由题知，．若，选项C满足； 若，，，其中，，函数周期，选项A满足；若，，，其中，，函数周期，选项B满足； 若，则，且周期为．而选项D不满足以上四种情况，故图象不可能是D． 故选：D． 2．（2022高二下·浙江·学业考试）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】识别正（余）弦型三角函数的图象、根据函数图象选择解析式 【分析】根据函数图象，可得函数在处无定义，且关于原点对称，即可判断； 【详解】解：由图可知函数的定义域中不含，且函数图象关于原点对称， 与的定义域均为，不符合题意，故A、B错误； 对于C：，则，故C错误； 对于D：定义域为，且，符合题意； 故选：D 题型二   函数的性质及其应用 1．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、利用正弦函数的对称性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据在上单调递减，确定的取值范围，由为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，得出，得， 进而求得，结合正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】因为在上单调递减， 所以； 因为为图象的一个对称中心， 所以①； 因为直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减， 所以②， ②①得，，即， 结合，可得， 当时，，，得， 当时，，在单调递减，符合题意， 所以， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故选：B． 2．（多选）（25-26高三上·新疆·期中）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．函数在区间的值域是 【答案】AC 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】结合正弦型函数性质分析图象可得函数的解析式，再借助代入检验法计算可得A、B；由图象分析可得C；结合正弦函数图象计算可得D. 【详解】由图可得，又，则， 由图可得，故， 则，又，故， 由图可得， 解得，又，则， 即； 对A：当时，， 由是函数的对称轴， 故是的对称轴，故A正确； 对B：当时，， 由不是函数的对称中心， 故不是的对称中心，故B错误； 对C：由前知，，故C正确； 对D：当时，， 则，则，故D错误. 故选：AC 3．（多选）（25-26高一上·山东青岛·月考）函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的有（    ） A． B．函数为奇函数 C．函数的图象的对称轴为直线 D．函数的单调递增区间为 【答案】AD 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项；利用三角函数图象变换求出函数的解析式，结合正弦型函数的奇偶性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，由图象可知，， 函数的最小正周期满足， 所以，故，此时， 因为，可得， 因为，所以，则，解得，A对； 对于B选项，由A选项可知， 由三角函数图象变换可得， 所以函数为非奇非偶函数，B错； 对于C选项，对于函数， 由，可得， 所以函数的图象的对称轴为直线，C错； 对于D选项，对于函数， 由得， 所以函数的单调递增区间为，D对. 故选：AD. 题型三 图象变换与函数性质 1．（25-26高一上·青海西宁·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先根据平移变换的原则求出函数的解析式，再根据正弦函数的对称性逐一判断即可. 【详解】由题意， 对于A，，所以是图象的一条对称轴； 对于B，，所以不是图象的一条对称轴； 对于C，，所以不是图象的一条对称轴； 对于D，，所以不是图象的一条对称轴. 故选：A. 2．（25-26高三上·全国·月考）函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A． B．向左平移个单位后是奇函数 C．的对称轴为， D．的减区间为， 【答案】A 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由图象依次求得，代入点求出，即得解析式判断A，应用平移变换结合函数奇偶性判断B，应用对称轴方程计算判断C，根据正弦函数的单调性计算判断D. 【详解】结合函数的图象，设其最小正周期为， 则，所以，因，所以， 又因为，所以， 因，由图知，图象过点，则， 所以，即，由，可得， 所以，故A错误； 把向左平移个单位可得是奇函数，故B正确； 由，可得的对称轴为，，故C正确； 由，可得， 即的减区间为，，故D正确. 故选：A. 3．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】先根据图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案． 【详解】由图象可知：，， 由，又，所以. 所以， 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②错误； 由，，， 所以函数的单调递增区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到的图象，故④错误． 故选：B． 4.（多选）（25-26高一上·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 【答案】AD 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、识别三角函数的图象（含正、余弦，正切）、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先根据图象，求出函数的解析式，然后结合正弦函数的图象性质，逐项进行判断即可. 【详解】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，所以. 设函数的周期为，则，则，所以， 此时. 已知函数图象过点，则， 即，所以，则， 因为，所以，那么. 对于A，，所以选项A正确； 对于B，将的图象向左平移个单位长度， 得到， 所以选项B错误； 对于C，因为，所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误； 对于D，令，解得，此时， 所以图象的对称中心为，选项D正确. 故选：AD. 5．（2021·浙江·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，函数的图象过点，且的图象的两条对称轴之间的最短距离为，则 ；将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称轴方程为 . 【答案】 2 ， 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、识别正（余）弦型三角函数的图象、相位变换及解析式特征 【分析】由题中图可知，由函数的图象过点可得，由函数的图象的两条对称轴之间的最短距离为得，从而得，由平移可得，根据三角函数是性质可得答案. 【详解】由题中图可知，由函数的图象过点可得，，又， ∴，由函数的图象的两条对称轴之间的最短距离为， 得，∴，，∴，，令，， 解得，即图象的对称轴方程为，. 故答案为：①2；②，. 题型一 正弦型函数图象和性质的综合问题 1．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数 (1)试用“五点法”画出在时函数的简图； (2)求时的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2)， 【知识点】识别正（余）弦型三角函数的图象、解正弦不等式、五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】（1）由五点作图法完成表格，描点作图，可得答案； （2）利用整体思想，结合正弦函数的单调性与周期性，可得答案. 【详解】（1） （2）由，则，解得，， 即，. 2．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，某港口一天从4时到20时的水深变化曲线近似满足函数． (1)依据图中的信息确定函数的解析式； (2)甲船需在水深不低于5m时才能进出港口，求一天4时到20时期间允许该船进出港口的时长． 【答案】(1)； (2)6h． 【知识点】三角函数在生活中的应用、正、余弦型三角函数图象的应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）利用图象得到函数的值域、最小正周期以及特殊值点，根据正弦型函数的性质计算求出，即可得到函数解析式； （2）根据题意，利用已知函数解析式构造不等式，求解即可. 【详解】（1）由图象可知，函数值域为，则，解得， 由图象可知，函数的最小正周期，所以， 所以， 又因为函数图象过点，所以，即， 则，即， 因为，所以. 综上，函数的解析式为. （2）由题意，时，由可得， 则，解得. 因为，所以. 所以，允许该船进出港口的时长为. 3．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数（其中），直线是函数图象的一条对称轴． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)函数，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据正弦函数对称轴的性质求出的值，进而确定的解析式； （2）根据正弦函数的取值范围求解不等式； （3）通过换元法将函数转化为二次函数，再结合二次函数的性质和的取值范围求出函数的值域. 【详解】（1）由题可知， 因此， ，，； （2）由，得， ， ； （3） ， 令，则． ，，， 当时，取最大值，为， 当或时，取最小值，为1， 所以函数的值域为． 4．（25-26高一上·北京平谷·月考）设函数，其中．已知的最小正周期为，且． (1)求的解析式及的对称轴； (2)若在区间上的值域为，求的取值范围 【答案】(1)； (2) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据最小正周期求出，根据求出，即可得到的解析式，令即可求出的对称轴. （2）根据求得，结合正弦函数图象即可求出答案. 【详解】（1）因为的最小正周期为， 所以，解得， 又因为，即，且， 所以， 所以的解析式为， 令，解得， 所以的对称轴为. （2）由（1）知， 当时，， 因为在区间上的值域为， 所以，解得， 所以的取值范围. 5．（2025高一上·湖北·专题练习）已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有两个零点，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求含sinx(型)函数的值域和最值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据题意，求得，得到的值，再结合函数为奇函数，求出的值，即可求得函数的解析式； （2）设，由，得到，作出函数在的图象与直线的图象，求得，代入即可求解. 【详解】（1）由函数相邻两个零点间的距离为，可得函数的最小正周期， 因为，可得， 所以，可得， 又因为为奇函数，可得，解得， 因为，所以，所以. （2）由（1）知，函数， 设，因为，可得， 函数在区间上的大致图象，如图所示， 函数在区间上有两个零点， 即函数的图象与直线在区间内有两个交点，且两交点的横坐标分别为. 结合图象，可得，整理得， 所以. 6．（25-26高一上·黑龙江·期末）已知函数，其图象上相邻两最高点的距离为，且 (1)求函数的单调递增区间； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【知识点】解正弦不等式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先确定函数的周期，求出，再根据，结合的取值范围，确定的值，得到函数的解析式.再结合正弦函数的单调性求函数的单调增区间. （2）结合正弦函数的图象、性质解三角不等式. 【详解】（1）由图象上相邻两最高点的距离为，知最小正周期， 即，解得. 又， 所以. 因为，所以，所以. 令，得， 所以函数的单调递增区间为. （2）因为，即， 令， 解得， 所以不等式的解集为. 7．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数满足： ①相邻两条对称轴的距离为；②在处取得最大值2． (1)求的解析式及其单调递增区间； (2)若，求满足的的值． 【答案】(1)，递增区间为； (2) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、利用正弦函数的对称性求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）由三角函数图像的性质可得振幅，周期，再将点代入运算，结合求解即可，应用正弦函数单调区间计算求解； （2）由可得，再结合，即可求得的值. 【详解】（1）由题意知，最大值，周期，∴，∴． 将点代入得：， 则，又，故， 故， 因为，所以, 所以的单调递增区间为 （2）因为， 所以，且. 则， 所以，所以. 8．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域； (3)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数的单调减区间． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）结合图象可得，，从而得，，再代入点，根据，求得，即可得答案； （2）由（1）可得，由，得，根据正弦的性质求解即可； （3）求得，由正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为函数的最大值为2，最小值为，所以， 又因为函数过点，， 所以，解得，即，解得， 又因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以； （2）当时，， 所以， 所以， 即函数的值域为； （3）将的图象纵坐标缩短到原来的倍，得， 再向左平移个单位后得到的图象， 所以， 由， 得， 即的单调递减区间为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.2 正弦型函数的性质和图象 题型一 根据解析式确定相关参数 1．【答案】D 2．【答案】 题型二 图象变换的左右平移问题 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B 题型三 横坐标的伸缩问题 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】D 题型四 根据图象确定参数 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】 6．【答案】 /0.02 0 题型五 根据图象确定解析式 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】AD 5．【答案】（答案不唯一） 6．【答案】-1 7．【答案】 8．【答案】 题型六 根据图象的变换求解析式 1．【答案】 2．【答案】 题型七 “五点法”作函数的图象 1．【答案】(1)①，②，③ (2)振幅为2，频率为，初相为． 【知识点】振幅变换及解析式特征、相位变换及解析式特征、由正弦（型）函数的周期性求值、五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】（1）根据规律求出，再依次填入即可； （2）根据表格得到其周期，求出，再根据零点得到，则得到解析式，最后根据振幅、频率、初相即可得到答案. 【详解】（1）因为，则空②填； 空③填；空①填. （2）根据表中已知数据可得， ，因此最小正周期为，，则， 当时，，（），解得，（）. 因为，则， ∴函数表达式为． 因此振幅为2，频率为，初相为． 2．【答案】答案见解析 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】根据“五点法”作图的步骤求解即可. 【详解】的周期为， 下面是在内的图像， 列表 0 0 2 0 0 描点、连线得到图像如下： 3．【答案】(1)答案见解析 (2)或 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）根据五点法作图，先列表，再描点，连线即可； （2）求出，再对分讨论即可. 【详解】（1）列表如下： 0 0 2 0 0 作图如下：    （2），则． 当时，不符合题意． 当时，，符合题意； 当时，，符合题意． 综上，或 题型一   函数图象的辨析 1．【答案】D 2．【答案】D 题型二   函数的性质及其应用 1．【答案】B 2．【答案】AC 3．【答案】AD 题型三 图象变换与函数性质 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4.【答案】AD 5．【答案】 2 ， 题型一 正弦型函数图象和性质的综合问题 1．【答案】(1)见解析 (2)， 【知识点】识别正（余）弦型三角函数的图象、解正弦不等式、五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】（1）由五点作图法完成表格，描点作图，可得答案； （2）利用整体思想，结合正弦函数的单调性与周期性，可得答案. 【详解】（1） （2）由，则，解得，， 即，. 2．【答案】(1)； (2)6h． 【知识点】三角函数在生活中的应用、正、余弦型三角函数图象的应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）利用图象得到函数的值域、最小正周期以及特殊值点，根据正弦型函数的性质计算求出，即可得到函数解析式； （2）根据题意，利用已知函数解析式构造不等式，求解即可. 【详解】（1）由图象可知，函数值域为，则，解得， 由图象可知，函数的最小正周期，所以， 所以， 又因为函数图象过点，所以，即， 则，即， 因为，所以. 综上，函数的解析式为. （2）由题意，时，由可得， 则，解得. 因为，所以. 所以，允许该船进出港口的时长为. 3．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据正弦函数对称轴的性质求出的值，进而确定的解析式； （2）根据正弦函数的取值范围求解不等式； （3）通过换元法将函数转化为二次函数，再结合二次函数的性质和的取值范围求出函数的值域. 【详解】（1）由题可知， 因此， ，，； （2）由，得， ， ； （3） ， 令，则． ，，， 当时，取最大值，为， 当或时，取最小值，为1， 所以函数的值域为． 4．【答案】(1)； (2) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据最小正周期求出，根据求出，即可得到的解析式，令即可求出的对称轴. （2）根据求得，结合正弦函数图象即可求出答案. 【详解】（1）因为的最小正周期为， 所以，解得， 又因为，即，且， 所以， 所以的解析式为， 令，解得， 所以的对称轴为. （2）由（1）知， 当时，， 因为在区间上的值域为， 所以，解得， 所以的取值范围. 5．【答案】(1) (2) 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求含sinx(型)函数的值域和最值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据题意，求得，得到的值，再结合函数为奇函数，求出的值，即可求得函数的解析式； （2）设，由，得到，作出函数在的图象与直线的图象，求得，代入即可求解. 【详解】（1）由函数相邻两个零点间的距离为，可得函数的最小正周期， 因为，可得， 所以，可得， 又因为为奇函数，可得，解得， 因为，所以，所以. （2）由（1）知，函数， 设，因为，可得， 函数在区间上的大致图象，如图所示， 函数在区间上有两个零点， 即函数的图象与直线在区间内有两个交点，且两交点的横坐标分别为. 结合图象，可得，整理得， 所以. 6．【答案】(1) (2) 【知识点】解正弦不等式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先确定函数的周期，求出，再根据，结合的取值范围，确定的值，得到函数的解析式.再结合正弦函数的单调性求函数的单调增区间. （2）结合正弦函数的图象、性质解三角不等式. 【详解】（1）由图象上相邻两最高点的距离为，知最小正周期， 即，解得. 又， 所以. 因为，所以，所以. 令，得， 所以函数的单调递增区间为. （2）因为，即， 令， 解得， 所以不等式的解集为. 7．【答案】(1)，递增区间为； (2) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、利用正弦函数的对称性求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）由三角函数图像的性质可得振幅，周期，再将点代入运算，结合求解即可，应用正弦函数单调区间计算求解； （2）由可得，再结合，即可求得的值. 【详解】（1）由题意知，最大值，周期，∴，∴． 将点代入得：， 则，又，故， 故， 因为，所以, 所以的单调递增区间为 （2）因为， 所以，且. 则， 所以，所以. 8．【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）结合图象可得，，从而得，，再代入点，根据，求得，即可得答案； （2）由（1）可得，由，得，根据正弦的性质求解即可； （3）求得，由正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为函数的最大值为2，最小值为，所以， 又因为函数过点，， 所以，解得，即，解得， 又因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以； （2）当时，， 所以， 所以， 即函数的值域为； （3）将的图象纵坐标缩短到原来的倍，得， 再向左平移个单位后得到的图象， 所以， 由， 得， 即的单调递减区间为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.2 正弦型函数的性质和图象 题型一 根据解析式确定相关参数 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）函数的周期、振幅、初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 2．（24-25高一下·上海·月考）函数的频率与初始相位之差为 题型二 图象变换的左右平移问题 1．（24-25高二下·云南·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 2．（24-25高一上·全国·课后作业）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京·月考）要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位 C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 题型三 横坐标的伸缩问题 1．（23-24高一下·河南南阳·月考）要得到函数的图象，只需要将函数的图象上各点（    ） A．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 B．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 C．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 D．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 2．（23-24高一下·四川绵阳·月考）为了得到函数的图象，只需要把函数图象（    ） A．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 B．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D．先向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） 3．（24-25高一上·广东广州·期末）把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 题型四 根据图象确定参数 1．（25-26高一上·北京海淀·期末）已知正弦型函数的图象过点，则为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·云南楚雄·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）已知是直线与函数图象的两个相邻交点，且，则（    ） A．2 B．4 C．2或6 D．4或8 4．（2025·福建三明·模拟预测）已知函数部分图象如图所示，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 5．（2021·全国·模拟预测）已知函数，设，是函数图象的两条相邻对称轴与函数图象的交点，且，则 . 6．（21-22高一·全国·课后作业）若电流I（单位：A）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则函数的最小正周期为 ，当时的电流为 A． 题型五 根据图象确定解析式 1．（25-26高一·全国·假期作业）函数（，）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）已知函数的部分图象如图所示，且，，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（22-23高一下·江西吉安·期中）已知函数的部分图象如图所示，其中，，将的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则的解析式是（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式可以是 . 6．（25-26高一·全国·假期作业）如图所示为函数（，）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（1）＝ ． 7．（22-23高一下·江西吉安·期中）如图，某地一天从早上6时至中午14时的温度变化曲线近似满足函数（其中）的关系式，其中点和分别是曲线的最低和最高点，则这段曲线的函数解析式为 . 8．（25-26高一上·江苏常州·月考）函数的部分图像如图所示，则 ．    题型六 根据图象的变换求解析式 1．（18-19高一下·上海黄浦·月考）将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 2．（22-23高一·全国·课后作业）将函数的图象向左平移个单位,再向上平移2个单位,得到的图象的函数解析式是 ． 题型七 “五点法”作函数的图象 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某振动物体的运动方程是，下表是用“五点法”画该运动方程在某一个周期内的图象时所列表格． 0 ① ② ③ 0 2 0 0 (1)①为________，②为________，③为________（直接写出结果即可）； (2)求该振动物体的振幅、频率、初相． 2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数．请用“五点法”画出函数在一个周期上的图像； 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；    (2)若函数在区间上的值域为，求的值． 题型一   函数图象的辨析 1．（20-21高一上·全国·单元测试）已知是实数，则函数的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2022高二下·浙江·学业考试）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 题型二   函数的性质及其应用 1．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 2．（多选）（25-26高三上·新疆·期中）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．函数在区间的值域是 3．（多选）（25-26高一上·山东青岛·月考）函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的有（    ） A． B．函数为奇函数 C．函数的图象的对称轴为直线 D．函数的单调递增区间为 题型三 图象变换与函数性质 1．（25-26高一上·青海西宁·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·全国·月考）函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A． B．向左平移个单位后是奇函数 C．的对称轴为， D．的减区间为， 3．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.（多选）（25-26高一上·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 5．（2021·浙江·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，函数的图象过点，且的图象的两条对称轴之间的最短距离为，则 ；将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称轴方程为 . 题型一 正弦型函数图象和性质的综合问题 1．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数 (1)试用“五点法”画出在时函数的简图； (2)求时的取值范围. 2．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，某港口一天从4时到20时的水深变化曲线近似满足函数． (1)依据图中的信息确定函数的解析式； (2)甲船需在水深不低于5m时才能进出港口，求一天4时到20时期间允许该船进出港口的时长． 3．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数（其中），直线是函数图象的一条对称轴． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)函数，求在区间上的值域． 4．（25-26高一上·北京平谷·月考）设函数，其中．已知的最小正周期为，且． (1)求的解析式及的对称轴； (2)若在区间上的值域为，求的取值范围 5．（2025高一上·湖北·专题练习）已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有两个零点，求的值. 6．（25-26高一上·黑龙江·期末）已知函数，其图象上相邻两最高点的距离为，且 (1)求函数的单调递增区间； (2)求关于的不等式的解集. 7．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数满足： ①相邻两条对称轴的距离为；②在处取得最大值2． (1)求的解析式及其单调递增区间； (2)若，求满足的的值． 8．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域； (3)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数的单调减区间． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $