精品解析：河南省三门峡市义马市2025～2026学年高一上学期期末诊断性考试数学试题

2025~2026学年度第一学期期末诊断性考试 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 5.考察内容：人教A版必修第一册. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则p的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则（ ） A. 50 B. 48 C. 26 D. 29 4. 在下列区间中，函数一定存在零点的有（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中正确的是（   ） A. 已知集合，若，则 B. 函数的最小值为2 C. 设，若，则 D. 不等式成立的一个充分不必要条件是或 10. 如图，这是函数（，）的部分图象，则（ ） A. B. 图象的一个对称中心为点 C. 图象的一条对称轴为直线 D. 在上单调递增 11. 定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”．例如．以下描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 是上的奇函数 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为__________. 13. 某公司生产产品，每月的固定成本为10000元，每生产一件产品需要增加投入80元，该产品每月的总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：.则该公司的月利润的最大值为___________元. 14. 已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 17. （1）若为的一个内角，且关于x的方程的两根为，．求的值，并判断的形状． （2）是否存在角和，当，时，方程组有解？若有解，则求出和的值；若无解，请说明理由． 18. 设二次函数. （1）若关于的不等式的解集为，求的值； （2）若， ①，求的最小值，并指出取最小值时的值； ②求函数在区间上的最小值. 19. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． （1）求在上的单调减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）对于（2）中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末诊断性考试 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 5.考察内容：人教A版必修第一册. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集运算求解参数，再验证可得. 【详解】，或， 解得或. 当时，，则，满足题意； 当时，，则，不满足题意； 综上所述，. 故选：C. 2. 已知命题，，则p的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】因为命题，，则其否定为，. 故选：A 3. 已知，则（ ） A. 50 B. 48 C. 26 D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法，令即可求解. 【详解】解：令，则． 故选：A. 4. 在下列区间中，函数一定存在零点的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别计算各区间端点处函数值的乘积，判断是否小于，,z根据零点存在性定理判定即可. 【详解】显然，函数在以上区间都连续. ，，，，， 由于，所以函数在区间内不一定存在零点. 由于，根据函数零点存在定理，函数在区间内一定存在零点. 由于，所以函数在区间内不一定存在零点. 由于，所以函数在区间内不一定存在零点. 综上所得，函数在区间内一定存在零点. 故选：B. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象平移变化可得. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后， 所得图象对应的函数为，即. 故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求值. 【详解】， 故选：A. 7. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合不等式性质检验各选项即可求解． 【详解】解：对于A，取，时，，但，A显然错误； 对于B，取，时，，但，B显然错误； 对于C，因为，所以，， 所以，故，C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，D错误． 故选：C . 8. 已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的位置特征，不妨令，，又，故，解得，在函数图象上，代入计算，求出，从而求出. 【详解】不妨设（当时，所求得的解析式是等价的），令，解得或， 是与曲线的两个相邻的交点， 且在单调递增区间上，在单调递减区间上，在左边， 不妨设，， 两式相减得， 又，故，所以，解得， 故， 又图象可知，在函数图象上， 故，解得， 所以. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中正确的是（   ） A. 已知集合，若，则 B. 函数的最小值为2 C. 设，若，则 D. 不等式成立的一个充分不必要条件是或 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于选项A，根据集合中元素的互异性来判断；对于选项B，利用基本不等式求最值时需要注意等号成立的条件；对于C选项，根据不等式的性质判断；对于D选项，先求出不等式的解集，再根据充分不必要条件的定义判断. 【分析】选项A：已知集合，若，则或， 当时，，此时集合A中两个元素相同，不满足集合中元素的互异性，舍去， 当时，即， 解得或（舍去），所以，故选项A正确； 选项B：函数，令，则，函数可化为， 而根据基本不等式，当且仅当，即时取到等号， 但，故原函数取不到最小值2，故选项B错误； 选项C：已知，若，则， 根据不等式的性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变， 所以，故选项C正确. 选项D：解不等式，则，解，得或； 又，即，所以不等式的解集为或， 因为或真包含于或， 所以或是不等式成立的一个充分不必要条件，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 如图，这是函数（，）的部分图象，则（ ） A. B. 图象的一个对称中心为点 C. 图象的一条对称轴为直线 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式对选项进行判断即可． 【详解】由图可知，，因为，所以，故A正确． 因为是在y轴右侧的第一个零点，所以，得，故． 因为，所以点不是图象的对称中心，故B不正确． 因为，所以直线是图象的对称轴，故C正确． 令，，解得，， 令，得，故D正确， 故选：ACD． 11. 定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”．例如．以下描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 是上的奇函数 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合对“向上取整函数”定义的理解，可得AD；B项整体换元求解方程；C项取特殊值即可. 【详解】因为表示不小于的最小整数，所以，且， 即， 对于选项A：因为，，所以， 即，故选项A正确； 对于选项B：令，则，即， 因为表示不小于的最小整数，所以或 当时，由可得， 当时，由可得， 故，所以选项B正确； 对于选项C：因为的定义域为，所以， 而，所以，所以不是上的奇函数，所以选项C错误； 对于选项D：由，，所以， 所以，所以， 由，结合不等式的可加性可得到：，故. 选项D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为__________. 【答案】##1.6 【解析】 【分析】由可得，又，再用“乘1法”即可求最小值. 【详解】因为，所以. 所以 , 当且仅当时等号成立. 故的最小值为. 故答案为:. 13. 某公司生产产品，每月的固定成本为10000元，每生产一件产品需要增加投入80元，该产品每月的总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：.则该公司的月利润的最大值为___________元. 【答案】57600 【解析】 【分析】利用题中给出的总收入关于月产量的关系式，由利润总收入总成本即可得到答案. 【详解】该公司的月利润. 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故，该公司的月利润的最大值为57600元. 故答案为：57600. 14. 已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象可得：，，进而得到，求出的取值范围，利用函数的单调性进而求解. 【详解】如下图所示： 方程有四个不同的解、、、且，且， 由图可知，点、关于直线对称，则， 由图可得，由可得，可得， 由可得， 所以，， 因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数， 因为，则， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于根据函数的对称性、对数的运算性质将所求代数式化简，转化为只含一个变量的函数，结合函数基本性质求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或．； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用交集运算即可求解； （2）利用充分不必要条件转化为，从而可得参数满足的不等式，即可求解. 【小问1详解】 当时，集合，又或． ∴或或．； 【小问2详解】 ∵若，且是的充分不必要条件，，， ∴，则， 解得:，故的取值范围是． 16. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 【答案】（1），或； （2），取最小值时，取最大值时. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出，再利用单调性解不等式. （2）由（1）的结论求出并换元，转化为二次函数求解. 【小问1详解】 函数定义域为，且在上单调， 由函数在区间上的最大值与最小值之和为， 得，即，解得， 于是； ， 解，得或； 解，即，得或， 因此或， 所以不等式的解集或. 【小问2详解】 由（1）知，， 令，由，得，， 当时，，此时；当时，，此时， 所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时. 17. （1）若为的一个内角，且关于x的方程的两根为，．求的值，并判断的形状． （2）是否存在角和，当，时，方程组有解？若有解，则求出和的值；若无解，请说明理由． 【答案】（1），是钝角三角形； （2）存在，使等式同时成立 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系可得，利用同角三角函数的基本关系可得的值，化为，求解即可，进而判断三角形的形状. （2）根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】（1）因为关于x的方程的两根为，． 所以， 由，可得， 解得，所以，所以， 解得或， 因为为的一个内角，所以，所以， 又，所以，且，所以， 所以，所以，所以是钝角三角形； （2）存在，使等式同时成立. 由，得， 所以，两式平方后相加可得， 又因为，得到，即. 因为，所以或. 将代入，得， 由于，所以. 将代入，得， 由于，这样的角不存在. 综上可知，存在，使等式同时成立. 18. 设二次函数. （1）若关于的不等式的解集为，求的值； （2）若， ①，求的最小值，并指出取最小值时的值； ②求函数在区间上的最小值. 【答案】（1） （2）①当时，取最小值 ； ②当时，的最小值为；当时，的最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知是方程的唯一实根，从而得到关于的方程组，解之即可得解； （2）根据题意得，①利用基本不等式“1”的妙用即可得解；②利用二次函数的性质，分类讨论即可得解． 【小问1详解】 因为的解集为， 又， 所以是方程的唯一实根，且， 所以，即，解得， 经检验，满足题意要求， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以，则，故， ①因为，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． ②因为，则， 显然函数的图象的对称轴为， 当时，在区间上单调递增， 则的最小值为； 当时，在区间上单调递减， 则的最小值为； 综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为. 19. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． （1）求在上的单调减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）对于（2）中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据条件，求得，再利用正弦函数的性质，即可求解； （2）利用图象平移变换得，再利用正弦函数的性质，即可求解； （3）令，在同一坐标系中作出和的图象，数形结合，即可求解. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，则， 所以，又，所以， 又图象的相邻两对称轴间的距离为，则，又，所以， 故，由，得到， 又，令，得到，所以在上的单调减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，将函数的图象向右平移个单位长度，得到， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到， 所以，当时，，所以， 故函数的值域为. 【小问3详解】 因为，由，得到，即， 令，又，则， 在同一坐标系中作出和的图象，如图所示， 又，由图知与有四个交点， 且， 又，所以的值为， 且 故 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $