精品解析：湖南省沅澧共同体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

沅澧共同体高二年级2024年期末考试（试题卷） 数 学 时量：120分钟 满分：150分 命题单位：常德外国语学校 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 2. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】利用是一个常数值，得出直线是一条垂直于轴的直线，从而得出直线的倾斜角． 【详解】因为是一条垂直于轴的直线， 所以直线的倾斜角为，故C正确． 故选：C 3. 已知复数满足，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求解. 【详解】因为复数满足， 所以， 故选：C 4. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】在抛物线中，，可得，， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 5. 各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质及对数运算性质计算即可. 【详解】在各项均为正数的等比数列中，， 因为， 所以 所以 ， 故选：B. 6. 设P为椭圆上一动点，分别为左､右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，，再利用椭圆定义及圆的定义求解作答. 【详解】由椭圆可得，，即点， 依题意，， 所以动点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，方程为. 故选：C 7. 如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，取的中点，结合平行公理，利用异面直线所成角的定义，借助等腰三角形的性质求解即可. 【详解】在正三棱柱中，取中点，连接， 由点E为正方形的中心，得，而， 于是，由为棱的中点，得， 则四边形是平行四边形，有，即或其补角就是异面直线与所成的角， 显然正三棱柱所有棱长都相等，令棱长为2， 则， 等腰底边上的高，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 故选：D 8. 已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题得由题得，解方程即得解. 【详解】由题得 由题得， 所以， 所以， 所以. 故选A 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，考查直线和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面与平面平行，若平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标分别判断与四个选项中的向量是否平行即可得解. 【详解】因为平面与平面平行，所以平面的法向量与平面的法向量平行， 对于选项A: 若，则此时，满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项A正确； 对于选项B: 若，则此时无解，不满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项B错误； 对于选项C: 若，则此时，满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项C正确； 对于选项D: 若，则此时无解，不满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项D错误. 故选：AC. 10. 若实数，满足，以下选项中正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为15 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式解决含有条件的最值问题，求解和为定值或乘积为定值. 【详解】对于选项A:因为实数，满足，所以， 即，当且仅当时，即时，取得最大值，故A正确； 对于选项B: 因为实数，满足， 所以， 当且仅当时，即时，取得最小值， 故B错误； 对于选项C: 因为实数，满足，所以， 当且仅当时，即时，又，所以，故C错误； 对于选项D:因为实数，满足， 所以， 则，当且仅当时，即时，取得最小值为，故D正确； 故选：AD. 11. 已知圆C：，P是直线l：上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则（ ） A. 圆C上恰有两个点到l的距离为 B. 的最小值是 C. 直线AB恒过点 D. 四边形ACBP面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求圆上点到直线最小距离，与给定的距离比较，可得答案； 对于B，利用切线的性质，结合两点之间距离公式与勾股定理，再利用两圆公共弦的求法，求得直线的方程，结合弦长公式与二次函数性质，可得答案； 对于C，由B可得直线的方程，整理建立方程组，可得答案； 对于D，由B可得与的最小值，结合四边形的对角线相互垂直，可得答案. 【详解】对于A，由圆，则圆心，半径， 由直线，则圆心到直线的距离， 由，则，作图如下： 可知圆上恰有两点符合题意，故A正确； 对于B，作图如下： 由点在直线上，则设， ， 由与圆相切于，则， 以为圆心，以为半径的圆的方程为， 圆与圆的方程作差可得直线， 圆心到直线的距离为， ， 当时，取得最小值，故B错误； 对于C，由B可知直线，整理可得， 令，解得，则直线过定点，故C正确； 对于D，取得最小值，此时，， 由A可知圆心到直线的距离为，则的最小值为， 四边形的面积最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等差数列中，为其前项的和．若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的性质也成等差数列即可求得. 【详解】由等差数列的性质可知，数列成等差数列， 且公差， ∴，即， 则，则. 故答案为：72. 13. 若过点作圆的切线，则切线方程为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据圆心到切线的距离等于圆的半径即可求解. 【详解】由题意可知，，故在圆外， 则过点做圆的切线有两条，且切线斜率必存在， 设切线为，即， 则圆心到直线的距离，解得或， 故切线方程为或． 故答案为：或． 14. 已知直线与抛物线交于两点，且交于点（为原点），点的坐标为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用两点斜率公式、直线垂直的性质与直线的点斜式求得直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理与向量数量积的坐标表示列式即可得解. 【详解】设，因为点的坐标为，所以， 由于，所以， 则直线， 联立，消去，得，故， 由于，则，因此， 故，因此，解得. 故答案为：2 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求过点A，B，C的圆方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，得到边上的高所在直线的斜率，点斜式求出直线方程，得到答案； （2）设出圆的一般方程，待定系数法进行求解. 【小问1详解】 直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， 故边上的高所在直线的方程为，即； 【小问2详解】 设圆的方程为， 将，，代入得 ，解得， 故圆的方程为. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求A； （2）若a=2，的面积为，求b，c的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用以及两角和的正弦公式代入计算即可； （2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，然后解方程组即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得 . 因为， 所以. 由于， 所以. 又，故. 【小问2详解】 由题得的面积，故①. 而，且，故②， 由①②得. 17. 如图，在多面体中，平面，，，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为为的中点，所以且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，得，所以， 所以点到平面的距离为. 【点睛】 18. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 【答案】（1）； （2）不存在，理由如下： 由（1）得，， 在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，则， 即，则， 假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列， 则，，即， 因为成等差数列，所以，所以， 即，即， 联立解得，与题设矛盾， 故在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 【解析】 【分析】（1）退位作差得到公比，令求得，进而得到数列的通项公式； （2）反证法，假设存在，由等差中项性质得到，等比中项性质得到，联立解得，与题设矛盾，假设不成立，则不存在. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， ，时，，两式相减得， 即，所以， 令得，即，解得， 所以. 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆C：的左焦点为F，若C的焦距为且经过点，过点F的直线交椭圆于P，Q两点. （1）求椭圆方程； （2）若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由焦距为可求得，再将点代入椭圆C方程即可求得，进而求解即可； （2）结合题意易得，转化为，联立直线与椭圆方程，由韦达定理代入运算得解. 【小问1详解】 由题意，，即，则①； 又点在椭圆C上，故②， 联立①②解方程组得，，， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 假设存在点，使得恒成立， 易知点，设点，， 设直线的方程为：， 联立方程组得，， 则由根与系数的关系得，，，（*） 若满足，则，即， 整理得，， 又，，代入上式得，， 整理得，， 将（*）式代入得，， 又，解得， 故存在点使得恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沅澧共同体高二年级2024年期末考试（试题卷） 数 学 时量：120分钟 满分：150分 命题单位：常德外国语学校 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 不存在 3. 已知复数满足，则是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 6. 设P为椭圆上一动点，分别为左､右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面与平面平行，若平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（ ） A. B. C. D. 10. 若实数，满足，以下选项中正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为15 D. 的最小值为 11. 已知圆C：，P是直线l：上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则（ ） A. 圆C上恰有两个点到l的距离为 B. 的最小值是 C. 直线AB恒过点 D. 四边形ACBP面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等差数列中，为其前项的和．若，，则_______． 13. 若过点作圆的切线，则切线方程为___________. 14. 已知直线与抛物线交于两点，且交于点（为原点），点的坐标为，则______. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求过点A，B，C的圆方程． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求A； （2）若a=2，的面积为，求b，c的值. 17. 如图，在多面体中，平面，，，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 18. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 19. 已知椭圆C：的左焦点为F，若C的焦距为且经过点，过点F的直线交椭圆于P，Q两点. （1）求椭圆方程； （2）若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $