河北省保定市六校联考2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,5},B={2,3,6),则(uA)∩B= A.{2) B.{2,4,6} C.{1,2,4) D.{2,6} 2.命题“Vx∈[0，十∞)，x3-3x2+2>0”的否定是 A3x∈(-o∞，0)，x3-3x2+2<0 B.Vx∈[0，+∞)，x3-3x2+2<0 C.3x∈[0，+∞)，x3-3x2+2<0 D.Hx∈(-∞，0)，x3-3x2+2≥>0 3.下列命题为真命题的是 A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.若a>b>0,则a2>b C.若a<b<0,则a2<ab<b D.若a<<0,则是<号 4.已知a=0.23,b=30.2,c=loga.23,则a,b,c的大小关系是 A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<6 D.b<c<a 5.函数f(x)=1十cosx,x∈（否，2x的图象与直线y=a(a为常数）的交点个数不可能为 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 a2+2a,x≥0， 6.若a>0且a≠1，函数f(x)= 满足对任意的实数≠都有)二f0 (4-a)x十3十a,x< x1—02 成立，则a的取值范围是 A.(2,4) B.(1,2] C.(1,4) D.[2,4) 【高一数学第1页（共4页）】 7.设函数f(x)=mid{|x一2|，x2,|x十2}，其中mid(x,y,z}表示x,y,z的大小居中者，下列说法不正 确的有 A.f(x)有最大值，无最小值 B.f(x)的值域为[1，十o∞) C.f(x)为偶函数 D.f(x)在（一1,0）上单调递增 2-1|,x<2, 8.已知函数f(x)= 若关于x的方程[f(x)]一af(x)一a一1=0有4个不相等的实数 x-3,x≥2， 根，则实数a的取值范围是 A.(0,1) B.(-1,0) C.(-1,1) D.[0,1) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是 A“x>3”是“x>5”的必要不充分条件 B.函数y=√x+I·√x一I与函数y=√x2一I表示同一个函数 C.若f(x)的定义域为（一2,4），则f(2x)的定义域为（一1,2） D.函数y=x3是奇函数且在(0，十∞)上单调递增 10.设函数fx)=2sin(（2z-)+子，则下列叙述正确的是 A.f(x)的最小正周期为π B.fx)的图象关于直线x=对称 Cfx)在[登元]上的最小值为-是 D.fx)的图象关于点(，0)对称 11.已知函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x,y满足：f(x十y)=f(x)十f(y)一1，当x<0时， f(x)>1,则 A.f(0)=1 B.f(x)为R上的增函数 C.f(x)一1为奇函数 D.若f(a一6)+f(a2)>2,则a的取值范围为（一3,2） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12,函数f(x)=3十V一2的定义域为 13.已知函数y=log(x一1)十4(a>0,a≠1)的图象过定点P,且点P在指数函数f(x)的图象上，则 f(1og6)=-、 14.已知正实数a,b满足a+方-l,且。十b≥2-7：恒成立，则实数t的取值范围为 【高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(每小题满分13分) 设全集为R,集合A={xl3≤x<7},B={xlx2-8x+12<0},C={xlx<2a十1). (1)求AUB,(CRA)∩B; (2)若A∩C=心，求实数a的取值范围. 16.(每小题满分15分) 已知sna=号，且a为第二象限角， (1)求cosa,tana的值； (2)求in(2rc）+cos(3m+2的f值. cos(-a)-sin(π-a) 17.(每小题满分15分) 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革，某科技A1 研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评 分P(t)(满分100分)和有效训练时长t(单位：百GPU小时)的关系分为两个阶段.通过对几轮训练 [-0.4+8t+c,0≤10， 数据的拟合分析，得到如下函数关系：P(t)= 已知初始综合性能评分 -1.8+170,10<≤60. t P(0)=40,且在t=10处函数图象是连续不断的. (1)求常数c和k的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为E()=P(②一50，心0，训练时长t取何值时，“天穹”大模型 t 的标准化训练效率最高？最高效率是多少？ 【高一数学第3页（共4页）】 18.(每小题满分17分) 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且图象过点（一1,1）和(5,0)，当x>0时，f(x)= logz (mx+n)-3. (1)求m,n的值； (2)求f(x)在R上的解析式； (3)解不等式f(x)≤1： 19.(每小题满分17分) 我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数， 有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(m,)成中心对称图形的充要条件是函 数y=f(x十m)一n为奇函数.若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,2)对称，且当x∈[0,1] 时，f(x)=x2-ax十a十1.设函数g(xr)=2二x 2x (1)若函数g(x)的图象关于点(m,n)对称，求m,n的值； (2)若对任意∈[0,2]，总存在∈[-2，号]，使得fa)=g(x)成立，求实数a的取值范围. 【高一数学第4页（共4页）】高一数学参考答案、提示及评分细则 1.D2.C3.B4.C5.A6.D7.A8.B9.ACD10.AC11.ACD 122,3U3,+∞)13.万14.[-24 15.解：(1)由B={x|x2-8x十12<0}={x2<x<6},… …2分 又因为A={x3≤x<7},可得AUB={x2<x<7}, 4分 CRA={xx<3或x≥7}，… 6分 所以(CRA)∩B={x2<x<3}. 9分 (2)因为A={x3≤x7},C={xx<2a+1}, 若A∩C=,则2a+1≤3， 11分 解得a≤1，所以实数a的取值范围是(-∞，1门. 13分 16,解：1)因为m。=号，且a为第二象限角， 所以cosa=-√/1一sina=- 5 …3分 tana=s加g=-3 cos a …6分 (2)sin (2xa)+cos (3xa)--sin a-cosa cos(一a)-sin(x-a) 12分 cos a-sin a -() 13分 -4-3 5-5 一7 15分 -0.4t2+81+c,0≤t≤10， 17.解：(1)因为P(t) -1.81+170,10<≤60， 又P(0)=40,所以P(0)=c=40, 2分 所以当0≤1≤10时，P(t)=-0.4+81十40， 又因为P(t)在t=10处函数图象是连续不断的， 所以-04X10+8×10+40=-品一18×10+170， …4分 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 解得k=720. 5分 0.4t2+8t+40,0t≤10， (2)由(1)可得P(t) 720 -1.81+170,10<1≤60， 当0<t≤10时，P(t)=-0.4+81+40, 此时E0=P0-50=-0.4+81-10=-0.41-10+8，…6分 t 因为>0，所以0.41+19≥2√04×=4， 8分 当且仅当0.41=0时，即1=5时等号成立，… 9分 此时-0.4-9+8≤4，此时E以)的最大值为4 10分 当10<≤60时，P0=-2四-1.87+170， t 720-1.81+120 此时E()=P()-50=一 720+120-1.8 ……… 2 11分 =-720(}-0+)=-72o(}2)°+3.2×4 14分 综上，当t=5时，“天穹”大模型的标准化训练效率最高，最高为4.…15分 18.解：(1)因为f(x)的图象过点(5,0)，所以1og2(5m十n)一3=0.① 1分 因为f(x)是奇函数，且f(x)的图象过点（一1,1）， 所以f(x)的图象过点(1，一1)，… …2分 则1og2(m+)一3=一1.② 3分 联立①②，解得m=1,n=3.… 5分 (2)由(1)知，x>0时，f(x)=1og(x+3)-3, 当x<0时，一x>0,则f(一x)=l0g（-x十3)-3.…7分 因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=一f(x),则f(x)=-log(一x十3)+3. …8分 而当x=0时，f(x)=0,… …9分 1og(x+3)-3,x>0, 故f(x)=0,x=0, 10分 -log2(-x+3)+3,x0. 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 (3)当x<0时，f(x)≤1，即-log(-x+3)+3≤1，解得x≤-1； …12分 当x>0时，f(x)≤1，即log2(x十3)-3≤1，解得0<x≤13；… 15分 当x=0时，f(0)=0≤1，符合题意.… 16分 综上，不等式f(x)≤1的解集是（一∞，一1]U[0,13]. 17分 19.解：(1)因为函数g(x)的图象关于点(1，n)对称， 所以g(x)十g(2m一x)=21,… .…2分 又0兰所以票十瓷-2 整理得到2x2-41.x十4m=-nx2十211.x十4n一41， -n=2, 得到21=一4m,解得m=2,1=-2. …4分 、4n-41=41, (2g=，-2+2 则g()在x[-2,青]上单调递增，所以g)的取值范围为[-1,4.…5分 设f(x)在[0,2]上的值域为A, 对任意∈[0,2，总存在∈[-2，号]，使得)=g)成立， 则A二[-1,4幻，… …6分 当x∈[0,1]时，f(x)=x2-a.x+a+1, 函数f()图象开口向上，对称轴为x=号，且f1)=2, ①当号≤0，即a≤0，函数f(x)在[0,1]上单调递增， 由对称性可知，f(x)在[1,2]上单调递增，所以f(x)在[0,2]上单调递增， 因为f(0)=a+1,f(0)+f(2)=4,所以f(2)=3-a, 所以A=[a十1,3-a],… 8分 a+1≥-1， 4≥3-a, 由AC[-1,4幻，可得 解得-1≤a≤0.… …9分 a≤0， a+1<3-a, 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 ②当0<号<1，即0<a<2时， 函数f(x)在[0，号)上单调递减，在（号，1上单调递增， 由对称性可知f(x)在1,2-号)上单调递增，在(2-号，2上单调递减， 所以(x)在0，号)上单调递减，在（号，2-号）上单调递增，在(2-号，2上单调递减， 结合对称性可得A=[f(2),f0)]或A=[f(号)，1(2-号)]， 11分 因为0<a<2,所以f0)=a+1∈1,3)，f(号)=-+a+1∈(1,2， 又f(0)+f2)=4,f（g）+f（2-号）=4，…12分 所以f(2)=3-a∈(1,3)，f(2-)∈(2,3)， 所以当0<a<2时，AC[-1,4幻成立.… …13分 ③当g≥1，即a≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减， 由对称性可知f(x)在[1,2]上单调递减，因为f(0)=a+1,f0)+f(2)=4, 所以f(2)=3-a,所以A=[3-a,a十1]，…15分 由AC[-1,41, (3-a≥-1， 4≥a+1, 可得 解得2a3.…16分 a≥2， 3-a<a+1, 综上所述，实数a的取值范围为[一1,3].… …17分 【高一数学参考答案第4页（共4页）】