精品解析：山西省临汾第一中学校2025-2026学年高二上学期数学周测试题（十六）

山西省临汾第一中学校2025-2026学年高二上学期数学周测试题（十六） （测试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：许丽丽、王亭惠 审题人：许丽丽、王亭惠 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有 A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 6. 已知函数在处取到极小值，则的值为（ ） A. 3或9 B. 3 C. 9 D. 7. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数，若，则 B. 已知函数在上可导，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 10. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 11. 已知直线经过椭圆的一个焦点，且与交于不同的两点，椭圆的离心率为，则下列结论正确的有（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 弦的最大值为4 C. 存在实数，使得以为直径的圆恰好过点 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________. 13. 已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______. 14. 已知函数是上的增函数，则的值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知函数，直线在轴上的截距为，且与曲线相切于点． （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间与极值． 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （1）设分别为的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 18. 已知在数列中，，，______，其中.从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答. ①数列的前项和； ②； ③且. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的前项和. 19. 已知椭圆过点，且右焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值； （3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省临汾第一中学校2025-2026学年高二上学期数学周测试题（十六） （测试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：许丽丽、王亭惠 审题人：许丽丽、王亭惠 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“”为存在量词命题，该命题的否定为“”. 故选：D. 2. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项的定义即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 3. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据导数几何意义及点斜式即可求解直线方程. 【详解】，故，， 故切线方程为，即， 故选：D 4. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据“冰雹猜想”探讨数列的周期性，再利用该性质求得答案. 【详解】在数列中，，， 因此数列是以3为周期的周期数列，而，所以， 故选：D 5. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有 A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 【答案】C 【解析】 【分析】过点A且在x、y轴上的截距互为相反数的直线有2条，分别求出即可． 【详解】设直线在x、y轴上的截距分别为a和，则直线l的方程为， 直线过点， ，解得：， 此时直线l的方程为； 当时，直线过原点，设直线方程为，过点， 此时直线l的方程为， 即； 综上，直线l的方程有2条． 故选C． 【点睛】本题考查了直线的截距式方程应用问题，容易疏忽过原点的情况，是基础题． 6. 已知函数在处取到极小值，则的值为（ ） A. 3或9 B. 3 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 得出，由，得出或，进行验证，即可得出答案. 【详解】 由题意可得，解得或 当时， 或 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增 满足在处取到极小值 当时， 或 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增 则在处取得极大值 综上， 故选：B 【点睛】本题主要考查了已知函数的极值点求参数，属于中档题. 7. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出曲线在点处的切线方程，再设直线与曲线相切于点，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由题，令，则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为． 由，得， 设直线与曲线相切于点，则，得， 则，所以，所以． 故选：A. 8. 函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分别求解和时的单调性，再结合在上递增，可得，即可求解. 【详解】当时，，， 由题意可得在恒成立，即在恒成立，则； 当时，，， 由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，则，即； 又由在上递增，则，解得. 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数，若，则 B. 已知函数在上可导，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据复合函数的导数运算，求出，再由，解方程即可判断A错； B选项，根据导数的概念，可判断B正确； C选项，由导数的除法运算法则，可判断C错； D选项，对函数求导，令，即可判断D正确； 【详解】A选项，由，得，则，解得，故A错； B选项，由题意，根据导数的概念可得，则，故B正确； C选项，根据导数的运算法则可得，，故C错； D选项，由得，则， 解得，故D正确； 故选：BD 10. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故B错误； 当时，，所以在上单调递减，故A正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确. 故选：AD. 11. 已知直线经过椭圆的一个焦点，且与交于不同的两点，椭圆的离心率为，则下列结论正确的有（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 弦的最大值为4 C. 存在实数，使得以为直径的圆恰好过点 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据焦点与离心率求出椭圆方程为：，再根据椭圆性质，直线与椭圆的位置关系对选项逐一判断即可． 【详解】由题知椭圆焦点在轴上，又直线过点，所以，即， 又，椭圆方程为：． 对于A，椭圆短轴长为，故A正确； 对于B，联立，消去整理得：恒成立， 设，则， ，因为，故，无最大值，故B不正确； 对于C，若为直径的圆恰好过点，则， 即， 即， 即解得：， 故存在实数，使得以为直径的圆恰好过点，C正确； 对于D，若，即， 故，解得：，所以D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】由，得， 所以圆的圆心为，半径为， 因为圆，所以圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切， 即，解得， 所以的值为. 故答案为：. 13. 已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两向量夹角为锐角得向量数量积大于0且两向量不共线，列出不等式组，进而求出结果. 【详解】由题意得，则，解得； 当，则，此时，舍去. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数是上的增函数，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出导函数，由题意恒成立，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】由题意得， 因为是上的增函数，所以恒成立． 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，要使恒成立， 则时，即恒成立，所以， 时，即恒成立，所以， 因为，所以， 综上，得． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知函数，直线在轴上的截距为，且与曲线相切于点． （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间与极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，，单调递减区间为，， 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到切线方程，由切线过点代入计算可得； （2）由（1）可得的解析式，利用导数求出函数的单调性，即可求出极值. 【小问1详解】 因为，则， 所以，， 故直线， 又直线在轴上的截距为，所以，解得． 【小问2详解】 由（1）得，的定义域为， 又， 由，解得或；由，解得， 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为， 所以在处取得极大值，即， 在处取得极小值，即． 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （1）设分别为的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）连接，易知，， 又由，故， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）取棱的中点，连接， 依题意，得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，故， 又已知，， 所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果； （2）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果； （3）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接， 由（2）中平面， 可知为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且为的中点， 所以，又， 在中，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分和求解即可. 【小问1详解】 当时，，． ，． 曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ． 当时，，是增函数． 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 18. 已知在数列中，，，______，其中.从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答. ①数列的前项和； ②； ③且. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）证明: 若，则由（1）的结论，可得， 因为（常数），且， 所以数列是首项为，且公比的等比数列； （3）. 【解析】 【分析】（1）若选择①，根据与的递推关系列式算出的通项公式； 若选择②，先证出构成公差为的等差数列，然后根据等差数列的通项公式算出答案； 若选择③，先证出构成等差数列，然后根据、求出公差，结合等差数列的通项公式算出答案. （2）根据的通项公式，可得，然后根据等比数列的定义证出所求结论； （3）根据等差数列与等比数列的前项和公式加以计算，化简即得的表达式. 【小问1详解】 若选择①：前n项和， 则时，， 当时，，也适合上述式子， 综上所述，数列的通项公式为； 若选择②：，则（常数）， 可知数列构成公差为的等差数列，首项， 所以数列的通项公式为； 若选择③：且，则， 可知数列是等差数列， 设公差为，则由，得，解得. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由（1）和（2）得， 所以 ＝. 即. 19. 已知椭圆过点，且右焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值； （3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值． 【答案】（1） （2）设A、B、P的坐标分别为． 由知，． 又点A在椭圆C上，则， 整理得． 由，同理得到 ． 由于A、B不重合，即， 故m、n是二次方程的两根， 所以m+n=-4，为定值． （3） 【解析】 【小问1详解】 由题意b=2，c=2， 所以，椭圆C的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，直线l的方程为，即，与椭圆C的方程联立，消去y并整理，得 ， ， 所以， 而， ， 由已知，点P不在椭圆C的内部，得，即， 所以的最小值为， 故三角形QAB面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $