精品解析：青海省海东市2025-2026学年九年级上学期期末学业质量评估数学试卷

青海省海东市2025-2026学年九年级上学期期末学业质量评估数学试卷 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷为试题卷，请将答案写在答题卡上，否则无效． 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）． 1. 下列是冬季奥林匹克运动会会徽中图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. “石头、剪刀、布”是我国古老的民间游戏，游戏规定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若两人的手势相同，不分胜负．在学校组织的“共情陪伴，健康同行”亲子运动会上，爸爸和小亮用这种方式决定“打乒乓球”的发球权．从概率的角度思考这个游戏是否公平（ ） A. 公平 B. 对爸爸有利 C. 对小亮有利 D. 不能判断 4. 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（ ） A. B. C. D. 5. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点都在函数上，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，和均为的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 下列关于抛物线说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，函数有最小值2 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）． 9. 方程的根是_____． 10. 《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》是中国古代的“四书”，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．现有“四书”各一本，若从中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的概率是___________． 11. 如图，用长为的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽为，围成的花园面积为，则y关于x的函数表达式为___________． 12. 如图，在中，，则______． 13. 重庆某区全力建设“国际消费中心城市首选区”取得显著成效．全区实际使用外资金额从2月份的250万美元增长到4月份的360万美元，如果3月份和4月份实际使用外资金额的月增长率相同，那么这个增长率是_______ 14. 如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是点______． 15. 如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是_____． 16. 如图，为圆O直径，弦于点E，，，则直径的长是____________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 解方程x2﹣4x+1=0． 18. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个不小于 3的根，求实数k的取值范围． 19. 如图，已知中，，．将绕点A按逆时针方向旋转得到，与交于点F． （1）若，求的度数； （2）若平分，求的度数． 20. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知代数式，求它最大值； （2）知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 21. 草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 22. 如图，中，，以为直径与，分别交于点和点，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径． 23. 中国的人工智能（）领域近年来取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表． 九年级学生最常使用的“AI”软件统计表 软件 使用人数 百分比 18 a 12 豆包 b 腾讯元宝 6 其他软件 （1）请写出统计表中a，b的值： _____， _____； （2）已知九年级有500名同学，试估算最常使用“”同学有多少名？ （3）小城了解到：使用“”和“”组合生成的效果很好，堪称“王炸组合”、现从“”、“”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是“”和“”的概率． 24. 如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知点为抛物线上一动点（不与重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在直线上方的抛物线上运动时，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求的最大值． 25. 已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE． （1）如图1，猜想△ADE是什么三角形？　 　；（直接写出结果） （2）如图2，点D在射线CB上（点C的右边）移动时，∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系，请说明理由． （3）当点在线段CB上移动时，△DEC的周长是否存在最小值？若存在．请求出周长的最小值以及此时△DEC的面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海省海东市2025-2026学年九年级上学期期末学业质量评估数学试卷 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷为试题卷，请将答案写在答题卡上，否则无效． 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）． 1. 下列是冬季奥林匹克运动会会徽中的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项图形分析判断后即可得解． 【详解】解：A、是中心对称图形，故A选项正确； B、不是中心对称图形，故B选项错误； C、不是中心对称图形，故C选项错误； D、不是中心对称图形，故D选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合是解题的关键 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有分式，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选D． 3. “石头、剪刀、布”是我国古老的民间游戏，游戏规定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若两人的手势相同，不分胜负．在学校组织的“共情陪伴，健康同行”亲子运动会上，爸爸和小亮用这种方式决定“打乒乓球”的发球权．从概率的角度思考这个游戏是否公平（ ） A. 公平 B. 对爸爸有利 C. 对小亮有利 D. 不能判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出可能出现的情况，再分别找出两人赢的情况，根据概率公式求出各自的概率，即可解答； 【详解】解：列表： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头） 剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀） 布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布） 所有等可能的情况有9种，其中小亮获胜的情况有3种，所以小亮获胜的概率是P，爸爸获胜的情况有3种，所以爸爸获胜的概率是P，所以游戏公平； 故选：A． 【点睛】本题考查的是列举法求概率，解题关键是列出可能出现的所有情况用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4. 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长公式计算可得． 【详解】解：，所以 的长 ． 因此，管道的展直长度约为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了弧长的计算公式，比较基础． 5. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 6. 已知点都在函数上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记函数图象上的点的坐标满足函数关系式并准确求出三个函数值是解题的关键．根据函数图象上的点的坐标满足函数关系，分别求出、、，然后解答即可． 【详解】解：∵点都在函数上， ∴，，， ∴． 故选：B． 7. 如图，和均为的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可得，，再根据直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， 故选：C． 8. 下列关于抛物线说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，函数有最小值2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用－销售问题，是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，称轴为直线，顶点坐标为，当时，函数有最大值2． 故选C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）． 9. 方程的根是_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，方程左边利用提公因式法进行因式分解，再进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴，； 故答案为：，． 10. 《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》是中国古代的“四书”，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．现有“四书”各一本，若从中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的结果有2种， ∴抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的概率是． 故答案为：． 11. 如图，用长为的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽为，围成的花园面积为，则y关于x的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知花圃的长为，再利用矩形面积公式即可求解． 【详解】解：由题意可知花圃的长为， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用．依据篱笆的总长表示出是解题的关键． 12. 如图，在中，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故答案为： 13. 重庆某区全力建设“国际消费中心城市首选区”取得显著成效．全区实际使用外资金额从2月份的250万美元增长到4月份的360万美元，如果3月份和4月份实际使用外资金额的月增长率相同，那么这个增长率是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设平均增长率为x，根据等量关系式：月份外资金额月份外资金额，列出方程求解即可． 【详解】解：设3月份和4月份实际使用外资金额的月增长率为， ， 解得，（舍去）， 故答案为：． 14. 如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是点______． 【答案】B 【解析】 【分析】根据对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，即可求解． 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B，则点B为旋转中心． 故答案为：B 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 15. 如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 16. 如图，为圆O的直径，弦于点E，，，则直径的长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理得到，设圆的半径为r，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，设圆的半径为r， ∵为圆O的直径，且， ∴， ∴ 解得：， ∴， 故答案． 【点睛】本题考查垂径定理及勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 解方程x2﹣4x+1=0． 【答案】x1=2+，x2=2-. 【解析】 分析】根据完全平方公式和配方法解出方程即可． 【详解】解：移项得，x2﹣4x=﹣1， 配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4， ∴（x﹣2）2=3， ∴x﹣2=±， ∴x1=2+，x2=2-. 18. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个不小于 3根，求实数k的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）证出根的判别式即可完成； （2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围． 【小问1详解】 证明：， ， ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴， ∵方程有一个不小于 3根， ∴， 解得：． 19. 如图，已知中，，．将绕点A按逆时针方向旋转得到，与交于点F． （1）若，求的度数； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，即可求解； （2）由三角形内角和定理可求的度数，由角平分线的性质和外角性质可求解． 本题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理和外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， 平分， ， ， ． 20. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知代数式，求它的最大值； （2）知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 【答案】（1）； （2）20． 【解析】 【分析】本题考查根据配方法求最值，熟练掌握配方的方法是解题的关键； （1）将配方得，根据，求解即可； （2）根据题意求出t的取值范围，由列方程，用配方法求最值即可． 【小问1详解】 解：， 的最大值为； 【小问2详解】 解：，点在AC边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动 ∴点从点运动到点所需时间为， 点从点运动到点所需时间为， 的最小值为20． 21. 草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】（1） （2）216度 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，关键是扇形弧长公式的应用． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出n即可． 【小问1详解】 解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为； 【小问2详解】 解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 22. 如图，中，，以为直径的与，分别交于点和点，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径． 【答案】（1）证明见解析； （2）的半径为． 【解析】 【分析】（）连接，，由圆周角定理得，又，则通过等腰三角形的性质得，然后由中位线定理可得，最后由平行线的性质即可求证； （）过点作，垂足为，易证四边形是矩形，从而得出，设的半径为，然后利用垂径定理表示出，最后在中利用勾股定理列出关于的方程进行计算即可解答． 【小问1详解】 证明：连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定，中位线定理，等腰三角形的性质 ，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识的应用及根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23. 中国的人工智能（）领域近年来取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表． 九年级学生最常使用的“AI”软件统计表 软件 使用人数 百分比 18 a 12 豆包 b 腾讯元宝 6 其他软件 （1）请写出统计表中a，b的值： _____， _____； （2）已知九年级有500名同学，试估算最常使用“”的同学有多少名？ （3）小城了解到：使用“”和“”组合生成的效果很好，堪称“王炸组合”、现从“”、“”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是“”和“”的概率． 【答案】（1），10 （2）估计最常使用“”的同学约有180名 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表、扇形统计图、用样本估计整体、列表法求概率等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）用腾讯元宝的频数除以其所占的百分比即可求得调查学生人数，求得所占的百分比即可确定a的值；用调查人数乘以豆包所占的百分比即可解答； （2）用学生数乘以所占的比例即可解答； （3）先画树状图得所有等可能结果数以及恰好是和的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查学生数为：， 所以使用“”的同学的所占百分比为，即； “豆包”使用的学生数为：位，即． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：（人）． 答：最常使用“”的同学有180位． 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： 根据树状图可知共12种等可能结果，其中恰好是和的结果数为2． ． 24. 如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知点为抛物线上一动点（不与重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在直线上方的抛物线上运动时，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）设点，可得，，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 【小问1详解】 解：∵直线过点，点在轴上， ， 又， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，设点， ∵轴，轴， ∴，， ，， ， ∵点在直线上方的抛物线上运动， ， ∴当时，取得最大值，最大值为． 25. 已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE． （1）如图1，猜想△ADE是什么三角形？　 　；（直接写出结果） （2）如图2，点D在射线CB上（点C的右边）移动时，∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系，请说明理由． （3）当点在线段CB上移动时，△DEC的周长是否存在最小值？若存在．请求出周长的最小值以及此时△DEC的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）等边三角形 （2）∠BCE=2∠BAC，理由见解析 （3）点D在运动过程中，△DEC的周长存在最小值，最小值为4+2，此时△DEC的面积为． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到AD=AE，∠DAE=60°，根据等边三角形的判定定理解答； （2）证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠B=∠ACE=60°，结合图形计算即可； （3）根据△ABD≌△ACE得到CE=BD，根据垂线段最短解答． 小问1详解】 解：由旋转变换的性质可知，AD=AE，∠DAE=60°， ∴△ADE是等边三角形， 故答案为：等边三角形； 【小问2详解】 解：∠BCE=2∠BAC，理由如下： 证明：由旋转的性质可知，∠DAE=60°，AD=AE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°， ∴∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠ACE=60°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°， ∴∠BCE=2∠BAC； 【小问3详解】 解：点D在运动过程中，△DEC的周长存在最小值，最小值为4+2，此时△DEC的面积为． 理由如下：∵△ABD≌△ACE， ∴CE=BD， 则△DEC的周长=DE+CE+DC=BD+CD+DE=BC+DE， ∴当DE最小时，△DEC的周长最小， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD=DE， 由垂线段最短可知，当AD⊥BC时，△DEC的周长最小， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=4， ∴BD=DC=2， ∴AD==2， ∵△ADE为等边三角形， ∴DE=AD，∠ADE=60°， ∴△DEC的周长的最小值为4+2． 过点E作EG⊥BC并交BC延长线于点G，如图： ∵∠ADE=60°， ∴∠EDG=30°， ∴EG=DE=， 此时△DEC的面积=DC×EG=． 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $