广东省深圳市2025-2026学年高二上学期数学期末考试复习试题

2025-2026学年度高二年级期末考试复习试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.直线：，其倾斜角为( ) A. B. C. D.不存在 2．已知等差数列的公差为，已知，且，则( ) A． B．1 C．2 D．3 3．已知、为椭圆的焦点,为椭圆上一点，垂直于轴，且， 则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 4．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等， 则动点的轨迹所在的曲线是( ) A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 5．已知递增的等比数列满足，,则的公比( ) A．6 B．3 C．2 D． 6．在平行六面体中，，，且， 则的取值范围为( ) A． B． C． D． 7．已知是轴正半轴上一点，点，若圆：上存在点，使得， 则点的纵坐标的取值范围为( ) A． B． C． D． 8.已知,分别为双曲线:(,)的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线， 与渐近线交于,两点.若，则的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆：，圆:，则( ) A．的半径为4 B．若,相切，则 C．当时，,相交弦所在直线的方程为 D．当时，,相交弦的长度为 10．设数列的前项和为，若，()，则下列说法正确的是( ) A．为等比数列 B． C．既有最大值也有最小值 D． 11．如图，在正四棱柱中，底面边长，侧棱长，为底面内的动点， 且与所成角为，则下列命题正确的是( ) A．动点的轨迹长度为 B．当平面时，到平面的距离为 C．直线与底面所成角的最大值为 D．二面角的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则 ． 13．已知等比数列的前项和为，若，，则 ． 14.已知双曲线:(,)的左、右焦点分别为,．点在上，点在轴上， ，，则的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.(13分)已知直线与直线相交于点． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 16．(15分)已知正项数列的前项和为，，且． (1)证明：数列是等差数列： (2)若，求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 17．(15分)已知动点到点的距离比到直线的距离小4，设的轨迹为曲线． (1)求的标准方程； (2)若点的坐标为，求的最小值； (3)若过点的直线与交于两点，点，且，判断的条数，并说明理由． 18．(17分)如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在一点，使得二面角正弦值为？若存在，求出的长： 若不存在，请说明理由． 19．(17分)已知椭圆()的左右焦点分别为，，离心率，且过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点，和，． 若,分别是线段和的中点； (i)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由． (ii)求面积的最大值． 第页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二年级期末考试复习试题解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.直线：，其倾斜角为( ) A. B. C. D.不存在 【答案】A 【解析】显然直线的斜率为，倾斜角为 2．已知等差数列的公差为，已知，且，则( ) A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】已知数列为等差数列，且，则，化简可得． 因为，所以． 3．已知、为椭圆的焦点,为椭圆上一点，垂直于轴，且， 则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆的定义，为，且， 故可得，解得，且，即， 得椭圆的离心率为． 4．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是( ) A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】平，故到直线的距离即到的距离， 则到定直线的距离等于到定点的距离，符合抛物的定义． 5．已知递增的等比数列满足，,则的公比( ) A．6 B．3 C．2 D． 【答案】B 【解析】由，解得或 因为是递增数列，所以则,（负根舍去）. 6．在平行六面体中，，，且， 则的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，所以．由，得， 所以． 7．已知是轴正半轴上一点，点，若圆：上存在点，使得， 则点的纵坐标的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】可化为，圆心的坐标为，半径为1． 如图，过点作圆的切线，切点分别为，，易得．因为圆上存在点， 使得．所以． 因为轴，所以，故点的纵坐标的取值范围为． 8.已知,分别为双曲线:(,)的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线， 与渐近线交于,两点.若，则的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】易知点，关于轴对称，令，， ，， ，(负值舍去)，由，可得， 则，，渐近线方程为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆：，圆:，则( ) A．的半径为4 B．若,相切，则 C．当时，,相交弦所在直线的方程为 D．当时，,相交弦的长度为 【答案】AC 【解析】A::整理为:，所以的半径为4，A选项正确； B:易知，，且的半径为1，若相切，则或，解得或， B选项错误； C:当时，，，两圆方程相减可得相交弦所在直线：，C选项正确； D:到直的：的距离为，所以,相交交的长度为，D选项错误. 10．设数列的前项和为，若，()，则下列说法正确的是( ) A．为等比数列 B． C．既有最大值也有最小值 D． 【答案】AD 【解答】解：因为，, 所以当时，， 当时，，所以，所以， 因为，所以从第二项起，数列是公比为3的等比数列，所以，故正确； 因为随着的增大而增大，所以无最大项，故错误； 所以，故错解； 因为，所以数列为等比数列，故正确． 11．如图，在正四棱柱中，底面边长，侧棱长，为底面内的动点，且与所成角为，则下列命题正确的是( ) A．动点的轨迹长度为 B．当平面时，到平面的距离为 C．直线与底面所成角的最大值为 D．二面角的取值范围是 【答案】AC 【解析】A：因为且与所成角为，所以与所成角也为．又∵，．又在底面内，∴的轨迹为以为圆心，1为半径的圆周的四分之一， 长度为故选项正确； B:当平面时，到平面的距离即为与平面的距离．，在中，边上的高为2，设到平面的距离为，则．，解得．故选项B错； C：连接，则线段为线段在底面的投影，故直线与底面所成角为，且，由选项 A可知，当为正方形中心时，最短为1，此时最大为，即故选项C对； D：当在线段上时，，，因为是等腰三角形，所以取中点，连接，则．过作交于点，分别连接，，则，故四边形是等腰梯形，取中点，则，所以是二面角的平面角． 在四边形中，，，故．又， 故．由选项B知，． 在中，由余弦定理得， 所以，得选项D错 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则 ． 【答案】 【解析】若，，共面，则，，，四点共面．因为，则，解得，故答案为． 13．已知等比数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】12 【解析】由等比数列的性质可知，，成等比数列，所以， 即，解得或， 当时，所成等比数列的公比为，故舍去． 14.已知双曲线:(,)的左、右焦点分别为,．点在上，点在轴上， ，，则的离心率为 ． 【答案】 【解析】依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则，故， 所以在中，，整理得，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.(13分)已知直线与直线相交于点． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 【解析】(1)由得所以点． 设过点且与直线垂直的直线的方程为， 将点代入方程得，解得， 所以所求直线的方程为． (2)当直线过原点时，直线在轴上的截距与在轴上的截距都是0，显然符合题意， 设所求直线的方程为，将点代入，得，故所求直线方程为． 当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为，即． 综上所述，所求直线的方程为或． 16．(15分)已知正项数列的前项和为，，且． (1)证明：数列是等差数列： (2)若，求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【解析】(1)证明：由，且，可得 解得(舍去)由，可得， 两式相减得 因为，所以，所以，上式对也成立， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列 (2)由(1)知，数列的通项公式为，则 可得， 则， 两式相减得 所以 (3)由(1)知，所以 则 所以 17．(15分)已知动点到点的距离比到直线的距离小4，设的轨迹为曲线． (1)求的标准方程； (2)若点的坐标为，求的最小值； (3)若过点的直线与交于两点，点，且，判断的条数，并说明理由． 【解析】(1)由题意得动点到点的距离等于到直线的距离， 则是焦点为的抛物线，所以的标准方程为． (2)设，则，所以， 当时，取得最小值，且最小值为4． (3)的条数为3． 易得的斜率存在，且不为0，设，，． 由，得，得， 由，得在的垂直平分线上． 易得，得的中点坐标为， 则，得，得或，所以的条数为3． 18．(17分)如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在一点，使得二面角正弦值为？若存在，求出的长： 若不存在，请说明理由． 【解析】(1)如图，连接，交于点，则为的中点．连接， 因为是的中点，所以． 又平面平面，所以平面． (2) (3)存在点，使得二面角的正弦值为． 因为底面是菱形，底面，$，平面， 所以，，，故以为坐标原点，分别以,所在直线为,轴，以过点且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， 故，，.设， 则，． 设平面的法向量为， 则, 则，令，则，故． 设平面的法向量为， 则，即 则，令得，故． 因为二面角的正弦值为， 所以二面角的余弦值的绝对值为 令， 化简得，解得或．经检验都符合 .因为，所以，或． 19．(17分)已知椭圆()的左右焦点分别为，，离心率，且过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点，和，． 若,分别是线段和的中点； (i)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由． (ii)求面积的最大值． 【解析】(1)因为椭圆的可得率，且过点． 可得,且，解得，所以椭圆的标准方程为 (2)(i)由(1)知，椭圆，可得． 设直线的方程为的方程为，且，． 联立方程组，整理得，所以，, 因为为的中点．所以，, 即，同理可得， 直线的方程为，即， 所以直线过的定点为 (ii)由过的定点为， 所以 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的面积最大值为. 第页 学科网（北京）股份有限公司 $