精品解析：四川省南充市 2025-2026学年上学期教学质量监测八年级数学试题

数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 说明：（1）答题前将姓名、座位号、考号等填在答题卡指定位置． （2）所有答题内容均需涂、写在答题卡上． （3）选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． （4）非选择题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分． 1. 当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将下列长度的三条线段首尾顺次相连能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，6 C. 3，4，6 D. 4，5，10 4. 我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达0.0000005米，该精度用科学记数法表示为（ ）米． A. B. C. D. 5. 如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（ ） A. 三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B. 三角形匀质薄板三边中线的交点 C. 三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D. 三角形匀质薄板三边上高的交点 6. 若展开后不含的一次项，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，点D在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点是边的中点，小狗汪汪从点出发沿以的速度向点跑，同时小狗妞妞从点出发沿向点跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 10. 如图，点M在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，N是线段上一动点．当的长最小时，，则的长为（ ） A. 10 B. 13 C. 16 D. 无法确定 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上． 11. 要使分式有意义，则x的取值范围为_____． 12. 如图，蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师之一．从蜂巢的入口处看，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，正六边形每个内角的度数为______． 13. 若，，则________． 14. 在等腰三角形中，，，一含角的三角板如图放置，一直角边与重合，斜边经过的顶点，则为______度． 15. 如图，在中， ，是的角平分线，若，则的面积为__________ 16. 如图以 三边为边向外作等边三角形，分别记，，，面积为，，，，作关于对称的，连接、，若，则_____，_____，（用含，，的式子表示） 三、解答题（本大题共9个小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，，于点，若，求的长． 19. 先化简，再求值： 其中． 20. 因式分解： （1）； （2）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）请写出关于y轴对称的的各顶点的坐标，______，______，______； （2）请画出关于y轴的对称图形； （3）已知点，直线轴，求点P的坐标． 22. 下面是小华同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程． 已知：． 求作：，使． 作法：①如图，在射线上任取一点； ②作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接．可知即为所求的角． 根据小明设计的尺规作图过程，回答下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）求证：． 23. 某书店销售精装和简装两种版本的名著，精装版单价比简装版贵15元．用450元购买简装版的数量与用720元购买精装版的数量相同． （1）求简装版和精装版名著的单价分别是多少元？ （2）该书店计划一次性购进两种版本共40本，且总进货费用不超过1200元，则最多能购进精装版多少本？ 24. 小南对发声物体的振动实验做了进一步的探究，请认真阅读，并完成后面的任务． 课题 发声物体的振动实验的探究 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、直角三角板、刻度尺等 测量方案 如图1，在支架横杆上的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小南用发声物体靠近小球A时，如图2，小球从摆动到位置，此时过点B作于点D；当小球摆动到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点 测量示意图 任务一 求证：； 任务二 经测量，得知点B到点D的距离是7cm，细绳的长是15cm，求的长． 拓展应用 如图3，在中，D是的中点，过点D作，垂足为E，的垂直平分线分别交、于点F、G，且若，，则的长为______． 25. 如图，在中，，，为上方一个点，且，过点作直线交线段于点，交线段于点，且使得． （1）的度数为______； （2）探究线段，，的数量关系； （3）如图2，画出关于直线的对称图形，得到，连接，． ①若长为、长为，求四边形的周长（用含，的式子表示）； ②若，，请直接写出的面积（用含，的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 说明：（1）答题前将姓名、座位号、考号等填在答题卡指定位置． （2）所有答题内容均需涂、写在答题卡上． （3）选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． （4）非选择题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分． 1. 当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，正确理解相关内容是解题关键．根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A，B，C选项中的图标都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括单项式的乘法、合并同类项、积的乘方和同底数幂的除法；根据运算法则逐一判断． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，符合题意； 故选D． 3. 将下列长度的三条线段首尾顺次相连能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，6 C. 3，4，6 D. 4，5，10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，构成三角形的三边应满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只有同时满足以上的两个条件，才能构成三角形，据此可判断选项正误． 【详解】解：A项：，不大于第三边3，所以不能构成三角形； B项：，不大于第三边6，所以不能构成三角形； C项：，，，所有两边之和均大于第三边，所以能构成三角形； D项：，不大于第三边10，所以不能构成三角形； 故选：C． 4. 我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达0.0000005米，该精度用科学记数法表示为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小数，形式为，其中，n是原数小数点后第一个非零数字所在的位数． 【详解】解：， 故选：D． 5. 如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（ ） A. 三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B. 三角形匀质薄板三边中线的交点 C. 三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D. 三角形匀质薄板三边上高的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键． 支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点． 故选：B． 6. 若展开后不含的一次项，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法中不含某项的含义，理解题意，利用方程思想解题是关键．先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，再根据一次项的系数为建立方程求解即可． 【详解】解： ， 又该多项式展开后不含的一次项， ， 解得， 故选：B． 7. 如图，，点D在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角． 先根据全等三角形性质求出，然后根据等边对等角求出，再利用平角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 8. 已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解及根据方程解的情况确定参数的取值范围，先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解x关于k的表达式，再根据解为正数和分母不为零的条件列不等式求k的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为， 左边合并：，即， 两边同乘得：， 解得， ∵解为正数， ∴，即， ∴， 又∵分母， ∴，即， ∴， 综上，且， 故选：D． 9. 现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点是边的中点，小狗汪汪从点出发沿以的速度向点跑，同时小狗妞妞从点出发沿向点跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题（一元一次方程的应用），全等三角形的性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用中点的意义求得，再分“，”、“，”两种情况，分别求出妞妞的运动速度． 【详解】解：∵，E是边的中点， ∴， ∵，且与全等， ∴，或，， 当，时， ∵，， 设运动时间为t，， 解得：， ∴， 此时妞妞的运动速度为：， 当，时，， 解得：， 此时，妞妞的运动速度为：， 故选：C． 10. 如图，点M在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，N是线段上一动点．当的长最小时，，则的长为（ ） A. 10 B. 13 C. 16 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，作点M关于直线的对称点G，过点G作于点N，交于点P，由轴对称的性质可得，即，由垂线段最短可知，的最小值为，由等边三角形的性质可得，推出，由含角直角三角形的性质可得，推出，计算出即可得解． 【详解】解：如图，作点M关于直线的对称点G，过点G作于点N，交于点P， 则， ∴， ∵， ∴由垂线段最短可知，的最小值为， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等边三角形， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上． 11. 要使分式有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】x≠﹣2 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0，解这个不等式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：x+2≠0， ∴x≠﹣2， 故答案为x≠﹣2． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件：分母不为0． 12. 如图，蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师之一．从蜂巢的入口处看，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，正六边形每个内角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角公式是解题的关键：正多边形的内角和，正多边形每个内角的度数或． 根据正多边形的内角公式即可直接得出答案． 【详解】解：正六边形每个内角的度数为： ， 故答案为：． 13. 若，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式．根据完全平方公式进行变形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：2． 14. 在等腰三角形中，，，一含角的三角板如图放置，一直角边与重合，斜边经过的顶点，则为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理；三角形的外角的性质． 先根据等边等角以及三角形的内角和定理得出根据三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中， ，是的角平分线，若，则的面积为__________ 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键．由角平分线的性质及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点作于点． 因为是的角平分线， 所以． 已知， 则． 因为， 且 所以． 又已知， 则． 故答案为：16． 16. 如图以 三边为边向外作等边三角形，分别记，，，面积为，，，，作关于对称的，连接、，若，则_____，_____，（用含，，的式子表示） 【答案】 ①. ##150度 ②. 【解析】 【分析】由全等的性质可得，由对称可知也是等边三角形，于是，得到，再由即可解答；把绕点C顺时针旋转，边落在得到，连接，可得，和是边长相等的等边三角形，利用三边对应相等的两个三角形全等求得，然后根据全等三角形的面积相等利用面积=面积+面积-面积即可解答； 【详解】解：∵， ∴，， 由对称的性质可得也是等边三角形，且面积=面积=， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 如下图，把绕点C顺时针旋转，边落在得到，连接， 由旋转的性质可得，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∵和是边长相等的等边三角形， ∴面积=面积=， ∵，，， ∴， ∵， ∴面积=面积=面积=， 又∵，， ∴面积=面积=面积=， ∵面积=面积+面积-面积， ∴， 故答案为：，； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，对称的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，综合性较强，通过旋转构造出等边是解题关键． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方及完全平方公式的运算． （1）利用同底数幂乘法法则计算，再利用幂的乘方法则计算，紧接着利用积的乘方法则计算，注意保留前面的负号，最后将三项结果合并同类项得到最终值； （2）利用完全平方公式展开，再利用乘法分配律计算，注意保留前面的负号，最后将两项结果去括号后合并同类项得到最终值． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在中，，，于点，若，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，先求出，然后根据含角的直角三角形的性质依次求出，即可． 【详解】解：在中，，， ， 19. 先化简，再求值： 其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键是注意计算的准确性．先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， ， ∴原式 ． 20. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，公式法包括完全平方公式和平方差公式． （1）先提取公因式2，再利用完全平方公式得到，将上述结果代入并最终得出式子； （2）先转化符号得，再提取公因式，最后利用平方差公式并将上述结果代入得出式子． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）请写出关于y轴对称的的各顶点的坐标，______，______，______； （2）请画出关于y轴的对称图形； （3）已知点，直线轴，求点P的坐标． 【答案】（1）；； （2） 如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，写出点、、的坐标即可； （2）根据轴对称的性质找出点、、，然后顺次连接即可； （3）根据平行x轴的直线上点的纵坐标相同，求出，再求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点，直线轴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 22. 下面是小华同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程． 已知：． 求作：，使． 作法：①如图，在射线上任取一点； ②作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接．可知即为所求的角． 根据小明设计的尺规作图过程，回答下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）求证：． 【答案】（1） 补全的图形如图所示， （2） 证明：是线段的垂直平分线， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形外角性质得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握几何图形的性质和基本作图方法． 23. 某书店销售精装和简装两种版本的名著，精装版单价比简装版贵15元．用450元购买简装版的数量与用720元购买精装版的数量相同． （1）求简装版和精装版名著的单价分别是多少元？ （2）该书店计划一次性购进两种版本共40本，且总进货费用不超过1200元，则最多能购进精装版多少本？ 【答案】（1）简装版单价25元，精装版单价40元 （2）最多能购进精装版13本 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是正确理解题意，根据题中的数量关系建立方程或不等式，注意分式方程的结果要检验． （1）设简装版名著单价为元，则精装版名著单价为元，根据购买数量相等列方程求解； （2）通过设精装版数量为未知数，根据总费用不超过1200元列不等式求解． 【小问1详解】 解：设简装版名著单价为元，则精装版名著单价为元． 根据题意，． 解得：，经检验是原方程的解，且符合实际； 因此，简装版单价为元，精装版单价为元． 【小问2详解】 设购进精装版本，则购进简装版本． 总进货费用为元． 根据总进货费用不超过1200元，得不等式： 解得： 由于为整数，因此． 故最多能购进精装版本． 24. 小南对发声物体的振动实验做了进一步的探究，请认真阅读，并完成后面的任务． 课题 发声物体的振动实验的探究 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、直角三角板、刻度尺等 测量方案 如图1，在支架横杆上的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小南用发声物体靠近小球A时，如图2，小球从摆动到位置，此时过点B作于点D；当小球摆动到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点 测量示意图 任务一 求证：； 任务二 经测量，得知点B到点D的距离是7cm，细绳的长是15cm，求的长． 拓展应用 如图3，在中，D是的中点，过点D作，垂足为E，的垂直平分线分别交、于点F、G，且若，，则的长为______． 【答案】 任务一：证明：， ， ， ； 任务二： 解：，， 在和中， ， ≌， ， 任务二：； 拓展应用： 【解析】 【分析】本题考查了同角的余角，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 利用同角的余角相等，即可得证； 证明≌，得到，利用线段的和差关系进行求解即可； 延长ED至H，使得，连接HC，GB，GC，可证明≌得出，，进而得出，证明是等腰直角三角形，≌得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】任务一：略 拓展应用： 解：如图3，延长ED至H，使得，连接HC，GB，GC， 是AC的中点， ， 在和中， ， ≌， ，， 内错角相等，两直线平行， ， ， 垂直平分BC，， ，，， ，是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， 又， ， ≌， ，， ， 故答案为： 25. 如图，在中，，，为上方一个点，且，过点作直线交线段于点，交线段于点，且使得． （1）的度数为______； （2）探究线段，，的数量关系； （3）如图2，画出关于直线的对称图形，得到，连接，． ①若长为、长为，求四边形的周长（用含，的式子表示）； ②若，，请直接写出的面积（用含，的式子表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数； （2）由三角形的内角和定理可得，由邻补角互补可得，，进而可得，由三角形的内角和定理可得，由平角的定义可得，进而可得，再结合，利用可证得，于是可得，，由线段之间的和差关系可得，再利用等量代换即可得出结论； （3）①由已知条件可得为等边三角形，由轴对称的性质可得为等边三角形，于是可得，，由（2）得，，则，进而可得，利用可证得，于是可得，，则，即，于是可得为等边三角形，则，进而可得四边形的周长，于是得解；②连接，由（2）得，因而设，可得，，于是可得为等边三角形，则，进而可得，于是可得四边形是菱形，则，由全等三角形的性质可得，进而可得，即，由轴对称的性质可得，于是可得，解方程即可求出的值，进而可得的面积． 【小问1详解】 解：，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 即：； 【小问3详解】 解：①，， 为等边三角形， 与关于直线对称， 为等边三角形， ，， 由（2）得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ，， 四边形的周长 ； ②如图，连接， 由（2）得：， 设， ，， ， 又， ， 为等边三角形， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 与关于直线对称， ， ， 解得：， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质（、），等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，列代数式，解一元一次方程，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $