精品解析：内蒙古呼和浩特市2025-2026学年高三上学期期末数学试题

高三年级 数学 注意事项： 1.考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置． 2.考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，把答题卡交回． 3.本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 向量，，，若，则k的值是（ ） A. 4 B. －4 C. 6 D. －6 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，则（ ） A. B. 28 C. 4 D. 16 6. 正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前10个正方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 7. 为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ） A. 向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C. 向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D. 向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 8. 已知首项为3的数列的前n项和为，若，则（ ） A. 3 B. C. D. －2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 圆C的圆心坐标为 B. 直线l的方向向量和共线 C. 当直线l与圆C相切时，或 D. 当时，l与圆C的相交弦长度为2 10. 下列说法正确的有（ ） A. 样本数据1，1，2，3，5，8的分位数为2 B. 设样本数据、、…、的平均数为，则函数取到最小值时 C. 在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越大 D. 在一组样本数据，，…，（，、不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为1 11. 已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（ ） A. 此正四面体的表面积为 B. 此正四面体外接球的表面积为 C. 此正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 D. 从此正四面体6条棱中任取2条，这2条棱垂直的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 13. 设随机变量的概率分布为，k＝1、2、3、4、5，则______． 14. 已知，，点P在函数的图象上，则面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某班组织竞赛活动，规定比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答．假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中4道题目且另外2道题不能完成． （1）求甲正确完成其中2道题的概率； （2）设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望． 16. 已知奇函数和偶函数满足． （1）求证：； （2）求的最小值． 17. 记的内角的对边分别为,． （1）求A； （2）若，在AB边上存在一点D，使得，连接CD，若的面积为，的平分线交CD于点E，求的值． 18. 在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一点，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点绕原点逆时针旋转后得点，且旋转变换的表达式为，曲线的旋转变换也如此． （1）将点绕原点逆时针旋转得到点，求点坐标； （2）已知曲线，绕原点逆时针旋转得到曲线． （ⅰ）求曲线的方程； （ⅱ）P为曲线上一点，P不在x轴上，过P作交曲线于B，D两点，求证：BD与曲线在P点处的切线垂直． 19. 如图，在三棱锥中，已知，，且，． （1）若，，求证：； （2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值； （3）若，求二面角余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级 数学 注意事项： 1.考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置． 2.考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，把答题卡交回． 3.本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为，或， 所以，又因为， 所以. 故选：D 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义先求，再求复数的模，最后即可求解. 【详解】由题意有：，， 所以， 故选：A. 3. 向量，，，若，则k的值是（ ） A. 4 B. －4 C. 6 D. －6 【答案】D 【解析】 【分析】运用向量的坐标运算公式和向量垂直的坐标表示，可直接求出的值. 【详解】向量，，则 因为， 所以， 故选：D 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式的解，再根据范围的包含关系判断条件关系. 【详解】即为， 故的解集为， 而为的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，则（ ） A. B. 28 C. 4 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程确定焦点坐标，从而得椭圆的值，从而根据椭圆方程求解的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 所以椭圆的，且焦点在轴上， 则. 故选：B. 6. 正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前10个正方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面几何知识可得正方形的面积依次构成以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的前项和公式可求解. 【详解】作出示意图如图所示： 第一个正方形是，记为， 由平面几何知识可得第二个正方形的边长为， 所以正方形的面积为，记为， 依次类推可得第三个正方形的面积为，记为， 可得第个正方形的面积为， 所以正方形的面积可依次排成一个以为首项，为公比的等比数列， 所以前10个正方形的面积和为. 故选：C. 7. 为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ） A. 向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C. 向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D. 向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的图象平移和伸缩变换，可得结论. 【详解】把的图象上所有的点向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为， 再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为. 故选：A. 8. 已知首项为3的数列的前n项和为，若，则（ ） A. 3 B. C. D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列与的关系，利用相减法将已知等式转化为，再根据的值即可得数列为周期数列，从而可得的值. 【详解】因为，则， 所以，则，即， 因为，所以，， ，， 所以数列是以为周期的数列， 故. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 圆C的圆心坐标为 B. 直线l的方向向量和共线 C. 当直线l与圆C相切时，或 D. 当时，l与圆C的相交弦长度为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆的一般式计算圆心坐标和半径，直线的方向向量判断向量共线，直线与圆相切求解参数，直线与圆的位置关系计算相交弦的长度，即可判断各个选项； 【详解】对于A，圆的圆心坐标为，A错误； 对于B，直线的方向向量为和共线，B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径， 当直线l与圆C相切时，圆心到直线的距离等于半径，即， 解得或，C正确； 对于D，当时，，即， 计算圆心到直线的距离为，说明直线l过圆心， 此时直线与圆C的相交弦长度为2，D正确； 故选：BCD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 样本数据1，1，2，3，5，8的分位数为2 B. 设样本数据、、…、的平均数为，则函数取到最小值时 C. 在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越大 D. 在一组样本数据，，…，（，、不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解判断A；化简，结合二次函数的性质判断B；根据独立性检验的定义判断C；根据样本数据的相关性及相关系数判断D. 【详解】对于A，因为，所以样本数据的分位数为2，故A正确； 对于B，由 ，函数开口向上，对称轴为， 则函数取到最小值时，故B正确； 对于C，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大， 即犯错误的概率越小，故C错误； 对于D，由题意，在散点图中，所有样本点都在直线上， 说明这组数据的样本完全正相关，其相关系数是1，故D正确. 故选：ABD 11. 已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（ ） A. 此正四面体的表面积为 B. 此正四面体外接球的表面积为 C. 此正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 D. 从此正四面体6条棱中任取2条，这2条棱垂直的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】A：根据棱锥的表面积公式，结合三角形面积公式进行求解判断即可；B：把该正四面体放在正方体中，利用正方体的性质，结合球的表面积公式进行求解判断即可；C：根据正四面体的体积公式，结合等积法进行求解判断即可；D：根据线面垂直的判定定理和性质，结合组合的定义、古典概型的计算公式进行运算判断即可. 【详解】A：因为正四面体每个面都是边长为2的正三角形， 所以此正四面体的表面积为，因此本选项说法不正确； B：把该正面体放在正方体中，如下图所示： 设该正方体的棱长为，则有， 所以该正方体的对角线长为， 所以该正方体外接球的半径为， 所以该正四面体外接球的半径为， 所以该正四面体外接球的表面积为，因此本选项说法正确； C：设此正四面体内任意一点为， 它到该正四面体四个面的距离分别为， 设点到平面的距离为，显然为一常数， 因为该正四面体每个面都是边长为2的正三角形，设每个面的面积为， 所以有， 即为定值，所以本选项说法正确； D：设的中点为，连接， 因为是正三角形， 所以， 因为平面， 所以平面，而平面， 所以，同理可证，， 除了这三对互相垂直，其他的棱之间成的角为， 所以从此正四面体6条棱中任取2条，这2条棱垂直的概率为， 所以本选项说法不正确. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求出，再利用倍角公式求解. 【详解】由题意可得，，则， 则，则，得或， 因为，所以，则. 故答案为： 13. 设随机变量的概率分布为，k＝1、2、3、4、5，则______． 【答案】##0.1 【解析】 【分析】由概率之和为1以及数列求和公式即可求解. 【详解】由题意可知：随机变量的所有可能值的概率和为1， 即， 则， 则， ∴， 故答案为：. 14. 已知，，点P在函数的图象上，则面积的最大值为______． 【答案】2026 【解析】 【分析】由题意可得，进而结合导数分、两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，， 当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，则； 当时，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，则. 由于，所以面积的最大值为2026. 故答案为：2026. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某班组织竞赛活动，规定比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答．假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中4道题目且另外2道题不能完成． （1）求甲正确完成其中2道题的概率； （2）设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合独立重复试验概率公式即可求解； （2）先求对应的值，再结合超几何分布公式求出对应概率，写出分布列，求出期望. 【小问1详解】 令事件为甲正确完成其中2道题， 所以； 【小问2详解】 由已知有：的可能取值为， 所以， 所以的分布列为： 所以. 16. 已知奇函数和偶函数满足． （1）求证：； （2）求的最小值． 【答案】（1） 在中，用代替，可得， 又是奇函数，是偶函数，则，， 所以，又， 两式相减得，两式相加得， 所以， ，，当且仅当，即时，取等号； 所以， 所以成立. （2）1 【解析】 【分析】（1）在中，用代替，结合函数的奇偶性解方程求得的解析式，对求导结合基本不等式证明； （2）由（1）可得的解析式，求导判断单调性，进而求出最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），，则， 令，则， 由（1）知，则对，有， 所以即在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的最小值为. 17. 记的内角的对边分别为,． （1）求A； （2）若，在AB边上存在一点D，使得，连接CD，若的面积为，的平分线交CD于点E，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简等式，结合和差角公式和诱导公式即可求得； （2）由三角形面积公式求得，结合三角形余弦定理求得，即可求得，由三角形的面积比得到的值. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵，∴， ∴，∴. 【小问2详解】 ∵，∴， ∵，即， ∴， 在中，即， ∴， ∴， ∴， ∴. 18. 在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一点，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点绕原点逆时针旋转后得点，且旋转变换的表达式为，曲线的旋转变换也如此． （1）将点绕原点逆时针旋转得到点，求点坐标； （2）已知曲线，绕原点逆时针旋转得到曲线． （ⅰ）求曲线的方程； （ⅱ）P为曲线上一点，P不在x轴上，过P作交曲线于B，D两点，求证：BD与曲线在P点处的切线垂直． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）设，且，， 由题意可知，过点的切线斜率存在，故设切线方程为， 联立，得， 则， 即 ， 则， 当直线的斜率存在时，设直线，， 联立，得， 则， 则， ， 因为，所以 ， 则， 即，即， 因为直线不过点，所以， 则，得， 则，此时BD与曲线在P点处的切线垂直； 当直线的斜率不存在时，设直线，其中或，， 联立，得，则， 则 ，不符合题意. AI    综上，BD与曲线在P点处的切线垂直． 【解析】 【分析】（1）由旋转公式可得； （2）（ⅰ）设曲线上任意一点为，将其绕原点逆时针旋转得到点，根据旋转公式可得； （ⅱ）设，再设切线方程为，根据得出，再分类讨论，设，根据得出，当直线的斜率不存在时，求证即可求证. 【小问1详解】 由题意可得，，则； 【小问2详解】 （ⅰ）设曲线上任意一点为，且，将其绕原点逆时针旋转得到点， 则，得， 则，即， 故曲线的方程为； （ⅱ）略 19. 如图，在三棱锥中，已知，，且，． （1）若，，求证：； （2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值； （3）若，求二面角余弦值的最小值． 【答案】（1） 证明：因为，，， 所以，，， 所以，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明线线垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角的余弦值即可； （3）由题意可知，点的轨迹为椭圆，点的轨迹为圆，利用二面角的定义作出二面角的平面角，设出点，的坐标联立方程组，利用基本不等式求解最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，，， 以为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，， 设平面的一个法向量为：， ，则，令，则，， 所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为：， 所以， 由于二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 在所在平面内，由且，满足椭圆定义， 在所在平面内，以的中点为坐标原点，为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 故点的轨迹方程为， 在所在平面内，由可知，在所在平面内， 以的中点为坐标原点，为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 故点轨迹方程为. 过点作，垂足为，连接， 由，， ，平面，得面， 又平面，所以. 故是二面角的平面角， 在中，， 设，， 因为，所以， ， 两式作差可得：，即， 所以. 即二面角的余弦值最小为， 当且仅当即，时取等号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $