精品解析：湖北省黄冈市蕲春县第一高级中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

2028届高一元月月考数学试题 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据真数要大于0和集合交集的运算法则即可求解． 【详解】， 故． 故选：D． 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据具体函数定义域的求法列式求解即可. 【详解】由题意可知解得且， 故的定义域是. 故选:D. 3. 已知α是第四象限角tanα=-，则cosα=（　　） A. B. - C. D. - 【答案】C 【解析】 【详解】∵α是第四象限角, ， ， 本题选择C选项. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】，， ，， ， . 故选：D. 5. 已知，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等中间值区分各个数值的大小． 【详解】， ， ，故， 所以． 故选A． 【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较． 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论得到分段函数，分析函数的单调性与特值即可. 【详解】因为函数 ， 且当 时， ，排除D选项； 当 时， 在 上单调递减，又 ，排除BC选项； 对于A选项，当 时， 在 上单调递减，当 从0 的右侧趋近于0 时， 趋近于1，符合题意. 故选：A. 7. 2022年11月15日，联合国宣布，世界人口达到80亿，在过去的10年，人口的年平均增长率为1.3%，若世界人口继续按照年平均增长率为1.4%增长，则世界人口达到90亿至少需要（ ）年（参考数据：，，） A. 8.3 B. 8.5 C. 8.7 D. 8.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，通过取对数，根据对数函数的单调性进行求解即可. 【详解】设世界人口达到90亿至少需要年，由题意，得 ， 因此世界人口达到90亿至少需要8.5年， 故选：B 8. 若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合二次函数的图象性质列式求解. 【详解】由函数的值域为，得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点，即方程有实根， 因此，解得或； 由函数在上单调递增，而函数是减函数， 则函数在上单调递减且恒为正，则有， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题绐出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则函数的值可能是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 2 【答案】ABD 【解析】 【分析】对分四个象限讨论即可． 【详解】解：因为，所以且， 当是第一象限角时：，， ， 当是第二象限角时：，， ， 当是第三象限角时：，， ， 当是第四象限角时：，， ， 所以函数的值域， 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. “”是“函数在区间内有零点”的充要条件 C. 已知，则“”是“点在第一象限内”的必要不充分条件 D. 函数是定义在上的奇函数和增函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断A，结合零点存在性定理及充要条件的概念判断B，根据正切函数的概念及充分条件、必要条件的定义判断C，按照奇函数的定义及单调性的性质判断D. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确， 对于B，若且函数的图象连续， 则函数在区间内有零点，反之不一定成立 若在区间上的图象是一条连续不断的曲线， 且在内有零点，但是有， 所以“”是“函数在区间内有零点”的充分不必要条件，故B错误， 对于C，已知，若点在第一象限内， 则，所以， 若，则或， 所以点在第一象限或第三象限内， 所以“”是“点在第一象限内”的必要不充分条件，C正确， 对于D，由知，函数的定义域为R， 且， 所以在R上为奇函数，且为连续函数， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 结合奇函数的对称性，在R上单调递增，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】函数，根据绝对值的性质将函数分段讨论其单调性等性质.已知且，计划先求出和的取值范围或者关系，再对每个选项进行分析判断. 【详解】对于函数，这是一个单调递增的指数函数. 函数，当，即时，； 当，即时，. 画出的图象，可以看到函数在上单调递减，在上单调递增，且. 因为，，所以，. 此时，移项可得，所以选项A正确. 由，根据基本不等式. 即，两边同时平方得，化简得，所以. 又因为，所以，选项B正确. 由图形知道，，所以选项C错误. 由得. ，令，. 则. 当时，，所以选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，面积为3，则扇形弧长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式及弧长公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，由扇形面积公式可得，， 所以扇形弧长为. 故答案为：. 13. 已知角（）终边上点坐标为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值，可得点坐标，再结合三角函数定义式可得三角函数，即可得解. 【详解】由已知，， 所以， 所以点到原点的距离， 则由三角函数定义可知，且为第三象限角， 又，所以， 故答案为：. 14. 函数的定义域为，若满足:①在内是单调函数；②∃区间使在上的值域是那么就称为“和谐函数”，若函数是“和谐函数”，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数的单调性可得单调递增，由“和谐函数”的定义可得有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，令，则有两个不相等的正实数根，结合韦达定理求解即可. 【详解】由题意，因为 是“和谐函数”， 当时，单调递减，单调递减， 所以单调递增； 当时，单调递增，单调递增， 所以单调递增； 综上，在其定义域内为增函数，且在上的值域是， 所以， 所以有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根， 令，则， 所以有两个不相等的正实数根， 所以，解得， 即 . 故答案为： 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据根式和幂的运算法则即可求解， （2）根据对数的运算性质即可求解， （3）根据平方公式即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 由可得， 所以，进而，故， 16. 已知. （1）求的值； （2）若是方程的两个根，求的值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解； （2）利用韦达定理得到，从而得到，再由同角三角函数的基本关系求出，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 解得； 【小问2详解】 因为是方程的两个根， 所以， ， 又， . 17. 在寒冷的冬季，羽绒服是人们抵御严寒的必要物资，某羽绒服生产商今年推出了新款羽绒服，经过前期的市场调研发现该款羽绒服在市场上非常受欢迎，该厂商决定加大产量.已知生产该羽绒服的固定成本为1000万元，每生产x千件需另投入成本为万元，已知当产量不足80千件时，（万元）；当产量不小于80千件时，万元，现每件羽绒服定价为800元且生产的羽绒服可以全部售完. （1）求羽绒服生产商生产该款羽绒服的利润的解析式； （2）求产量为多少千件时，该羽绒服生产商可以获得最大利润，并求出最大利润. 【答案】（1）； （2）产量为70千件时，该羽绒服生产商可以获得最大利润，最大利润为1450万元. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件利用利润等于销售收入减去成本，再分段计算列式即可求出的解析式. (2)利用(1)的函数式，求出每一段上的函数最大值，再比较即可作答. 【小问1详解】 依题意，当时，， 当时，， 所以利润的解析式为：. 【小问2详解】 由(1)知，当时，，当且仅当时，取“=”， 当时，，当且仅当，即时取“=”， 而，于是得当时，， 所以产量为70千件时，该羽绒服生产商可以获得最大利润，最大利润为1450万元. 18. 已知指数函数且的图象过点，函数. （1）求的表达式； （2）若，求函数的最小值； （3）存在实数，使，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据可求出的值，即可得出函数的解析式； （2）令，则，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，即可得出函数的最小值； （3）由已知得出，可得出，利用函数的单调性求出函数在上的值域，可得出的取值范围，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 由指数函数的图象过点，得，解得，所以. 【小问2详解】 由题得：， 令，则， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，即当时，函数在上单调递增，此时； 当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，即当时，函数在上单调递减，此时. 综上所述，. 【小问3详解】 由有． 即，所以． 因为，所以． 令，其中， 任取、且， 则 ， 当时，，则，，， 所以，即，故函数在上单调递减； 当时，，则，，， 则，即，故函数在上单调递增. 当时，因为，，， 所以，，即， 令，， 任取、且， ， 因为，则，，所以， 则，所以函数在上为增函数， 当时，；当时，. 所以，解得，即实数的取值范围为． 19. 已知函数，函数是上的偶函数. （1）求函数的定义域； （2）求的值，并求函数的最小值； （3）若，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）；2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数大于零列不等式组得，然后解指数函数不等式即可求解定义域； （2）利用偶函数的概念列式求得，然后利用基本不等式求解的最小值； （3）由题意，由（2）可知，然后利用指数函数单调性及二次函数性质求得的值域，进而按照和分类讨论，利用对数函数单调性求得的最大值，列不等式即可求解. 【小问1详解】 ， 要使函数有意义，则，所以，所以， 所以函数的定义域为； 【小问2详解】 因为函数是上的偶函数，所以， 所以，所以，所以， 由对恒成立，所以，所以； ，当且仅当即时等号成立， 所以函数的最小值为2； 【小问3详解】 ，， 因为，，恒成立，所以， 由（2）可知函数在上的最小值为2，所以， 记，因为，所以，所以， 当时，，则，所以，所以或，又，所以； 当时，，则，所以，所以，又，所以； 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一元月月考数学试题 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知α是第四象限角tanα=-，则cosα=（　　） A. B. - C. D. - 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 2022年11月15日，联合国宣布，世界人口达到80亿，在过去的10年，人口的年平均增长率为1.3%，若世界人口继续按照年平均增长率为1.4%增长，则世界人口达到90亿至少需要（ ）年（参考数据：，，） A. 8.3 B. 8.5 C. 8.7 D. 8.9 8. 若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题绐出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则函数的值可能是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 2 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. “”是“函数在区间内有零点”的充要条件 C. 已知，则“”是“点在第一象限内”的必要不充分条件 D. 函数是定义在上的奇函数和增函数 11. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，面积为3，则扇形弧长为_____ 13. 已知角（）终边上点坐标为，则_________. 14. 函数的定义域为，若满足:①在内是单调函数；②∃区间使在上的值域是那么就称为“和谐函数”，若函数是“和谐函数”，则的取值范围是______ 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）已知，求的值． 16. 已知. （1）求的值； （2）若是方程的两个根，求的值. 17. 在寒冷的冬季，羽绒服是人们抵御严寒的必要物资，某羽绒服生产商今年推出了新款羽绒服，经过前期的市场调研发现该款羽绒服在市场上非常受欢迎，该厂商决定加大产量.已知生产该羽绒服的固定成本为1000万元，每生产x千件需另投入成本为万元，已知当产量不足80千件时，（万元）；当产量不小于80千件时，万元，现每件羽绒服定价为800元且生产的羽绒服可以全部售完. （1）求羽绒服生产商生产该款羽绒服的利润的解析式； （2）求产量为多少千件时，该羽绒服生产商可以获得最大利润，并求出最大利润. 18. 已知指数函数且的图象过点，函数. （1）求的表达式； （2）若，求函数的最小值； （3）存在实数，使，求的取值范围． 19. 已知函数，函数是上的偶函数. （1）求函数的定义域； （2）求的值，并求函数的最小值； （3）若，，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $