18.1 第1课时 勾股定理-【木牍中考】2025-2026学年八年级下册数学同步教学优质课件(沪科版·新教材)

18.1 勾股定理 第一课时 勾股定理 ※ 建议使用WPS2019以上版本打开 木牍中考-教学设计中心 制作 数 学 HK 8年级下册 学习目标及重难点 1.探索直角三角形三边关系，了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容.(重点） 2.会用勾股定理求直角三角形的边长.（重点、难点） 前 言 2002 年，第 24 届国际数学家大会在北京召开，此次大会的会徽是以 "弦图" 为原型设计的，这是对我国在数学领域取得辉煌成就的充分肯定. 导入新课 直角三角形是一类特殊三角形，它的三边长具有一种特定的关系，这一关系称为勾股定理，早在公元 3 世纪，我国数学家赵爽就用弦图证明了这个定理. C D A B F E G H 本章我们将学习勾股定理、勾股定理的逆定理以及它们的应用. 导入新课 探索1：勾股定理的认识 探究：如图，在行距、列距都是1个单位长度的方格网中，的顶点都是格点，.分别以的各边为正方形的一边，向形外作正方形，并用 ， 与表示这三个正方形的面积. S3 S2 S1 a b c A B C (1) (2) A B C a b c S2 S1 S3 讲授新课 18 S3 S2 S1 a b c A B C (1) 1.观察图（1），并填写： =____个单位面积；=____个单位面积； =____个单位面积. 9 9 9个小方格的面积 9个小方格的面积 两个等腰直角三角形的面积 讲授新课 6 (2) A B C a b c S2 S1 S3 2.观察图（2），并填写： =____个单位面积；=____个单位面积； =____个单位面积. 9 16 9个小方格的面积 16个小方格的面积 4个小直角三角形+ 1个小正方形 25 1个大正方形4个小直角三角形 讲授新课 7 3.图(1)，(2)中三个正方形面积之间有怎样的关系？用它们的边长 表示: . S3=18 S2=9 S1=9 a b c A B C (1) A B C a b c S2=16 S1=9 S3=25 (2) a² b² c² a² b² c² 讲授新课 8 4.如图，在几何绘图软件中任意画一个，其中， 度量 的三边长 猜想有怎样的关系. 删除 讲授新课 猜想： A B C (1) 如图(1)，在中， 则 讲授新课 如图，根据“弦图”的思路，用张的直角三角形纸片拼成一个边长为的大正方形. 你能用这个图形证明 吗？ 证法一： 赵爽弦图 探索2：勾股定理的证明 b c a C A B D 讲授新课 如图，根据“弦图”的思路，用张的直角三角形纸片拼成一个边长为的大正方形. 你能用这个图形证明 吗？ 证法一： 赵爽弦图 证明： b c a C A B D 讲授新课 a b c a b c 证明 取4个与全等的直角三角形，把它们拼成如图(2)所示的边长为的正方形. (2) 由题意，得 E F H G A1 B1 C1 D1 因为， 所以. 同理: 则四边形是一个边长为的正方形. a b c a b c 证法二：毕达哥拉斯证法 讲授新课 13 分别记正方形和正方形的面积为正方形和正方形，则 E F H G A1 B1 C1 D1 a b c a b c a b c a b c 正方形  = 正方形 即 化简，得 证法二：毕达哥拉斯证法 则四边形是一个边长为的正方形. 证明 取4个与全等的直角三角形，把它们拼成如图(2)所示的边长为的正方形. 讲授新课 14 证法三：总统证法 连接“证法2”中的小正方形的对角线，可以得到左图．左图中的面积关系如何证明. 证明： E F H G A1 B1 C1 D1 a b c a b c a b c a b c E F A1 B1 C1 a b c a b c 讲授新课 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 定理 b c a C A B D E F H G A1 B1 C1 D1 a b c a b c a b c a b c E F A1 B1 C1 a b c a b c 赵爽弦图 毕达哥拉斯证法 总统证法 讲授新课 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 定理 符号语言： ∵在中 ，， ∴ A B C 讲授新课 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 定理 A B C 股 弦 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我们称上述定理为勾股定理，国外称之为毕达哥拉斯定理. 勾 汉代数学家赵爽把 勾股定理叙述成：勾股各 自乘，并之为弦实，开方 除之即弦. 讲授新课 下列说法中,正确的是 （ ） A.已知是三角形的三边，则 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C.在中，,所以 D.在中，,所以 C 随堂小练习 讲授新课 例1：如图，在中，两直角边求： （1）的长； （2）斜边上的高的长. 解：（1）在中， . 则 探索3：利用勾股定理进行计算 讲授新课 例1：如图，在中，两直角边求： （1）的长； （2）斜边上的高的长. 解：（2）∵ . 讲授新课 例2: 在中，. （1）若求; （2）若,求 解：(1)设,根据勾股定理建立方程得 ， 解得 (负值已舍去)， 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解. 讲授新课 例2: 在中，. （2）若,求 解：(2) 设,根据勾股定理建立方程得 ， 解得 (负值已舍去)， ， 讲授新课 例3：在中，求的长. 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当为斜边时，如图， 当为斜边时，如图， 4 3 4 3 图 图 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解. 讲授新课 1.在中，，则的值为（　A　） A. B.1 C. D. A 习题1 习题解析 2.如图所示为一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形.若正方形的面积分别为 ，则最大的正方形的面积为 .　 10　 习题2 习题解析 3.若直角三角形的两边长分别为和 ，则第三边 长为 . 习题3 或 习题解析 4. 如图，在中，是腰上的高. （1）求线段的长； （2）求底边的长. 解：（1） 在中，由勾股定理，得 （2）在中，由勾股定理，得 习题4 习题解析 5.如图，在中， ，求的周长． 解：中， 设则 解得(负值已舍去)， 的周长为. a b c B A C 习题5 习题解析 解： 又， 同理可得 如图，以的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边求及阴影部分的面积. 拓展提升 又∵， ∴阴影部分的面积为＝ . 习题解析 勾股定理 内容 注意 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 看清哪个角是直角 在直角三角形中 在中，为直角边，为斜边，则有 课堂小结 课时A计划对应章节. 课后作业 $