17.5 一元二次方程的应用 第1课时 面积和数字问题 课件 2025--2026学年沪科版八年级数学下册

17.5 一元二次方程的应用 第17章 一元二次方程及其应用 沪科版 八年级下册 第1课时 面积和数字问题 注意检验是否符合实际. 知识点1 几何图形问题 例1 解决17.1节中的问题2. 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上,修筑三条等宽的小路(两条纵向,一条横向,纵向与横向垂直),把这块空地分成6块，建成小花坛.要使花坛的总面积为 570 m2,小路的宽应是多少？ (单位：m) 解：设小路的宽是 x m.根据题意，得 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570. 整理，得 x2-36x＋35=0. 则(x-1)(x-35)=0. 解方程，得x1=1，x2=35. x2=35不合题意，所以x=1. 答：小路的宽应为1 m. 知识讲解 知识点2 数字问题 例2 有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数. 知识讲解 1. 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？ 27cm 21cm 分析:这本书的长宽之比为 : ，正中央的长方形的长宽 之比为 : ，上下边衬与左右边衬的宽度之比 : . 9 9 9 7 7 7 解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为 例题解读 解法1：设上下边衬的宽为 9x cm，左右边衬的宽为 7x cm. 依题意得 解得 故上下边衬的宽为 故左右边衬的宽为 方程的哪个根合乎实际意义? 为什么? 试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 27cm 21cm 例题解读 解法2：设正中央的长方形的两边别为 9x cm，7x cm. 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为 左右边衬的宽度为 27cm 21cm 例题解读 1. 如图，公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部 分区域（阴影部分）栽种鲜花，原空地一边减少了1 m，另一 边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边 长.设原正方形空地的边长为x m，则可列的方程为（　C　） A. （x＋1）（x＋2）＝18 B. x2－3x＋16＝0 C. （x－1）（x－2）＝18 D. x2＋3x＋16＝0 C 随堂练习 2. 同一根细铁丝可以围成边长为10 cm的等边三角形，也可以 围成面积为50 cm2的长方形.设所围成的长方形的一边长为x cm，则可列的方程为（　C　） A. x（10－x）＝50 B. x（30－x）＝50 C. x（15－x）＝50 D. x（30－2x）＝50 C 3. （2025·六安霍邱月考）如图，在一块长12 m、宽8 m的长方 形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（阴影部分）， 两条道路各与长方形空地的一条边平行，剩余部分栽种花草， 且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m，则根据题意，可 列的方程为 ⁠. （12－x）（8－x）＝77　 [变式] （2025·安庆期中）如图，在宽20 m、长30 m的长方形地 面上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分铺上草坪. 要使草坪的面积为551 m2，则道路的宽为 m. 1　 4. （2025·合肥四十六中期中）某商场新建一个三层停车楼， 每一层的布局如图所示.已知每层的长为40 m，宽为30 m，阴 影部分为停车位，其余部分是等宽的通道，停车位的地面需要 喷漆，已知每一层喷漆的面积为816 m2.求通道的宽. 解：设通道的宽是x m，则每一层的停车位可合成长为（40－ 2x）m，宽为（30－2x）m的长方形. 依题意，得（40－2x）（30－2x）＝816， 整理，得x2－35x＋96＝0， 解得x1＝3，x2＝32（不符合题意，舍去）. 答：通道的宽是3 m. 5. 已知两个连续奇数的积为63，求这两个数.设其中一个数为 x，甲、乙、丙三名同学分别列出方程：①x（x＋2）＝63； ②x（x－2）＝63；③（2x－1）（2x＋1）＝63.其中正确的 是（　C　） A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ C 6. 【新情境·跨学科】解读诗词（通过列方程算出周瑜去世时 的年龄）：而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位 三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗 词大意：周瑜三十岁担任东吴都督，去世时的年龄是两位数， 十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年 龄.求周瑜去世时的年龄. 解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为 x－3. 依题意，得10（x－3）＋x＝x2， 解得 x1＝5，x2＝6. 当x＝5时，25＜30（不合题意，舍去）， 当x＝6时，36＞30（符合题意）. 答：周瑜去世时的年龄为36岁. 7. 某月的月历如图所示，在此月历上可以按图示的形状圈出位 置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）.如果圈出的6 个数中，最小数x与最大数的积为225，那么根据题意可列的方 程为（　B　） A. x（x＋8）＝225 B. x（x＋16）＝225 C. x（x－16）＝225 D. （x＋8）（x－8）＝225 B 8. （教材P41例4变式）一张长12 cm、宽 10 cm 的长方形铁皮 如图所示，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的长方形， 剩余部分（阴影部分）可制成底面面积是24 cm2的长方体铁 盒，则剪去的正方形的边长为 ⁠. 2 cm　 9. 如图，现有长为48 m的篱笆，利用墙（墙的最大可用长度为 25 m）围成一块中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD. （1）当AB的长为多少时，围成的长方形花圃ABCD的面积为 180 m2？ 解：（1）设AB的长为x m，则BC的长为（48－3x）m. 根据题意，得x（48－3x）＝180，解得x1＝6，x2＝10. 当x＝6时，48－3x＝30＞25，不符合题意，舍去； 当x＝10时，48－3x＝18＜25，符合题意. 答：当AB的长为10 m时，围成的长方形 花圃ABCD的面积为180 m2. 9. 如图，现有长为48 m的篱笆，利用墙（墙的最大可用长度为 25 m）围成一块中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD. （2）能围成总面积为240 m2的长方形花圃吗？请说明理由. 解：（2）不能.理由如下： 同（1）可得x（48－3x）＝240.整理， 得x2－16x＋80＝0. ∵Δ＝（－16）2－4×80＝－64＜0，∴ 此方程没有实数根. 故不能围成总面积为240 m2的长方形花圃. [变式] 在第9题中，若篱笆的长为46 m，并在BC上开两道宽为 1 m的小门，其他条件不变，如图所示，则当AB＝ ⁠ 时，围成的长方形花圃ABCD的面积为180 m2. 10 m　 10. （2025·合肥蜀山区期中）如图，OA＝OB＝60 cm，OC是 一条射线，OC⊥AB，一小虫M由点A以3 cm/s的速度向点B 爬行，同时另一小虫N由点O以1 cm/s的速度沿OC爬行，小虫 爬行的时间为t s. （1）ON＝ cm（用含t的代数式表示） t　 （2）当两小虫所在的位置与点O组成的三角形的面积等于150 cm2时，请求出t的值； 解：（2）当点M在OA上时， t·（60－3t）＝150，解得t1＝t2＝10； 当点M在OB上时， t·（3t－60）＝150， 解得t1＝10－10 （舍去），t2＝10＋10 . 综上所述，当两小虫所在的位置与点O组成的三角形的面积等于150 cm2时，t＝10或t＝10＋10 . （3）当△OMN为等腰三角形时，请求出t的值. 解：（3）由题意，得t＝60－3t或t＝3t－ 60，解得t＝15或t＝30. 故当△OMN为等腰三角形时，t＝15或t＝ 30. $