精品解析：河北省廊坊市香河县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025~2026学年度第一学期期末质量监测八年级数学试卷 考试说明：1．本场考试时间为120分钟． 2．分值为120分，其中书写占3分，试题占117分． 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（1－12题每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）请将选择题的正确选项填写在后面相应的位置 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，5，9 C. 2，5，5 D. 5，12，7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可解答． 【详解】解：A，，∴不能构成三角形，不符合题意； B，∵，∴不能构成三角形，不符合题意； C，∵，∴能构成三角形，符合题意； D，∵，∴不能构成三角形，不符合题意． 故选：C． 2. 世界上最轻的昆虫质量只有0.000005克．数据0.000005用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 3. 国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D.   【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相除，完全平方公式，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、与不是同类项，不能直接相减，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 5. 如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，通过判定三角形全等可说明．则判定三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图得到，，以及为公共边，则可利用证明，即可求解． 【详解】解：由作图得，，而为公共边，所以（）． 所以． 故选：C． 【点睛】本题考查的是基本作图，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定． 6. 在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，则（    ） A. B. 1 C. 7 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是关于轴对称点的坐标特点． 根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求解a和b，再计算即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称， ，， 解得：，， ． 故选：A． 7. 如用，，点在上，点在上，若添加一个条件可使，则添加的这个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可． 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 详解】解：A.添加， 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； B.添加， 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； C.添加 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； D.添加，不符合任何一定判定定理， 无法证明， 故此选项错误，不合题意； 故选：D． 8. 若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 扩大为原来的4倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题时注意代数式的化简．根据分式的基本性质，将m和n都扩大2倍后代入分式计算即可． 【详解】解： m和n都扩大2倍， 新分式 ， 分式的值扩大为原来的2倍， 故选：C． 9. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（ ） A. 只能表示绫布的长度 B. 只能表示罗布每尺的价格 C. 既可以表示绫布长度，又可以表示罗布的长度 D. 既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺，根据题意可列方程，由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的，由此可知x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 【详解】解：根据题意，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺， 由“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”可列方程为：， 由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的， 因此x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 故选：C． 10. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出的度数，中垂线的性质，角平分线的定义，推出，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵的垂直平分线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 11. 如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（ ） ①；②；③；④． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法与几何图形面积，即运用几何直观理解、解决整式的乘法与几何图形的面积之间的联系，通过几何图形之间的数量关系对整式乘法做出几何解释． 根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意； ②图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，②符合题意； ③可看作边长为的正方形的面积，如图所示： 图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，③不符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意， 故选：D． 12. 如图，在中，的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，将军饮马问题，理解将军饮马问题，正确添加辅助线是解题关键．连接，，先证明，，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为9． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵，当点A、M、D共线时取等号， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 故选：B． 卷II（非选择题，共81分） 二、填空题（13－16题每小题3分，共12分） 13. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 根据分式的分母不为零列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为： 14. 计算：＝____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据负指数幂和零指数幂的运算法则进行计算． 【详解】解：原式＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查负指数幂和零指数幂的计算，解题的关键是掌握负指数幂和零指数幂的运算法则． 15. 如图所示的网格为正方形网格，则______． 【答案】90 【解析】 【分析】先证，则可得，再根据三角形外角定理即可得解． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ∵和中， ， ， ， ∵是的一个外角， ， 即， ， ． 故答案为：90 16. 如图，三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，，则图中阴影部分的面积是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形重心的性质证明图中个小三角形的面积相等即可得到答案． 【详解】解： 三边的中线AD、BE、CF的公共点为G， 图中阴影部分的面积是 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是三角形中线的性质，三角形重心的性质，掌握以上知识解决三角形的面积问题是解题的关键． 三、解答题（17－24题共69分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再计算加法即可； （2）利用多项式除以单项式的运算法则，每一项都除以即可． 本题主要考查了多项式乘多项式，多项式除以单项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先提公因式，再用平方差公式因式分解即可； （2）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解下列分式方程： （1） （2） 【答案】（1） 无解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算． （1）方程两边同乘，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）方程两边同乘，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程解进行检验即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， 检验：把代入得：，则是原分式方程的增根， 原分式方程无解； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 检验：把代入得：， 是原分式方程的解． 20. 如图，在所给正方形网格图中完成下列各题，的三个顶点都在格点上（用无刻度的直尺画图）． （1）画出的中线； （2）作出关于直线对称的； （3）在直线上找到一点，使的值最小． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析； （3）作图见解析． 【解析】 【分析】（1）根据网格特点，找出中点，然后连接即可； （2）利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点即可； （3）连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件； 本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． 【小问1详解】 如图，找出中点，然后连接， ∴即为所求； 【小问2详解】 如图，利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点， ∴即为所求； 【小问3详解】 如图， 连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短即可， ∴点即为所求． 21 观察下列算式，完成问题． 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：； …… （1）按照以上算式的规律，请写出算式⑥：____________； （2）小明将上述算式用文字表示为：“两个连续偶数的平方差一定是4的倍数”．你认为这句话正确吗？为什么？ 【答案】（1） （2）正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键． （1）根据规律写出算式⑥即可得到答案； （2）设两个连续的偶数为和，利用平方差公式进行因式分解证明即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：； 算式⑤：； 算式⑥：； 故答案为：． 小问2详解】 解：正确，理由如下， 设两个连续的偶数为和， ， 因为是整数， 所以一定能被4整除， 所以两个连续偶数的平方差一定是4的倍数． 22. 如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而解决问题． 【小问1详解】 证明：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 23. 为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元． （1）求足球和排球的单价各是多少元； （2）根据学校的实际情况，需要一次性购买足球和排球共100个，若要求总费用不超过7100元，则学校最多可以购买_______个足球． 【答案】（1）80元；65元 （2）40 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，解题的关键是：审清题意、正确列出分式方程、一元一次不等式成为解题的关键． （1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，根据数量、总价、单价的关系，结合用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并经检验即可； （2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，利用总价、单价、数量的数量关系，结合购买足球和排球的总费用不超过7100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可解答． 【小问1详解】 解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：足球的单价是80元，排球的单价是65元； 【小问2详解】 解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球， 依题意得：， 解得：． 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为40． ∴学校最多可以购买40个足球． 故答案为：40． 24. 在中，，点在射线上，连接，并以为边在射线上方，右侧作等边，连接． （1）如图①，当时，的长为_______； （2）如图②，若，当点在线段上时，与有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图③，若，当时，求线段的长． 【答案】（1） （2）；理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形，三角形的外角，熟练掌握是解答本题的关键． （1）利用三角形的内角和可知，再根据角所对的边是斜边的一半即可解答； （2）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到为等边三角形，手拉手模型可得，即可证明； （3）根据题干易知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到为等边三角形，利用外角可知，即可求解线段的长． 【小问1详解】 解：在中，，， ∵， ， 又∵， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵，， 为等边三角形， ，， ∵为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ∵， ， ； 【小问3详解】 解：∵为等边三角形，， ， ∵，， ， ∵，， 为等边三角形， ，， ∵， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末质量监测八年级数学试卷 考试说明：1．本场考试时间为120分钟． 2．分值为120分，其中书写占3分，试题占117分． 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（1－12题每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）请将选择题的正确选项填写在后面相应的位置 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，5，9 C. 2，5，5 D. 5，12，7 2. 世界上最轻的昆虫质量只有0.000005克．数据0.000005用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D.   4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，通过判定三角形全等可说明．则判定三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，则（    ） A. B. 1 C. 7 D. 3 7. 如用，，点在上，点在上，若添加一个条件可使，则添加的这个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 8. 若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 缩小为原来 C. 扩大为原来的2倍 D. 扩大为原来的4倍 9. 《四元玉鉴》是中国古代著名数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（ ） A. 只能表示绫布的长度 B. 只能表示罗布每尺的价格 C. 既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D. 既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 10. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，小华同学用四个边长为正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（ ） ①；②；③；④． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 12. 如图，在中，的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 14 卷II（非选择题，共81分） 二、填空题（13－16题每小题3分，共12分） 13. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 14. 计算：＝____________． 15. 如图所示的网格为正方形网格，则______． 16. 如图，三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，，则图中阴影部分的面积是 ________． 三、解答题（17－24题共69分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解： （1） （2） 19 解下列分式方程： （1） （2） 20. 如图，在所给正方形网格图中完成下列各题，的三个顶点都在格点上（用无刻度的直尺画图）． （1）画出的中线； （2）作出关于直线对称的； （3）在直线上找到一点，使的值最小． 21. 观察下列算式，完成问题． 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：； …… （1）按照以上算式的规律，请写出算式⑥：____________； （2）小明将上述算式用文字表示为：“两个连续偶数的平方差一定是4的倍数”．你认为这句话正确吗？为什么？ 22. 如图，是中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元． （1）求足球和排球的单价各是多少元； （2）根据学校的实际情况，需要一次性购买足球和排球共100个，若要求总费用不超过7100元，则学校最多可以购买_______个足球． 24. 在中，，点在射线上，连接，并以为边在射线上方，右侧作等边，连接． （1）如图①，当时，的长为_______； （2）如图②，若，当点在线段上时，与有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图③，若，当时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $