精品解析：海南省海口市第一中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

海口市第一中学2025-2026学年度第一学期 高一年级数学科期末考试试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 本题首先可根据得出或，然后对、进行分类讨论，即可得出结果. 【详解】因为，所以或， 若，则，不满足元素的互异性，排除； 若，则或（舍去），，此时集合为， 故选：A. 【点睛】本题考查根据元素与集合的关系求参数，集合中的元素需要满足确定性、互异性以及无序性，考查计算能力，是简单题. 2. “”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得，而当时，也成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，从而，解出即可． 【详解】解：由题意得，从而，则， 故选：C． 【点睛】本题主要考查含对数的复合函数的定义域，注意底对单调性的影响，属于基础题． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系求出，再根据二倍角的正切公式求即可. 【详解】 ， 即， 故选：B 5. 若函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求平移后的函数的解析式，再根据其图象关于轴对称列方程求的最小值. 【详解】依题意，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数， 由关于轴对称，则，，即，，而， 所以的最小值为. 故选：B. 6. 已知函数在上单调，则的最大值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：由，求得单调增区间，再结合集合包含关系即可求解，法二：由得到，再结合集合包含关系即可求解. 【详解】方法一：由正弦函数的单调性，令， 解得， 又在单调， 所以当时，，即， 解得，所以的最大值为3. 方法二：在单调， 故， 所以的最大值为3. 故选：B 7. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式以及二倍角公式即可求解. 【详解】， 故选：B 8. 已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，．若函数至少有6个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数的零点个数转化为两个新函数图象的交点问题，根据题意可知是周期为2的周期函数，再对对数函数进行分类讨论，根据零点个数列出不等式求解即可. 【详解】由知，是周期为2的周期函数，函数至少有6个零点等价于函数与的图象至少有6个交点． ①当时，画出函数与的部分图象如图所示．根据图象可得，即． ②当时，画出函数与的图象如图所示． 根据图象可得，即． 综上所述，实数a的取值范围是． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为π B. 函数的图像关于点中心对称 C. 函数在定义域上单调递增 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的最小正周期公式判断A选项，求的对称中心判断B选项，特殊值法判断C选项，求函数值域判断D选项. 【详解】的最小正周期为,A选项错误; 的对称中心，令,,对称中心为，当是对称中心,B选项正确; ,函数在定义域上不是单调递增,C选项错误; 当,则,可得,D选项正确;. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（   ） A. 函数（且）的图象所过定点的坐标为 B. 函数的单调递增区间是 C. 若直线与函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 D. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】求出定点坐标判断A；求出单调递增区间判断B；举例说明判断C；由单调性列式求出范围判断D. 【详解】对于A，对，当时，恒有，因此 所求定点坐标为，A错误； 对于B，函数的定义域为R，函数在上单调递增 ， 在上单调递减，而函数在R上单调递减，因此所求递增区间为，B正确； 对于C，当时，，而，解得， 即直线与函数的图象只有1个交点，C错误； 对于D，由函数在上单调递增， 得，解得，D正确. 故选：BD 11. 已知函数的定义域是，当时，，且，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. D. 满足不等式的的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，求得，可判定A正确；令，得到，结合单调性的定义，得到为单调递增函数，可判定B不正确；结合，可判定C正确；由，求得，把不等式转化为，结合函数的单调性，列出不等式组，可判定D正确. 【详解】因为， 令，可得，解得，所以A正确； 令，可得，所以， 任取且，则， 因为，所以，所以， 可得函数在上单调递增函数，所以B不正确； 由，所以C正确； 因为，由，可得， 所以， 所以等价于，即， 因为函数在上单调递增函数，可得，解得， 即不等式的解集为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数运算和对数运算法则进行计算. 【详解】. 故答案为：1 13. 已知函数，则的最大值是________. 【答案】 【解析】 【分析】化简得到，设，得到 ，计算得到答案. 【详解】，设 则，故当，即时，函数有最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角函数的最值计算，换元是解题的关键. 14. 若，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由得，即，所以 ，，当且仅当 时取等号，所以的最小值为． 考点：1．对数的性质；2．基本不等式． 【名师点睛】本题考查对数的性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，首先是要注意基本不等式的使用条件，“一正、二定、三相等”；其次在运用基本不等式时，要特别注意适当“拆”、“拼”、“凑”． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解下列不等式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）将分式不等式化为，然后利用分式不等式的解法求解即可. （2）按照和分类讨论，利用一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由得， 则，解得， 故不等式的解集为； 【小问2详解】 ，且， 当时，，故不等式的解为或； 当时，，故不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16. 已知角α的终边经过点． （1）求，，的值； （2）求的值； （3）已知α、β是锐角，且满足，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用三角函数的定义计算求解； （2）应用诱导公式结合弦化切计算求值； （3）应用两角和正弦公式结合同角三角函数关系计算求值. 【小问1详解】 由三角函数的定义：，， 【小问2详解】 原式 【小问3详解】 因为α，，所以 因为，所以， 所以 所以 17. 已知函数在区间上的最大值是1. （1）求的值； （2）若函数的定义域为，求关于的不等式2的解集. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论，利用对数函数单调性和最值，求的值； （2）由定义域为，确定的取值，再利用单调性解对数不等式. 【小问1详解】 已知函数（且）在区间上的最大值是1． 当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增， 则有或，解得或. 【小问2详解】 函数的定义域为，则恒成立， 有，解得，所以， 由（1）可知，则即为 ，即， 解得，所以，即不等式的解集为. 18. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求的值域. （3）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位的图象，求方程在区间上所有根之和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)运用二倍角公式和辅助角公式对原式化简整理，结合正弦函数的单调增区间求解； (2)通过的范围得到的范围，再求值域； (3)先求出的解析式，再解的方程，最后符合要求的根并求和即可. 【小问1详解】 因为， 原式， 令， 解得， 即的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，则， 所以， 即，故的值域为. 【小问3详解】 由题意可知， 令， 则或， 解得或， 满足内的根有，当时，符合， 符合， 即所有符合的根之和为. 19. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表： 时刻 水深值 已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“”）变化符合函数，其中，，，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离） （1）求函数的表达式； （2）求该船一天内能够进入港口的时刻； （3）该船计划进港口后马上开始卸货，且卸货时其吃水深度以每小时的速度减小，若货物小时可卸完，求进港后该船最多可在港内停留的时长. 【答案】（1） （2）凌晨时至时和下午时至时期间的任意时刻进港都安全. （3）小时 【解析】 【分析】（1）根据表格可得函数最值与周期，进而可得函数解析式； （2）由已知可得，解不等式即可. （3）根据题意小时卸完货物后的吃水深度为，又货船能安全在港的水深为，可得，解得，，，，，可知货船进港即卸货的条件下最多可在港内停留的时长为小时. 【小问1详解】 根据表中数据得，， 且最小正周期，，即， 所以， 又当时取得最大值，则，， 因，则， 所以函数. 【小问2详解】 根据题意，货船能够安全进港必需港口水深， 即， 而，则，所以或， 解得或， 所以货船能够安全进港的时刻是凌晨时至时和下午时至时期间的任意时刻进港都安全. 【小问3详解】 由（2）知，每次货船进港后若不卸货，则最多在港口内停留小时， 若货船进港后马上卸货且在港口内停留时间要最长，则只能是凌晨时或下午时进港， 由于货物小时可卸完，根据题意小时卸完货物后的吃水深度为， 此时货船能安全在港的水深为，由，则，而， 则，所以，，，，.即，，，，， 因为货船只能在凌晨时或下午时进港才能在港内停留时间最长，且每次进港卸完货后，货船最多只能再停留小时，货船进港即卸货的条件下最多可在港内停留的时长为小时. 20. 意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案．1961年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数为， （1）对任意实数，是否为定值，若是定值，请求出定值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小． 【答案】（1）为定值，定值为 （2） ， ，得证. （3）证明: 依题意可得， 因为在上均单调递增， 易知在上单调递增， 且，即， 由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得. 【解析】 【分析】（1）将解析式代入计算可证明； （2）利用指数幂的运算性质证明即可； （3）利用零点存在性定理可证明在上有唯一的正零点，利用作差法并由二次函数性质计算可得. 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴对任意实数，为定值，定值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 证明略. 由上可得有唯一的正零点，且，， 可得，两边同时取对数可得， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 因此， 可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海口市第一中学2025-2026学年度第一学期 高一年级数学科期末考试试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. “”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调，则的最大值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 7. （ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，．若函数至少有6个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为π B. 函数的图像关于点中心对称 C. 函数在定义域上单调递增 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（   ） A. 函数（且）的图象所过定点的坐标为 B. 函数的单调递增区间是 C. 若直线与函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 D. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是 11. 已知函数的定义域是，当时，，且，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. D. 满足不等式的的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________ 13. 已知函数，则的最大值是________. 14. 若，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解下列不等式： （1） （2） 16. 已知角α的终边经过点． （1）求，，的值； （2）求的值； （3）已知α、β是锐角，且满足，求的值． 17. 已知函数在区间上的最大值是1. （1）求的值； （2）若函数的定义域为，求关于的不等式2的解集. 18. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求的值域. （3）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位的图象，求方程在区间上所有根之和. 19. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表： 时刻 水深值 已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“”）变化符合函数，其中，，，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离） （1）求函数的表达式； （2）求该船一天内能够进入港口的时刻； （3）该船计划进港口后马上开始卸货，且卸货时其吃水深度以每小时的速度减小，若货物小时可卸完，求进港后该船最多可在港内停留的时长. 20. 意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案．1961年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数为， （1）对任意实数，是否为定值，若是定值，请求出定值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $