2025-2026学年苏科版九年级上册数学自编期末练习卷（江苏扬州）

2025-2026学年苏科版九年级上册数学自编期末练习卷（江苏扬州） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 3．若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 4．若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A． B． C．且 D．且 5．如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．计算的结果是 ． 10．将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 11．七名同学一分钟排球垫球个数分别为，，，，，，，这组数据的众数是 ． 12．已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 13．若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 14．如图，在中，，，，则的内切圆半径 ． 15．如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为 ． 16．如图，在菱形中，，，过点A作，与相交于点E，连接，则四边形的面积为 ． 17．如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 18．如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ． 三、解答题 19．解方程： (1)； (2)． 20．国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间（单位：）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表： 组别 睡眠时间分组 频数 频率 4 0.08 8 0.16 10 21 0.42 0.14 请根据图表信息回答下列问题： （1）频数分布表中，________，________； （2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是________； （3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数； （4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议． 21．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 22．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 23．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？ 24．为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 25．如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 26．如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹． (1)在图中作出弧的中点D． (2)连结，作出的角平分线． (3)在上作出点P，使得． 27．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 28．如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年苏科版九年级上册数学自编期末练习卷（江苏扬州）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D D C A D A 1．A 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式 的顶点坐标为 是解题关键． 根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读取函数中的 和 值． 【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 2．D 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解众数的含义是解题的关键． 根据题意，结合众数的意义，即可求解． 【详解】解：“最畅销”涉及的统计量是众数， 故选：D． 3．D 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质． 根据圆的内接四边形对角互补可得的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．A 【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系；由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行一一分析判断． 【详解】解：①由抛物线开口向上，，抛物线与轴交点在轴下方，， 对称轴为：直线， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 时，， ， ，故②正确； ③关于直线的对称点为， 时，，故③正确； ④当时，的最小值为， 时，， ， 即，故④错误； ⑤抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故⑤正确； 错误的个数只有个， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8．A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、动点问题的函数图象、直角三角形的性质以及二次函数和一次函数的性质，熟练掌握分阶段分析动点运动过程并建立函数关系式是解题的关键． 分点在上和点在上两个阶段，分别求出的面积与运动时间的函数关系式，再根据函数关系式判断图象． 【详解】解：当点在上时（）： 过点作于点． ，， ． 又，， ． ． 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，． 当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形， ，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）． ， ． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降． 故选：A． 9．0 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． 分别计算零指数幂以及代入特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：0． 10． 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了众数的定义，根据出现次数最多的数是众数解答即可，掌握众数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵这组数据中出现次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 14．1 【分析】设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接，求出的长，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于r的方程，即可求解． 此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接， 则，，， ∵， ∴四边形是正方形， 设半径为r，， ，，， ， ，， ， ， 的内切圆的半径为1； 故答案为：1． 15． 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，连接交于点，根据菱形的性质以及勾股定理求得，进而根据余弦的定义求得，进而根据四边形的面积为，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 17． 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 18．2 【分析】连接，取的中点，连接并延长交于点，证明，得到，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的面积最大； 此时； 故答案为：2． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点的位置，将三角形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键． 19．(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． （1）采用因式分解法解方程即可； （2）采用十字相乘法解方程即可； 【详解】（1）解： 解得：，． （2）解： 解得：，． 20．（1）0.2,7；（2）；（3）144人；（4）建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业． 【分析】（1）按照频率=进行求解，根据组别的频数和频率即可求得本次调查的总人数，再按照公式频率=进行求解，即可得到，的值； （2）根据（1）中所求得的的值，即可得到其在扇形中的百分比，此题得解； （3）根据频率估计概率，即可计算出该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数； （4）根据（3）中结果，即可知道该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，根据实际情况提出建议． 【详解】（1）根据组别，本次调查的总体数量=， ∴组别的频率=， ∴组别的频数=频率×总体数量， ∴，； （2）∵（1）中求得的值为0.2， ∴其在扇形中的度数； （3）组别和的频率和为：， ∴八年级学生中睡眠不足7小时的人数（人）； （4）根据（3）中求得的该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键是掌握频率=，解答本题的关键是掌握频率、频数和总体数量的关系． 21．(1)图见解析； (2)图见解析 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． 22．（1）见解析；（2）0或-2或1或-1 【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论； （2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值； 【详解】解：（1） ∵△= = ∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根． （2）∵ ∴ ∴=0 ∴，或， 当，时， ∵k与都为整数， ∴k=0或-2 当，时， ∴， ∵k与都为整数， ∴k=1或-1 ∴k所有可能的值为0或-2或1或-1 【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解． 23． 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是判断．根据正方形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”．设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴． 设正方形零件的边长为，则，． ∵， ∴， ∴， 解得． ∴这个正方形零件的边长是． 24．(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解； （2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 25．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线； （2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 26．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连与网格线交于一格点，以O为端点，作射线与圆弧交于点D， （2）作射线，则即是的角平分线， （3）连结并延长，交的延长线于点与交于点F，连结并延长交于点P，则． 本题考查了无刻度直尺作图，垂径定理，圆周角定理，角平分线的性质定理，解题的关键是：熟练掌握无刻度直尺作图，与相关定理的结合． 【详解】（1）解：由格点可知为中点，根据垂径定理可得，点D为弧的中点，点D即为所求， （2）解：∵点D为弧的中点， 根据圆周角定理，可得，即为所求， （3）解：∵为直径， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，作图如下： ． 27．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键． 28．（1），；（2），理由见解析；（3）的长为或. 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $