2026年九年级中考数学专题复习二次函数动点问题

2026年九年级中考数学专题复习 二次函数动点问题 一、单选题 1．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图1，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是（  ） A．8cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．32cm2 2．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图1，在中，，，动点从点开始沿边向点移动，动点从点开始沿边向点移动，两点同时出发，到达各自的终点后停止．设点运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），与的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在矩形中，，，点E是线段的三等分点（），动点F从点D出发向终点E运动，以为边作等边，在动点F运动的过程中，阴影部分面积的最小值是（      ）    A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，在矩形中，，动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，动点以的速度自A点出发运动至D点停止，若点同时出发，运动时间为秒，记的面积为，且s与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（   ） A． B．3 C． D．4 5．（2025·河南驻马店·三模）如图1，在矩形中，点P为射线上的动点，点M是对角线上的动点，且，连接．设，，则y与x的函数关系的图象如图2所示，其中点E为图象的最低点，则点E的纵坐标m的值为（   ） A．3 B．6 C． D． 6．（2025·山东济南·二模）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点，的伴融合点，例如：，，当点满足，时，则点是点，的伴融合点．如图，点是直线上且在第三象限的一动点，点是抛物线上一动点，点是点，的伴融合点．那么，所有的点中最高点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山东济宁·月考）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（   ）秒，四边形的面积最小． A． B．1 C． D．2 8．（2018·山东潍坊·中考真题）如图，菱形的边长是4厘米，，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线运动至D点停止．若点P，Q同时出发运动了t秒，记的面积为S厘米，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·河南周口·模拟预测）如图1，在中，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿线段运动，到点停止．同时动点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到点停止．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图象，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示，有下列结论：当时，；当时，的最大面积为；有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，P是边上的一个动点（不与端点A，B重合），过点P分别作于点E，于点F．当 时，四边形的面积最大，最大面积为 ． 12．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，为抛物线上的动点，点N是以点M为圆心，1为半径的圆上的动点，点，则线段的最小值为 ． 13．（2022·河南信阳·二模）如图，直角坐标系中，点A(1，4)，点B(1，0)，点C(0，3)，点M(m，0)是x轴上一动点，点N是线段AB上一个动点，若，则m的取值范围是 ． 14．（25-26九年级上·湖南岳阳·月考）定义：平面内任意两点称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点为抛物线 上的动点，点为直线上的动点，且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为 ． 15．（23-24九年级上·山东滨州·月考）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为．则y关于x的函数解析式为 ． 三、解答题 16．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，抛物线经过、两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（），连接、、、． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当的面积等于的面积的4倍时，求m的值． (3)当时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点且与轴的正半轴交于点． (1)求的值及抛物线的解析式． (2)如图①，若点为直线AC上方抛物线上一动点，当时，点的坐标为______; (3)如图②，F是线段OA上的一个动点，过点作直线EF垂直于轴交直线AC和抛物线分别于点G、E，连接CE．设点的横坐标为．当为何值时，线段EG有最大值，并写出最大值为多少； (4)在（2）条件下，点N为抛物线在第四象限上的一点，其横坐标为2，若动点在直线上，动点在x轴上，连接，请直接写出的最小值． 18．（24-25九年级上·重庆巴南·月考）如图，在正方形中，，动点以个单位每秒的速度沿的线路运动，同时，动点以1个单位每秒的速度沿的线路运动，当一个动点先到达终点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为秒，三角形的面积记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；请写出函数的一条性质； (3)若函数，结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 19．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 20．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线上的一个动点，连接，，当是以为底边的等腰三角形时，点的坐标为________； (3)如图①，是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值； (4)如图②，是线段上的一个动点，是点右侧轴上的一个动点，且始终保持，连接，，则的最小值为________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年九年级中考数学专题复习 二次函数动点问题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C B D C D C C 1．B 【详解】根据题意设运动时间为x秒，可得：AP=2xcm，AQ=xcm， 则S==， 则根据题意可知：当x=4cm时，面积有最大值，最大面积为16． 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了函数图象上的动点问题．由图2得：点N到达点C所用时间为，点M到达点B所用时间为，且当时，的面积为，从而得到的面积为的面积的2倍，即可求解． 【详解】解：由图2得：点N到达点C所用时间为，点M到达点B所用时间为，且当时，的面积为， 如图， 此时， ∴的面积为的面积的2倍，即， ∴的面积为． 故选：B 3．A 【分析】连接，，过作，垂足为H，利用勾股定理求出和，设，求出和，利用表示出阴影部分的面积，利用二次函数的最值求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过作，垂足为H，    ∵，，点E是线段的三等分点（）， ∴，， ∴， 设，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ 令，则， ∴， 则， 当时，最小，且为， 故选A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是正确表示出阴影部分的面积，利用二次函数的性质求解． 4．C 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，当点P在上运动时，，则，根据图2可得，当时，，求出，得出动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，且当时，点Q到达点D，当点P在上运动时，．当点P在上运动时，．将点代入即可求出． 【详解】解：当点P在上运动时，， 则， 根据图2可得，当时，，解得：， 即动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，且当时，点Q到达点D， 当点P在上运动时，． 当点P在上运动时，． 将点代入可得，解得：， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了动点二次函数的图象，矩形的性质，勾股定理．由函数图象得，当时，，此时，，即，据此可求得矩形的边长，由函数图象知，此函数为二次函数，点E为图象的最低点，此时点P与点重合，点M恰好是对角线的中点，据此求解即可． 【详解】解：由函数图象得， 当时，， 此时，， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵点M是对角线上的动点， 由函数图象得， ∴， 由函数图象知，此函数为二次函数， ∵点E为图象的最低点， ∴点E的横坐标为， 此时点P与点重合，点M恰好是对角线的中点， ∴，， ∴， 故选：B． 6．D 【分析】本题主要考查了新定义、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的性质，设，，由点是点Q，P的伴Q融合点，可用含m和的式子表示出x和y，整理后得到y关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意设，， ∵点是点Q，P的伴Q融合点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴最高点， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值． 根据等量关系“四边形的面积三角形的面积三角形的面积”列出函数关系求最小值． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为，四边形的面积为， 则有： ∴当时，S取得最小值． 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键． 应根据和两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解． 【详解】解：作于点E， 当时， ， ， ； 当时，作于N，作于M， ， ， ， ； 只有选项D的图形符合． 故选：D． 9．C 【分析】根据题意和图2可推出，，得到，，当在上时，即，此时，过点作于点，再由平行四边形的性质和，可得到，从而推出，得到，可知当时，取最大值；当点Q在上时，即时，根据平行四边形的性质可推出，根据一次函数性质，可知当时，取最大值，综上当时，得到，即的面积的最大值． 【详解】解：根据题图2可知，当时，点停止运动 ， 根据题意得，， 当在上时，即，此时 过点作于点，如图1， 四边形是平行四边形 又 在中， 当时，取最大值，最大值为 当点Q在上时，即时，如图2， 四边形是平行四边形 越小，越大 ， 取最大值，最大值为 综上所述，， 取最大值，最大值为 的值为，即的面积的最大值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、二次函数的性质、一次函数的性质、解直角三角形、二次函数的最值、一次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 10．C 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，三角形面积的计算，熟练应用数形结合思想和二次函数的性质是解题的关键．当时，点在上， 求出、，可判断；当时，点在上，利用三角形面积公式表示出的面积，利用二次函数的性质，可判断；分两种情况：当点在上时，当点在上时，结合的面积为，列出方程，可判断． 【详解】解：根据题意得：点在上的运动时间为 ，点在上的运动时间为 ，点在上的运动时间为， 当时，点在上， 此时，， ， ，故正确； 当时，点在上， 此时，， ， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故错误； 当点在上时， 的面积为， ， 解得，（舍去）， 当时，的面积为； 当点在上时， ，， ，即， 此时， 解得 ， 当时，的面积为； 有两个不同的值满足的面积为，故正确． 综上，正确结论有，共个． 故选：C． 11． 6 【分析】此题主要考查了矩形的面积公式以及直角三角形30°定理，得出矩形面积与x的函数关系式是解题关键. 利用30°定理和勾股定理表示出的长，进而利用矩形面积求法以及二次函数最值求法得出即可. 【详解】解：在中，， ． ， 四边形为矩形，为直角三角形． 设，则 ． ， 当，即时，矩形的面积最大，最大面积为． 12． 【分析】连接交与点，首先得出当点N运动到点时，有最小值，即的长度，，当的长度最小时，取得最小值，然后根据题意得到，表示出，然后利用二次函数的性质求出当时，取得最小值，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接交与点， ∵点N是以点M为圆心，1为半径的圆上的动点， ∴当点N运动到点时，有最小值，即的长度， ∵ ∴当的长度最小时，取得最小值， ∵点，为抛物线上的动点， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵二次项系数为 ∴抛物线开口向上 ∴当时，取得最小值， ∴，负值舍去， ∴此时 ∴线段的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的性质和圆综合题，勾股定理，解题的关键是正确表示出． 13． 【分析】根据题意可设点N（1，n），其中，从而得到，，再由，根据勾股定理可得，然后设，则，根据二次函数的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， ∵点A(1，4)，点B(1，0)， ∴AB⊥x轴， ∵点N是线段AB上一个动点， ∴可设点N（1，n），其中， ∵点C(0，3)，点M(m，0)， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 设，则， ∴当时，y有最小值，此时， ∵， ∴当时，y随n的增大而增大，当时，y随n的增大而减小， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的性质、勾股定理是解题的关键． 14．/ 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的最值．根据定义表示出曼哈顿距离，可证明的最小值在两点横坐标相等时取得，取得最小值1，求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 对于抛物线上任意一点，其到直线的曼哈顿距离在坐标相等的点处取得最小值， 因为的绝对值小于,因此，问题转化为求的最小值， 则． 当时，． 令， 该二次函数的最小值在顶点处取得，顶点横坐标， 此时， 故的最小值为， 即或， 解得或． 由于抛物线与直线没有交点，方程无实数根， 即的判别式， ， 解得． 因此不满足条件，满足条件． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查求二次函数的应用，理解题意，正确表示出，是求解本题的关键． 先表示，的长，进而得到的长度，利用来表示四边形的面积即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴． 其中：， ∴． 故答案为：． 16．(1) (2)2 (3)或或或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，平行四边形，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将点，代入，即可求解析式； （2）过点作轴交于点，求出的直线解析式，设，则，根据列方程即可求的值； （3）设，，分三种情况讨论：①当和为平行四边形对角线时；②当和为平行四边形的对角线时；③当和为平行四边形的对角线时，因为平行四边形对角线互相平分，所以对角线中点重合，根据中点公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， ， ， ； （2）解：令，则， ， ， ， ， ， 的面积是的面积的4倍， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为，代入 ， ， ， ，则， ， ， ， 即 ， （3）解：存在点使得以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， ， 设，， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴对角线中点重合， ①当和为平行四边形对角线时， 此时， 或， 或（舍去）； ②当和为平行四边形的对角线时， 此时， 或， 或（舍去）； ③当和为平行四边形的对角线时， 此时， 或， 或； 综上所述：点的坐标为或或或． 17．(1) (2) (3)当时，线段有最大值为4 (4) 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）由（1）可得，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论； （3）①由点，坐标可得出直线的解析式，由此可表达点，的坐标，进而表达的长度，结合二次函数的性质可得出结论； （4）根据题意确定，将点D向下平移四个单位长度到点H，得，连接交x轴于点Q，过点Q作轴，连接，过点N作的延长线于点E，利用平行四边形的性质得出 ，，确定点H、Q、N三点共线，此时取得最小值，即取得最小值，然后由各点的坐标结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将点的坐标为，点的坐标为，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 的坐标为， 将点的坐标代入解析式可得，， 解得或（舍去） 的坐标为； （3）由（1）可知，直线的解析式为：； 点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 设线段的长度为， 则 ， 当时，线段有最大值为4； （4）∵点N为抛物线在第四象限上的一点，其横坐标为2， ∴当时，， ∴， 由（2）得的坐标为， 将点D向下平移四个单位长度到点H， ∴， 连接交x轴于点Q，过点Q作轴，连接，过点N作的延长线于点E，如图所示： ∵在直线上，动点在x轴上， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴点H、Q、N三点共线，此时取得最小值，即取得最小值， ∵，， ∴， ∴， 的最小值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、最短路程等，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握运用这些知识点． 18．(1) (2)图形见解析；当时，随的增大而增大 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用， （1）当时，当时，分别求出即可求解； （2）画出图象，结合图象即可求解； （3）画出图象，结合图象即可求解； 能根据动点的不同位置分段求解及数形结合求解是解题的关键． 【详解】（1）解：当时， ，， ； 当时， ， 综上所述：； （2）解：如图所示， 性质：当时，随的增大而增大； （3）解：如图， 由图象得，当时，的取值范围为． 19．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由题意，可得．把点A， C的坐标代入，得到关于b ， c的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式； （2）利用配方法求出抛物线的对称轴是直线．由抛物线与轴交于点A， B，得出点A， B关于直线对称．连接，交对称轴于点，根据两点之间线段最短可知此时的值最小．利用待定系数法求出直线的解析式为，把代入，求出，进而得出点的坐标； （3）在（2）条件下，点的坐标为．设，根据正方形的性质可得，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可得． ∵抛物线过点A，点C， ∴， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴是直线． ∵抛物线与x轴交于点A，B， ∴点A，B关于直线对称． 连接，交对称轴于点P，此时的值最小． 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：在（2）条件下，点P的坐标为． 设， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，或， 整理得，或， 解得， ∴或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 20．(1)； (2)或； (3)当时，最大，最大面积为； (4)． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）设，由是以为底边的等腰三角形，得，进而得，，解得，从而代入得，，即可得解； （3）利用待定系数法求得直线为，过作轴交直线于点，设，则， ，进而利用铅锤法构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （4）连接，，过作轴于点，在射线上取，连接，证明（）得，从而得当点、、三点共线时，的值最小，利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， ∵当是以为底边的等腰三角形， ∴， ∵，， ∴ 解得， ∵在上， ∴ 解得， 当时，， 当时，， ∴或； （3）解：设直线为， ∵，， ∴ 解得， ∴直线为， 如图，过作轴交直线于点， 设，则， ， ∵，， ∴， ∴当时，最大，最大面积为； （4）解：连接，，过作轴于点，在射线上取，连接， ∵， ， ∴轴， ∴， ∵轴 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∵，， ∴（） ∴， ∴当点、、三点共线时，的值最小， 最小值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，全等三角形的判定及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，勾股定理，两点之间，线段最短是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $