第八章 代数式（知识清单）数学新教材人教版五四制六年级下册

第八章 代数式 【知识点01】代数式的定义 代数式是由 通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式。它可以表示为一个或多个项的和，每个项由 和 的指数组成。 【知识点02】代数式的书写规则 乘号可以省略或用“ ”表示，除法运算用 表示。 数字和字母相乘时， 应写在字母的前面。 带分数应写成 的形式。 【知识点03】代数式代入求值 代数式的值：当代数式中的字母取某些 ，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有 、 、 等。 易错点1 代数式书写方法易错问题 易错点总结 1. 乘除符号易出错，忘省略乘号或错用除号；数字与字母相乘，数字未放字母前。 2. 带分数易忘转化，直接用于代数式书写，导致格式错误 。 注意事项 1. 乘号可省略或用“·”，除法用分数线；数字与字母相乘，数字在前。 2. 遇带分数，先化为假分数再参与代数式书写 。 例1．有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 易错点2 用代数式表示数、图形的规律问题 易错点总结 1. 找规律时易漏看图形变化细节，凭部分图形就下结论，导致规律错误。 2. 列代数式时忽略序号与图形数量的对应关系，字母或系数用错。 注意事项 1. 多观察几组图形，对比数量变化，确认规律稳定性再推导。 2. 明确图形序号n和对应数量的关系，用n准确列代数式后验证。 例2．观察下面的点阵图形和与之相对应的等式探究其中的规律． ①； ②； ③； ④______； ⑤______． (1)请在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式； (2)猜想第（是正整数）个图形相对应的等式为______． 易错点3 已知式子的值，整体代入求代数式的值问题 易错点总结 1. 忽略已知式与待求式的关联，硬求单个字母值，白费功夫还易算错。 2. 整体代入时符号或系数出错，比如漏乘系数、变号失误。 注意事项 1. 先观察待求式能否由已知式整体变形得到，优先整体代入。 2. 代入前检查变形是否正确，算时紧盯符号和系数，代入后再验算。 例3．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 易错点4 程序流程图与代数式求值问题 易错点总结 1. 看错流程图逻辑顺序，尤其分支条件判断反，导致代入数值错误。 2. 步骤衔接漏算，如前一步结果错却直接用，或代入代数式时抄错数。 注意事项 1. 先顺流程理清楚每步运算和条件，标记关键节点避免顺序乱。 2. 分步算每步结果并核对，代入代数式时再对照流程检查数值。 例4．如图是一个简单的数值运算程序． (1)用含x的代数式表示出运算过程； (2)当输入的x值为1时，输出的值是多少？ (3)当输入的x值为时，输出的值是多少？ 一、单选题 1．在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．已知，则的值为（    ） A．1 B． C． D．0 3．按下面的程序计算：                                        当输入时，输出结果是299；当输入时，输出结果是446；如果输入的值是正整数，输出结果是257，那么满足条件的的值最多有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．已知，则的值为 ． 5．观察下列各式，你能发现什么规律？ ①， ②，     ③， …… 将你猜想到的规律用含字母n的式子表示第n等式： ． 6．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，……按此规律，则第⑥个图案中，菱形的个数是 ；第n个图案中，菱形的个数是 ． 三、解答题 7．已知：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，是绝对值最小的数，求的值． 8．下面是一组数值转换机的示意图．    (1)写出图（b）中的转化步骤：①_____，②_____，③_____； (2)图（b）中，若，求输出的值； (3)图（a）中，若，求x的值． 9．历史上，数学家欧拉最先把关于的代数式用记号来表示，把等于某数时的代数式的值用来表示．如：当时，代数式的值记作， 则． 已知代数，且，回答下列问题： (1)__________； (2)若，求的值； (3)若，求的值 10．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：… (1)按上述规律填空，第5个等式：______=______． (2)用含的代数式表示第个等式：______=______（为正整数）． (3)求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 代数式 【知识点01】代数式的定义 代数式是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式。它可以表示为一个或多个项的和，每个项由系数、字母和字母的指数组成。 【知识点02】代数式的书写规则 乘号可以省略或用“·”表示，除法运算用分数线表示。 数字和字母相乘时，数字应写在字母的前面。 带分数应写成假分数的形式。 【知识点03】代数式代入求值 代数式的值：当代数式中的字母取某些特定值时，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有直接代入法、整体代入法、间接求值法等。 易错点1 代数式书写方法易错问题 易错点总结 1. 乘除符号易出错，忘省略乘号或错用除号；数字与字母相乘，数字未放字母前。 2. 带分数易忘转化，直接用于代数式书写，导致格式错误 。 注意事项 1. 乘号可省略或用“·”，除法用分数线；数字与字母相乘，数字在前。 2. 遇带分数，先化为假分数再参与代数式书写 。 例1．有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的书写规范，代数式写法规则为：数与字母相乘时，数写在字母的前面，数字是带分数的化为假分数或小数，除号用分数线表示，代数式不含单位；据此解答即可． 【详解】解：①，正确； ②应为； ③应为； ④，正确； ⑤应为； ⑥应为． 故正确的有①④，共2个， 故选：A． 易错点2 用代数式表示数、图形的规律问题 易错点总结 1. 找规律时易漏看图形变化细节，凭部分图形就下结论，导致规律错误。 2. 列代数式时忽略序号与图形数量的对应关系，字母或系数用错。 注意事项 1. 多观察几组图形，对比数量变化，确认规律稳定性再推导。 2. 明确图形序号n和对应数量的关系，用n准确列代数式后验证。 例2．观察下面的点阵图形和与之相对应的等式探究其中的规律． ①； ②； ③； ④______； ⑤______． (1)请在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式； (2)猜想第（是正整数）个图形相对应的等式为______． 【答案】(1)④；⑤ (2) 【分析】本题是对图形变化规律的考查． （1）根据从同一顶点向外作出的四条线上的点的个数解答； （2）根据变化的连续自然数和相应的图形的序数解答． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； ⑤； 故答案为：；； （2）解：由（1）可得：第n个图形对应的等式为：． 故答案为：． 易错点3 已知式子的值，整体代入求代数式的值问题 易错点总结 1. 忽略已知式与待求式的关联，硬求单个字母值，白费功夫还易算错。 2. 整体代入时符号或系数出错，比如漏乘系数、变号失误。 注意事项 1. 先观察待求式能否由已知式整体变形得到，优先整体代入。 2. 代入前检查变形是否正确，算时紧盯符号和系数，代入后再验算。 例3．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为： （2）解： ， ， 故答案为：； （3）解：，， ． 易错点4 程序流程图与代数式求值问题 易错点总结 1. 看错流程图逻辑顺序，尤其分支条件判断反，导致代入数值错误。 2. 步骤衔接漏算，如前一步结果错却直接用，或代入代数式时抄错数。 注意事项 1. 先顺流程理清楚每步运算和条件，标记关键节点避免顺序乱。 2. 分步算每步结果并核对，代入代数式时再对照流程检查数值。 例4．如图是一个简单的数值运算程序． (1)用含x的代数式表示出运算过程； (2)当输入的x值为1时，输出的值是多少？ (3)当输入的x值为时，输出的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)26 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，解题的关键是正确理解题目所给运算程序的运算顺序． （1）根据题目所给的运算程序，列出代数式即可； （2）将代入（1）中得出的代数式，即可解答； （3）将代入（1）中得出的代数式，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：输出的结果为； （2）解：当时，； （3）解：当时，． 一、单选题 1．在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的书写，根据代数式的书写规则，逐一进行判断即可． 【详解】解：应写出，故①错误； ，书写正确；故②正确； ，应写成：；故③错误； ，书写正确；故④正确； 应写成：；故⑤错误； 应写成：；故⑥错误； 故选A． 2．已知，则的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是通过对式子进行变形，将已知条件整体代入求解． 把变形为，再将已知条件整体代入计算． 【详解】解：已知：，可得：， ，可得：， 所求表达式为，即为： 代入已知结果：原式； 故选：A． 3．按下面的程序计算：                                        当输入时，输出结果是299；当输入时，输出结果是446；如果输入的值是正整数，输出结果是257，那么满足条件的的值最多有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：第一次直接输出结果时，则有， 解得， 第二次才能输出结果时，输入x，计算结果，小于251，作为新值再次输入，此时输出结果为257，故， 解得； 第三次才能输出结果时，输入x，计算结果，小于251，作为新值再次输入，此时新值为，继续输入，此时输出结果为257， 故， 解得； 第四次才能输出结果时，输入x，计算结果，小于251，作为新值再次输入，此时新值为，继续输入，还小于251，此时新值为， 继续输入，此时输出结果为257， 故， 解得；不符合题意，舍去， 故选：C． 二、填空题 4．已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查代数式求值，灵活应用整体代入思想是解题的关键； 根据已知条件把要求值的代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，     ∴， 故答案为：3． 5．观察下列各式，你能发现什么规律？ ①， ②，     ③， …… 将你猜想到的规律用含字母n的式子表示第n等式： ． 【答案】（为正整数） 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是根据规律得出第项解答．从数列；；可以知道第一项中，，，第二项中，，，第三项中，，，由此可以知道第项，可以写为． 【详解】解：从；；可以知道： 第一项中，，， 第二项中，，， 第三项中，，， 故第项为：（为正整数）． 故答案为：（为正整数）． 6．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，……按此规律，则第⑥个图案中，菱形的个数是 ；第n个图案中，菱形的个数是 ． 【答案】 17 / 【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解． 通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可． 【详解】解：第①个图案中有个菱形， 第②个图案中有个菱形， 第③个图案中有个菱形， 第④个图案中有个菱形， 第⑤个图案中有个菱形， 第⑥个图案中有个菱形， ， ∴第个图案中有个菱形， 故答案为：17，． 三、解答题 7．已知：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，是绝对值最小的数，求的值． 【答案】当时，原式；当时，原式． 【分析】本题考查了代数式求值，掌握互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两数的积为1是解题的关键． 由条件可求得，，，，代入求值即可． 【详解】解：由题意知：，，，， 当时，原式； 当时，原式． 8．下面是一组数值转换机的示意图．    (1)写出图（b）中的转化步骤：①_____，②_____，③_____； (2)图（b）中，若，求输出的值； (3)图（a）中，若，求x的值． 【答案】(1)，， (2) (3)3或 【分析】（1）根据图形和算式得出答案即可； （2）把代入，再求出答案即可； （3）把代入，再求出答案即可． 本题考查了求代数式的值，能根据图形得出算式是解此题的关键． 【详解】（1）解：由图形和算式为得到图（b）中的转化步骤是： ①，②，③． 故答案为：，，； （2）当时， ； （3）由题意可得，图（a）中的算式为， 当时， ， 解得：或， 答：x的值为3或． 9．历史上，数学家欧拉最先把关于的代数式用记号来表示，把等于某数时的代数式的值用来表示．如：当时，代数式的值记作， 则． 已知代数，且，回答下列问题： (1)__________； (2)若，求的值； (3)若，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了代数式求值，新定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接把代入中进行求解即可； （2）根据，得到，据此可得答案； （3）根据，，得到，则，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：代数，且， ， ， 故答案为：； （2）由（1）知，， ， ， ， ； （3），， ， ， ． 10．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：… (1)按上述规律填空，第5个等式：______=______． (2)用含的代数式表示第个等式：______=______（为正整数）． (3)求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）观察发现，第一个等号后面的式子规律是分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1．进而可写出第二个等号后面的式子． （2）把（1）中发现的规律用含的代数式表示出来即可； （3）运用变化规律计算即可． 本题考查了用代数式表示规律，并运用规律进行简便计算．找到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：按上述规律填空，第5个等式为：， 故答案为：，． （2）解：用含的代数式表示第个等式为：， 故答案为：，． （3）解： ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $