北京市十一学校2024-2025学年四高一（0.5＋3）上学期数学数论单元测试

2024-2025学年 四高一 单元测真题 四高一0.5+3数论单元测真题 时间：45分钟 总分：100分 姓名：_______________ 分数：_______________ 一、选择题（每题5分，共40分） 1.不定方程的正整数解的组数为（ ） . . . . 以上答案都不对 2.“”是“”的（ ） . 充分不必要条件 . 必要不充分条件 . 充要条件 . 既不充分也不必要条件 3.已知是一列互不相等的正整数，若任意改变这个数的顺序，并记为. 则数的值必为（ ） . . . 奇数 . 偶数 4.不定方程的整数解的组数为（ ） . . . . 以上答案都不对 5.设，且是完全平方数，则符合条件的整数的个数为（ ） . . . . 6.满足的正整数解的组数为（ ） . . . . 7.方程有（ ）个解. . . . . 无穷多个 8.在无穷多个实数中（ ） . 有无穷多个质数 . 有且只有有限多个质数 . 有无穷多个平方数 . 有且只有有限多个平方数 二、解答题（每题5分，共40分） 9.已知能被整除，则_____________. 10.设都是质数，则_____________. 11. 被除所得的余数是_____________. 12.已知是的各位数字之和，是的各位数字之和，是的各位数字之和，则__________. 13.设是一个正整数，是的数码重排后得到的正整数，并且，则的末位数字是__________. 14.数的正整数因数的个数是_____________. 15.方程的实数解为_____________. 16.方程的所有正整数解为_____________. 三、解答题（每题10分，共20分） 17.设有个数其中每一个，不是就是，且，证明：是的倍数. 18. 求证：对任意的，. 22级四高一0.5+3数论单元测真题答案详解 时间：45分钟 总分：100分 姓名：_______________ 分数：_______________ 一、选择题（每题5分，共40分） 1.不定方程的正整数解的组数为（ ） . . . . 以上答案都不对 答案： 解析：先求出不定方程的一个特解， ， 为整数，取，则， 方程的通解为，， 又 解得， 不定方程共有组正整数解. 2.“”是“”的（ ） . 充分不必要条件 . 必要不充分条件 . 充要条件 . 既不充分也不必要条件 答案： 解析：充分性：若，则，， ， ，即，故充分性成立； 必要性：取，满足， ， ， 由“”不一定得到“”，故必要性不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 3.已知是一列互不相等的正整数，若任意改变这个数的顺序，并记为. 则数的值必为（ ） . . . 奇数 . 偶数 答案： 解析：当且仅当各个因式都为奇数时，积为奇数， 当且仅当都是奇数时，为奇数， 假设为奇数， 则满足是奇数， 若为奇数，则为偶数；若为偶数，则为奇数， 设中有个奇数（且），则有个偶数， 由前面推出的奇偶数规律可得，中必定有个偶数和个奇数， 是由重新排序而得， 中奇数个数等于中偶数个数， 即，可得，与题设矛盾， 假设不成立，可得必为偶数. 4.不定方程的整数解的组数为（ ） . . . . 以上答案都不对 答案： 解析：方法一： 由费马平方和定理：奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被4除余， ， 不定方程没有整数解，故答案选. 方法二： 是奇数， 为一奇一偶，即为一奇一偶， 奇数，偶数， 奇数偶数，与矛盾， 不定方程没有整数解，故选答案. 5.设，且是完全平方数，则符合条件的整数的个数为（ ） . . . . 答案： 解析：，是完全平方数， 只能是奇数的平方， 设，其中为非负整数，则， ， ， 符合条件的整数的个数为. 6.满足的正整数解的组数为（ ） . . . . 答案： 解析：， ， ，即， ， ， 有个公因子，对于每个公因子，由可得到一个的值，与之对应的的值也随之确定， 共有组正整数解. . . . . 无穷多个 7.方程有（ ）个解. 答案： 解析：， ，且， ①当时， ， ，此时； ②当时， ， ，此时； 的解集为，故有无穷多个解. 8.在无穷多个实数中（ ） . 有无穷多个质数 . 有且只有有限多个质数 . 有无穷多个平方数 . 有且只有有限多个平方数 答案： 解析：设， ， 且， 一定是合数，故错误； 当时，， 只有当时，是完全平方数，故错误，正确. 二、解答题（每题5分，共40分） 9.已知能被整除，则_____________. 答案： 解析：能被整除， 能被整除. ①当可以被整除时，， 可以被整除， ； ②当可以被整除时，可以被整除， 可以被整除， 或； ③当可以被整除时，奇数位的和减去偶数位的和所得的差需为的倍数， 奇数位和为，偶数位和为， 差值为，该差值需为或， 若，则， 代入，解得（舍去）； 代入，解得（舍去）； 若，则， 代入，解得，，符合题意； 代入，解得（舍去）. ， . 10.设都是质数，则_____________. 答案： 解析：①当时，时，，，符合题意； ②当时，，不是质数，不符合题意； ③当时，，不是质数，不符合题意. . 11. 被除所得的余数是_____________. 答案： 解析：考查欧拉定理：对于，， ， ，故只需计算指数， ，， 指数周期为， ， 再计算： ， 又， ， 被除所得的余数是. 12.已知是的各位数字之和，是的各位数字之和，是的各位数字之和，则__________. 答案： 解析：，且次方共有位数， ， ， ， 又， . 13.设是一个正整数，是的数码重排后得到的正整数，并且，则的末位数字是__________. 答案： 解析：设的末位数字为，的末位数字为，假设， ， ， 十位数字的和为，百位数字的和也为，…，即除末位外同一数位上数字的和都为， 与的全部数字的和是， 是的数码重排后得到的正整数， 的数字和与的数字和相等， 与的全部数字的和是的数字和的倍，为偶数，不等于，矛盾， 假设不成立，即的末位数字. 14.数的正整数因数的个数是_____________. 答案： 解析：勒让德定理：对质数及正整数，有. 小于的质数为， 根据勒让德定理，在的标准分解中的最高指数是， 的最高指数是， 的标准分解式是， 的正整数因数的个数是. 15.方程的实数解为_____________. 答案： 解析：①若，则，原方程不成立； ②若，则，原方程不成立； ③若，则，原方程不成立； ④若，则，原方程即为，解得； ⑤若，则，原方程不成立. 综上所述，原方程的实数解为. 16.方程的所有正整数解为_____________. 答案： 解析：可表示为的形式， 为奇数，则为偶数， 设， 代入可得，即，① 为偶数， 为奇数， 设，则，由①可得，，② 为奇数，且中恰有一个是的倍数， 当时，要使为奇数，且， 则只有时，②式变为，即， ； 当时，要使为奇数，且， 则只有时，②式变为，即，无整数解. 综上所述，是唯一解，. 三、解答题（每题10分，共20分） 17.设有个数其中每一个，不是就是，且，证明：是的倍数. 证明：令，， 不是就是， 不是就是， 设这个数中有个，个，则， ， 又， ，即， ， 又，即， ， 为偶数， 设，则， 是的倍数，得证. 18.求证：对任意的，. 证明：由费马小定理可得， ，① ，② ，③ 由②得，，④ 由③得，，⑤ 两两互素， 由①④⑤可得，，即，得证. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $