北京十一学校2025-2026学年人教版七年级直升初一有理数单元测真题

2025-2026学年 直升初一 单元测真题 25级直升初一数有理数单元测真题 时间：45分钟 总分：100分 姓名：_______________ 分数：_______________ 一、填空题（每小题4分，共48分） 1.在，，，，，，，，这些数中，有理数有个，自然数有个，分数有个，则的值为_____________. 2.若互为相反数，互为倒数，是倒数等于它本身的数，的值为_____________. 3.冬天的北京清晨特别冷，天气预报显示早上点时气温只有，随着太阳升起，到了中午点气温上升了；小明穿着厚羽绒服出去买早餐，他感觉比早晨暖和了一些；如果晚上点气温又比中午下降，那么晚上点的气温是_____________. 4.已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的有_____________. ①； ②； ③； ④ 5.将保留两位有效数字为_____________；精确到万分位为_____________. 6.年中国全年国内生产总值为万亿元人民币，用科学计数法表示为_____________元. 7.当变化时，有最小值，则常数的值为_____________. 8.当_____________时，取到最小值. 9.若不存在，使得成立，则的取值范围是_____________. 10.若，，，且，则化简的结果为__________. 11.满足的整数对共有_____________对. 12.方程的解为_____________. 二、计算题（每题4分，共24分） 13. 14. 15. 16. 17. 18. 三、解答题（共计28分，第19题7分，第20题7分，第21题14分） 19.化简. 20.求的最值. 21.在有理数集合上，定义一种新的运算：对任意有理数，规定. （1）（4分）运算是否满足交换律？如果是，请尝试证明；如果不是，请举反例说明； （2）（5分）运算和加法是否满足分配律，即？如果是，请尝试证明；如果不是，请举反例说明； （3）（5分）运算是否满足结合律？如果是，请尝试证明；如果不是，请举反例说明； 25级直升初一数有理数单元测真题答案详解 时间：45分钟 总分：100分 姓名：_______________ 分数：_______________ 一、填空题（每小题4分，共48分） 1.在，，，，，，，，这些数中，有理数有个，自然数有个，分数有个，则的值为_____________. 答案： 解析：考查有理数的相关概念. 有理数包括整数和分数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数； 自然数为非负整数，包括和正整数；分数包含正分数和负分数，有限循环小数也可以化为分数. 本题中有理数有共个， 自然数有共个， 分数有共个， ， . 2.若互为相反数，互为倒数，是倒数等于它本身的数，的值为_____________. 答案：或 解析：互为相反数， ， 互为倒数， ， 是倒数等于它本身的数， ，解得， 分情况讨论：①当时，； ②当时，； 综上所述，的值为或. 3.冬天的北京清晨特别冷，天气预报显示早上点时气温只有，随着太阳升起，到了中午点气温上升了；小明穿着厚羽绒服出去买早餐，他感觉比早晨暖和了一些；如果晚上点气温又比中午下降，那么晚上点的气温是_____________. 答案： 解析：中午点气温相较早上上升了， 中午点气温为， 晚上点气温又比中午下降， 那么晚上点的气温是. 4.已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的有_____________. ①； ②； ③； ④ 答案：①②④ 解析：由数轴可知，，且， 对于①，， ，，即，故①正确； 对于②，， ，故②正确； 对于③，，，， ，故③错误； 对于④，，， ，即，故④正确； 综上所述，正确结论有①②④. 5.将保留两位有效数字为_____________；精确到万分位为_____________. 答案：； 解析：①有效数字的计算方法是：从左边第一个不是的数字起，后面所有数字都是有效数字. 保留两位有效数字，即从原数字的左边起第一个非零数字开始保留两位数字，遵循四舍五入原则，需要四舍五入，则保留两位有效数字为； ②精确到万分位即保留四位小数，同样遵循四舍五入原则，则精确到万分位为. 6.年中国全年国内生产总值为万亿元人民币，用科学计数法表示为_____________元. 答案： 解析：科学计数法的表示形式为的形式，其中，为整数. 用科学计数法表示的数的有效数字只与前面的有关，与的多少次方无关. 万亿为， 万亿元用科学计数法表示为元. 7.当变化时，有最小值，则常数的值为_____________. 答案：或 解析：分情况讨论：①当均为负数时， 则化为， ，为变量，则也为变量，不符合题意； ②当均为正数时， 则化为， ，为变量，则也为变量，不符合题意； ③当，时， 则化为，解得，此时为常数，符合题意； ④当，时， 则化为，解得，此时为常数，符合题意. 综上所述，常数的值为或. 8.当_____________时，取到最小值. 答案： 解析：①当时，，，， 原式，单调递减，当时取得最小值； ②当时，，，， 原式，单调递减，当时取得最小值； ③当时，，，， 原式，单调递增，当时取得最小值； ④当时，，，， 原式，单调递增，当时取得最小值； 综上所述，当时，取到最小值. 9.若不存在，使得成立，则的取值范围是_____________. 答案： 解析：不存在，使得成立， ，令， ①当时，，，则； ②当时，，，则，此时单调递增，在处取得最大值； ③当时，，，则； 综上所述，的最小值为， . 10.若，，，且，则化简的结果为__________. 答案： 解析：，，，且， ，，，， 原式. 11.满足的整数对共有_____________对. 答案： 解析：，，且为整数， 和的取值只能为或， ①当，时， 当时，，解得，此时整数对为，； 当时，，解得，此时整数对为，； ②当，时， ， ，即， 将代入，可得，解得， 当时，，整数对为； 当时，，整数对为， 综上所述，满足的整数对共有对. 12.方程的解为_____________. 答案：或 解析：①若，则，因为绝对值具有非负性，所以不合题意； ②若，则， ， ， 或， 解得或. 二、计算题（每题4分，共24分） 13. 解：原式 . 14. 解：原式 . 15. 解： . 16. 解：原式 . 17. 解：原式 . 18. 解：原式 . 三、解答题（共计28分，第19题7分，第20题7分，第21题14分） 19.化简. 答案： 解析：令，，解得和两个零点， ①当时，，， 原式； ②当时，，， 原式； ③当时，，， 原式； 综上所述，化简结果为. 20.求的最值. 答案：没有最大值，最小值为 解析：令，，解得两个零点和， ①当时，，， 原式，单调递减， ， ； ②当时，，， 原式，单调递增， ， ，即； ③当时，，， 原式， ， ； 综上所述，没有最大值，最小值为. 21.在有理数集合上，定义一种新的运算：对任意有理数，规定. （1）（4分）运算是否满足交换律？如果是，请尝试证明；如果不是，请举反例说明； （2）（5分）运算和加法是否满足分配律，即？如果是，请尝试证明；如果不是，请举反例说明； （3）（5分）运算是否满足结合律？如果是，请尝试证明；如果不是，请举反例说明； 答案：（1）满足，理由见解析；（2）不满足，理由见解析；（3）满足，理由见解析 解析：（1）满足交换律，证明如下： ，，这两个表达式完全相同， ，即运算满足交换律； （2）不满足分配律， 证明思路：左边， 右边， 观察发现，区别在于第一项，只需要举出反例说明即可，此时只需要让异号即可， 反例如下： 当，，时， 左边，右边， 左边右边， 运算不满足分配律； （3）满足结合律，证明如下： 需要证明，， 左边，右边， 观察：绝对值套绝对值难以处理，下面探索一个引理， 记， 那么， 于是：， 化简得， 若同号，，则；若异号或其中之一为，则； 分情况讨论： ①中有，则 左边，右边， 左边右边； ②均不为且同号，则 左边， 右边， 左边右边； ③均不为，异号，且同号，则 左边， 右边， 左边右边； ④均不为，异号，且同号，则 左边， 右边， 左边右边； 综上所述，运算满足结合律. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $