天津市实验中学2025-2026学年高二上学期12月阶段性学业质量调查数学试卷

一、单选题 1.在数列{an}中，a3=2,a,=1, 若 为等差数列，则4，=() A B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【来源】江苏省南京市中华中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题 【分析】利用等差中项求解即可 【详解】解： 由 为等差数列得2.1+1 13 4 a as ds a 2 ,解得4= 3 故选：A ?.已知抛物线P=20x的焦点F与双曲线。Q>Q,6>0)的一个焦点重合，且点日 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为() A. r= B.x2y 4116 4125=1 C. D. 169 916 【答案】D 【来源】天津市和平区2022-2023学年高三上学期期末数学试题 6 【分析】由题易得F(5,O),知c=5,双曲线焦点在x轴上，渐近线方程为y=±x,又由 点F到双曲线的渐近线的距离为4，得b=4,即可解决 【详解】由题知，抛物线y2=20x开口向右，p=10, 所以焦点为F(5,0), 因为焦点F与双由线号-卡=c>06~0)的-个焦点重合， a"- 所以c=5,且双曲线焦点在x轴上，渐近线方程为y=士x,即bx士y=0, bc 因为点F到双曲线的渐近线的距离为4，即 =b=4, b2+a2 所以b=4,a=3, 所以双曲线的方程为二广 9161, 故选：D 3.在等差数列{an}中，若a6+a+ao=72,则2ao-a2的值为() A.6 B.16 C.24 D.60 【答案】C 【来源】广东省湛江市2018-2019学年高二下学期期末数学（理）试题 【分析】根据等差数列下标和的性质即可求a的值，根据通项公式计算即可得出结果 【详解】由等差数列的性质：a。+a+ao=3a。=72→a=24, 而2ao-a2=2(a+9d)-(a,+11d)=a,+7d=ag=24 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查计算能力，属于简单题 4.记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=3,S=9,则S2=() A.12 B.18 C.21 D.27 【答案】C 【来源】山西省2021-2022学年高二上学期12月联考数学试题 【分析】根据等比数列的性质，可知等比数列{a}的公比9≠-1，所以S4,Ss-S4,S2-Sg成等 比数列，根据等比的中项性质即可求出结果 【详解】因为Sn为等比数列{an}的前n项和，且S4=3,S=9,易知等比数列{an}的公比 q≠-1， 所以S4,Sg-S4,S2-S8成等比数列 所以(S-S4)2=S4(S2-Ss),所以62=3(S2-9),解得S2=21. 故选：C 5.已知R,乃是双曲线女-y =1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A是双曲线上第二 象限内一点，且直线A与双曲线的一条渐近线y=x平行，△45的周长为9如，则该双 曲线的离心率为() A.25 B.5 C.3 D.2 【答案】D 【来源】2020届河南省名校（南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校）高三3月线上联 合考试数学（文）试题 【解析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出AF和AF的表达式，根据线线平 行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可 【详解】由题意知AF-AE=2a,AF+AF=9a-2c, 解得41a2,4-102之 直线与y-合r平行，则m∠A5R-名，得cas∠4FR=名 a COS LAFF=4=AP+40-AEP 2AF .2c 化简得c2+2ac-8a2=0,即e2+2e-8=0,解得e=2. 故选：D 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用， 考查了数学运算能力 6.已知数列{an}的通项公式是a,=(-1)°(3n-2),则a1+a2+…+a226=( A.-3028 B.3039 C.-3039 D.3028 【答案】B 7.设数列{a,}满足a,+2a,+4a,+…+2-a,=,则数列{a}的前n项和Sn为() A) 凯别 c. D. 【答案】c 【来源】山东省聊城市2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题 【分析】由愿得4+2a,+4,+…+2ra=”a≥2)(1，a+24+4a+…+2r0,=异 4 (2),两式相减求出a,=(兮分)即得解。 【详解】由题得a+2a,+4a,++2ra4="-≥2)(1， 4 又a+2a,+4a,++2”a,=4(2, 2)（1)得2a,=年a,=分"适合4-4 所以a,=(分)，所以数列{a}是以为首项，以的等比数列， 所以3、 0身 故选：C 8.在数列{an}中，a=-60,an1=an+3,则|a+|a2+…+|as|等于() A.630 B.648 C.660 D.675 【答案】C 【分析】根据题意可得数列{an}是首项为60，公差为3的等差数列，去绝对值后利用分组 求和的方法即可求出结果， 【详解】依题意，由an1=an+3,得a1-a,=3,数列{an}是首项a1=60,公差d=3的 等差数列， 则an=a+(n-1)d=3n-63,当n≤21时，an≤0，当n>21时，an>0, 所以|a,+|a2|+…+|a25=-(a+a2+…+a)+a2+…+a2s =-a+a+a+a,）=60+0+23+12=60 4 2 故选：C 9.已知双曲线艾 a2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为√5，左、右焦点分别为F,F,以FF为 直径的圆与双曲线右支的一个交点为P.若1PF=2,则该双曲线的标准方程为（) A.-y=1 B.y=1 4 4 C. 28 =1 D.= 82 【答案】B 【来源】全国2021届高三高考数学（文）信息试题（一） 【分析】根据离心率得到b=2a,再根据双曲线的定义及勾股定理求出a,即可求出双曲线 方程； 【详解】解：因为离心率为5，所以e= a2+b2 b2 =5,所以b=2a,因为 a IPF=2,IPFI-|PF=2a,所以IPF=2+2a,又|EE上2c,且△PFF为以∠FPF为直角的 直角三角形，所以4+(2+2a)2=(2c)2,即8+8a+4a2=4c2,又c2=a2+b2=5a2,所以 2a2-a-1=0,解得a=1或a=-2 (舍去) 所以双曲线的标准方程为：亡- =1 4 故选：B 二、填空题 10.己知抛物线x2=4y上一点A(m,4),则点A到抛物线焦点的距离为】 【答案】5 【来源】上海市向明中学2022届高三上学期期中数学试题 【分析】先根据抛物线的方程求出准线方程，进而利用点A的纵坐标求得到点A准线的距 离，进而根据抛物线的定义求得答案 【详解】解：由题意得： 抛物线x2=4y的准线方程为y=-1 ∴.点A到准线的距离为4-(-1)=5 根据抛物线的定义可知点A与抛物线的距离就是点A与抛物线准线的距离 ∴.点A与抛物线焦点的距离为5 故答案为：5 1.已知双曲线若-少=1口>)的两条新近线的夹角为 ,则双曲线的实轴长为 π 【答案】25 【来源】陕西省宝鸡市金台区2021-2022学年高三上学期11月教学质量检测理科数学试题 【分析】根据已知条件求得a,由此求得实轴长. 【详解】由于a>1,双曲线的渐近线方程为y=士x<1, aa 所以双曲线的渐近线与x轴夹角小于 4 由上=tam=5得a=V5,实轴长2a=2N5 “63 故答案为：2√5 1 12.数列1， 1 1+2’1+2+3’ …的前n项和Sn= 2n 【答案】 n+1 【来源】专题九裂项相消法求数列的前n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练 (2019人教B版选择性必修第三册) 2 【分析】利用等差数列求和公式，数列的通项可化简为an= (n+)’ 裂项相消法即可求前 n项和 1 1 2 【详解】由于数列的通项an=1+2+3+.…+nn(n+)= nn+1) 11) =2(二- nn+l 2 1,1111+1-1 ∴5m=20-2+2+4 n nt l =21-）= 2n n+1n+1 故答案为： 2n n+1 1以.已知双自线C:号-若-口>06>0右顶点为人，以4为圆心，为年格作国4，国 与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点，若∠MAN=60°，则C的离心率为 【答案】25 【分析】∠M4N=60°，得出A到渐近线的距离为5b,由此可得a,bc的关系，从而求得 2 离心率e. 【详解】因为∠MAN=60°，而AM=AN=b,所以△AMN是等边三角形，A到直线MN的 距腐为5。， 2 又4a,0,渐近线方程取y=x,即bx-y=0, a 所似云+82 ,化简得e==2-25 a√53 14.设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比 数列，则a+as+a6十…+a,= 【答案】29+18 【来源】江苏省镇江市第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学试题 【分析】由等差数列、等比数列的通项公式可得a。=2”+1,再由等比数列的前n项和公 式即可得结果 【详解】由题意可得：an=n+1,b,=2,a,=bn+1=2-+1 所以a,+a++a.=1+2+…+2)+19=0-2+19=29+18 1-2 故答案为：29+18 15.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题.“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿， 大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半”题意是：“两只老鼠从城墙的两 边相对分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后 每天减半..…”则小老鼠第三天穿城墙尺：若城墙月40尺，则至少在第 天相 遇 【答案】 025 6 【来源】天津市滨海新区塘沽第一中学2021-2022学年高二上学期期末自测自评数学试题 【分析】由题意知小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以；为公比的等比数列，大老鼠每 天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，即可算出小老鼠第三天穿城墙的厚度， 再根据等比数列求和公式，构造等式，即可得解. 【详解】由题意知，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以；为公比的等比数列，前n天 打洞之和为 2-2)》 “小老鼠第三天穿城墙的厚度为1× 2 大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n天打洞之和为 1-2" =2”-1, 1-2 ∴两只老鼠第n天打洞穿墙的厚度之和为Sn=2”-1+2 且数列{S}为递增数列， 而S,=2-1+2 周=8=-1+2-=6 又城墙厚40尺， 所以这两只老鼠至少6天相遇， 故答案为：4：6. 三、解答题 16.已知数列a,的前“项和为S,满足4片S=5+4a+3, (1)证明：{an+}是等比数列： (2)求数列{an}的通项公式. 【答案】()见解析 2a,=4-1 3 【来源】天津市实验中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题 【分析】(1)由题意可得a1+1=4(a,+1),即可证明{a,+1}是以号为首项，4为公比的等 比数列： (2)由等比数列通项公式的计算即可得出答案， 【详解】(1)Sn1-Sn=4an+3,所以an1+1=4(an+1), 所以口+是以4+1=号为首项，4为公比的等比数列， 2)因为a,+是以4+1-号为首项，4为公比的等比数列， 所以a+1-号4写4，所以a,号4-1 17。已知挑物线C少=2(p>0)的焦点与双曲线E:号茶-1的右焦点重合，双曲线 E的渐近线方程为x±√3y=0。 (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程 (2)斜率为1且纵截距为-2的直线1与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的 面积 【答案】(1)y2=8x, (2)8√2 【来源】四川省广元市川师大万达中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题 【分析】(1)由双曲线的渐近线方程为x±√5y=0,可得b2=1,继而得到双曲线的右焦点 为(2,0)，即(2,0)为抛物线的焦点坐标，可得p=4,即得解： (2)联立直线与抛物线，可得x+x2=12,再由直线过抛物线的焦点，故|AB=p+x,+x2=1, 三角形的高为O到直线！的距离，利用点到直线公式，求解即可. 【详解】(1)因为双曲线E的渐近线方程为x±√5y=0. 所以 35 解得b2=1,从而c2=3+1=4,即c=2, 3 所以右焦点为(2,0)，从而二=2，解得P=4. 抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为y2=8x, x 3y2=1. (2) 1:y=x-2 XB 由题意直线：y=x-2,它过抛物线的焦点(2,0)， y2=8x 联立抛物线方程得 y=x-2' 化简并整理得x2-12x+4=0, 显然△=122-4×4=128>0，x+x3=12, 所以AB=p+x+x2=4+12=16, 点0到直线1的距离为d=2头=5， V12+1 所以Sw=方×5x16=8巨，即a408的面积为8w反. 18.已知数列{an}是公比9>1的等比数列，前三项和为13，且a,a2+2,恰好分别是等 差数列{b}的第一项，第三项，第五项. (I)求{an}和{bn}的通项公式： (2)已知k∈N,数列{cn}满足cn= 1,n=2k-1 bb 求数列{cn}的前2n项和S2n. anba, n=2k 【答案】()an=3m(neN)片b,=2n-1(neN) ②”8-3)3+9（neN) 16 【来源】天津市实验中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题 【分析】(1)利用等比基本量法结合等差中项列式可求得{n}通项公式，再利用等差基本量 法求得{bn}通项公式： 2)=5+5,令m=2k-1,得到=6-{g) 由裂项相消求得S奇，令 n=2k,得cn=c=(4-1)×32,由错位相减求得S偶，即可求解： ∫a,+a,+a,=l3a(1+g+g）=13a=1 a,=9 【详解】(1)解： 2(a+2)=a+a{a1-29+g）419=3或g=: 9=3 又9>1，则侣0=3（eN 设等差数列{bn}的公差为d,由题意得，b=a,=1,b=a2+2=3+2=5, 「b=1b=1 a+2d=5Pd=2'所以6=2n-1(neN). 1 1 11-1 (2)解：n=2k-1时，6=c(4k-34k+D44k-34k+1' .S奇=G+C3+C3+…+C2m-1 =》指动5+4司 1 3+4n-34n+1 =广2025-2026学年度高二年级阶段性学业质量调查（12月) 一、选择题 1.在数列{a}中，=2，a,=1,若 为等差数列，则4=() A:专 B C.2 D. 2.已知抛物线广=20x的焦点F与双曲线等兰-1(e>0,6>0)的-个焦点重合， 且点F到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为() 1B.-上=1 1D.y2 4125 9161 3.在等差数列{an}中，若as+a+4o=72,则2a1o.-a2的值为() A.6 B.16 C.24 D.60 4.记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=3,S=9，则S2=（) A.12 B.18 C.1 D.27 5。已知，B是双曲线等卡-1《0，b>0)的左、右焦点，点4是双曲 _y 线上第二象限内一点，且直线R与双曲线的一条渐近线y=x平行，△MR的 周长为9a,则该双曲线的离心率为（) A.2W5 B.5 C.3 D.2 6.已知数列{a,}的通项公式是a,=(-1)(3n-2),则a+a2++a2026=（) A.-3028 B.3039 C.-3039 D.3028 7.设数列{a,}满足4+2a,+4a+…+2a.=分，则数列{o}的前n项和S.为（） A北) B12 c. D.1 8.在数列{a}中，a=60,a+1=an+3,则|%+a2+…+a25等于() A.630 B.648 C.660 D.675 2已知双曲线名-为1>0，b>0的离心率为5，左，右焦点分别为R,B,以 FF为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P若|PR上2，则该双曲线的标准方 程为() B.x2y2 x2 y2 =1 C. =1 4 28 D.y 821 二、填空题 10.已知抛物线x2=4y上一点A(,4),则点A到抛物线焦点的距离为 已和双曲线yI®>的两条灞近线的夹角为，则双曲线的实 为一 11 12.数列1,1中21+2+3’…的前n项和，=一 已知双曲线C:-=1a>0,b>0右项点为，以4为圆心，6为半径作圆4 圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点，若∠MAW=60°，则C的离心率 为 14.设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{也，}是以1为首项，2为公 比的等比数列，则a6十4，+a十…+a6。=一 15.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题.“今有城墙厚若干尺， 两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.…”题意是： “两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加 倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”则小老鼠第三天穿城墙尺： 若城墙厚40尺，则至少在第 天相遇。 三、解答题 16. 已知数列{包，}的前n项和为8，满足a=宁，S=8+4a,+3. (1)证明：{an+1}是等比数列： 2)求数列{a}的通项公式. 已知抛物线C:=2p匹P>0的焦点与双曲线E:；-片=1的右焦 合，双曲线E的渐近线方程为x士√y=0 (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程 (2)斜率为1且纵截距为-2的直线1与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点， 求△AOB的面积