江苏省南京江北新区浦口外国语学校2025-2026学年上学期九年级数学一月月考试卷

2025-2026第一学期九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.） 1.一元二次方程x2-9=0的解是 A.X1=x2=-3 B.x1=X2=3 C.x1=V3,x2=-V3 D.X=3,2=-3 2.随机抛掷一枚质地均匀的骰子1次，下列事件中概率最大的是 A.点数为2 B.点数为3 C.点数小于3 D.点数为奇数 3.三角形的内切圆的圆心是三角形 A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点 4.下表是某班35位同学在实验操作中的得分情况： 得分（分） 5 6 7 8 9 10 人数（人） 2 ★ 1 已知这35位同学实验操作得分的中位数和众数都是9分，成绩得8分的超过6人，则成绩得9分的人数 是 A.9 B.10 C.11 D.12 5.已知二次函数y=a2+(b+1)x+c的图像如图所示，则函数y=ax2+bx+c的图像可能是 .容 第5题 6.如图，AB,CD分别是⊙0的内接正十边形和正五边形的边，AD,BC交于点P, 则∠APC的度数为 ( ) A.126° B.127° C.128 D.129° 0 第6题 第9题 二填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.） 7.若3a=2b,则的值为 8.设x1,x2是关于x的方程x2+4x+m=0的两个根，且x1+x2-x1x2=2,则m= 9.如图，直线1/1/1，(AB)/(BC)=3/2,若DE=6,则DF= CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP B (第10题) 第11题 第14题 10.如图，以AB为直径的半圆经过△ADE的顶点D,E,点C在AB上，AC=AD,若∠ADC=80°，则∠ AED= 11.某校组织一次故唱比赛，最终得分由歌唱水平、舞台表现、专业知识三部分组成、若把歌唱水 平、舞台表现、专业知识的成绩按6：3：1计算总分，小红这三项得分依次为80分、90分和80分，那 么在这次比赛中，小红的总分为 分 12.如图，边长均为6的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点A为圆心，AB长为半径画弧，得到BC, 则BC的长为 (结果保留) 13.在二次函数y=a2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m n(填“>”“< ”“≥”“≤”或“=”) -3 -2 2 3 -7 -2 M n -2 14.如图，二次函数y=ax2+bx与一次函数y=-x的图像交于点A(-1,1)和原点0，则关于x的不等 式ax2+hx)-x的解集是」 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿 着A一B一C的路线运动，则以P为圆心，2为半径的OP与△ABC三边都有公共点的时间共秒 三解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(8分)解方程：(1)2x2-3x-5=0 (2)x(x-1)=x CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.(10分)A、B、C三款智能机器人都能执行搬运、组装、测试中的任意一项任务.A B.C分别从搬运、组装、测试中随机选择一项任务，且选择的任务均不相同 (1)A随机选择搬运的概率是 (2)求A选择搬运，B选择组装，C选择测试的概率 18.(10分)为了解A,B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A,B 两款无人机各l0架，记录它们运行的最长时间（单位：mi),并对数据进行整理. A,B两款无人机充满电后运行的最长时间折线统计图 时间nid 8080 一A款 78 …B款 76 74 74 、72 7272 70 69 7072 68 6970V 69 g 67 68 62 64 0 12 3 45678910编号 (1)填空： 平均数/min 中位数/min 众数/min 方差/min A 70 69.5 ①▲ ② B 72 ③▲ 69 14 (2)根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由 (3)如果A款无人机再实验1次，运行最长时间为70min,那么A款无人机最长运行时间 的方差将」 (填“变大”，“变小”或“不变”) 19.(10分)如图，在锐角三角形ABC中，∠AFE=∠ABC. (I)求证：△AEF∽△ACB;(2)求证：△ABF∽△ACE. D B CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 20.(8分)己知一次函数y1=2x+1与二次函数y2=-x2+4x-2. 试说明：无论x取何值时，总有y1>y2· 21.(I0分)如图，在△ABC中，AB=AC,⊙0是△ABC的外接圆，BD是⊙0的直径，AD与BC交于点E, 在CA的延长线上取点F,使BA平分∠FBC. (1)求证：BF是⊙0的切线：(2)若AE=4,ED=5,求AB的长 0 22.(10分)某商场以每件42元的价钱购进一种服装，由试销知，每天的销售量r（件)与每件 的销售价x(元)之间的函数关系式为r=204-3x. (1)求每天销售这种服装的毛利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数表达式： (2)当每件销售价为多少元时毛利润最大，求最大的毛利润值· 23.(14分)已知二次函数y=ax2-a2x(a为常数)， (1)求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点. (2)该函数图象的对称轴是直线x=一（用含a的代数式表示）， （3)点A(x,y,),B(x,y)在该函数图象上。对于2≤x,≤3,2a≤x≤2a+1,都有yy,直接写出a 的取值范围， CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 24.(10分) “关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多…. 【问题提出】 （1)如图①，PC是△PAB的角平分线，求证验=S 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”。 ！小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”。 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明。 图1 【作图应用】 (2)如图②，AB是⊙0的弦，在⊙0上作出点P,使得路3 图2 要求：(1)用直尺和圆规作图：(2)保留作图的痕迹，写出必要的文字说明。 【深度思考】 (3)如图③，PC是△PAB的角平分线，若AC=3,PC=1,则△PAB的面积最大值是 图3 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 2025-2026第一学期九年级数学期末评学答案 一、选择题 1.D2.3.A4.C5.D6.A 二、填空题（每小题2分，共16分） 7 8.-6 9.10 10.80° 11.83 12g 13.< 14.-1<×<0 15.3 三、解答题 16.解方程(8分) (1)2x2-3x-5=0 解：因式分解，得(2x-5)（(x+1)=0, 则2x-5=0或x+1=0, 解得x1=2.5,X2=-1。 (2)x(x-1)=x 解：移项，得xX-1)x=0, 提取公因式x,得x(x-1-1)=0,即x(x-2)=0, 则x=0或x-2=0, 解得x1=0,X2=2。 17.概率问题(10分) (1)1/3 解析：A从搬运、组装、测试3项任务中随机选择1项，选择搬运的概率为13。 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP (2)解：A、B、C选择的任务均不相同，所有可能的排列情况有3×2×1=6种（分别为：A搬运、B组装、C测试：A 搬运、B测试、C组装：A组装、B搬运、C测试：A组装、B测试、C搬运：A测试、B搬运、C组装：A测试、B组装、 C搬运)。 其中符合“A股搬运、B选择组装、C选择测试"的情况仅1种， 因此概率为。 18.统计分析（10分) (1)①69(A款无人机运行时间中，69出现的次数最多，故众数为69)：②6.2*（根据A款数据计算方差：先求 每个数据与平均数70的差的平方，再求平均值，结果为6.2)：③73*（将B款10个数据从小到大排列，第5、6个 数据的平均数为中位数，即73)。 (2)答：B款无人机更有优势。理由：B款无人机的平均运行时间为72分钟，大于A款的70分钟，说明B款平均运行 时长更长，核心性能更优：虽然B款方差14大于A款，但平均时长是衡量运行时间的关键指标，因此B款更有优势。 (3)变小 解析：新增数据70与A款无人机的平均数相等，加入后会减小数据的离散程度，因此方差变小。 19.相似三角形证明(10分) (1)证明：因为∠AFE=LABC,且∠EAF=∠CAB(公共角)， 根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△AEF一△ACB。 ②)证明：由(1)△AEF-△ACB,所以架= AB' 交又变形和架=侣 又因为LEAF=∠CAB,所以∠EAF-∠EAC=∠CAB-∠EAC,即∠EAC=∠FAB, 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABF一△ACE。 20.函数大小比较(8分) 证明：要说明无论x取何值，总有y1>y2,只需证明y1y2>0恒成立。 计算y1-y2=（2x+1)-（-x2+4x-2), 去括号得2x+1+x2-4x+2, 合并同类项得x22x+3。 配方得(x-1)2+2。 因为任何实数的平方都大于等于0，即(x-1)≥0， 所以(x-1)2+222>0, 因此y1y2>0恒成立，即无论x取何值，总有y1y2。 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 21.圆的综合（10分) (1)证明：因为AB=AC,所以△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB。 又因为BA平分∠FBC,所以∠FBA=LABC,因此∠FBA=∠ACB。 因为BD是⊙O的直径，所以∠BAD=90°（直径所对的圆周角是直角）， 所以LADB+ABD=90°。 又因为∠ADB=∠ACB(同弧AB所对的圆周角相等)，且∠ACB=∠FBA, 所以∠FBA+∠ABD=90°，即∠FBD=90°。 因为OB是⊙O的半径，且BF⊥OB,所以BF是⊙O的切线。 (2)解：因为∠BAE=LBDA(同弧BE所对的圆周角相等)，∠ABE=∠DBA(公共角)， 所以△AEB一△DAB(两角分别相等的两个三角形相似)， 因此蜡=铝。 已知AE=4,ED=5,所以AD=AE+ED=4+5=9, 代入比例式得品=号 交叉相乘得AB2=4×9=36, 因为AB是线段长度，所以AB=6(负值舍去)。 22.利润函数（10分) (1)解：毛利润=每件利润×销售量，每件利润为(×42)元，销售量=204-3x, 因此y=(x-42)(204-3x)。 展开得y=204x-3x2-42×204+126x, 合并同类项得y=-3x2+330x-8568。 (2)解：二次函数y=-3x2+330x-8568中，a=-3<0,抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值。 对称轴公式为x=-会其中a=-3,b=330, 所以x=-330/(2×(-3))=55: 将x=55代入函数，得y=-3×552+330×55-8568, 计算得y=-3×3025+18150-8568=-9075+18150-8568=507。 因此，当每件销售价为55元时，毛利润最大，最大毛利润为507元 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 23.二次函数综合（14分) (1)证明：要判断函数图像与x轴的公共点个数，需计算判别式△。 对于二次函数y=ax2a2x,a0(二次函数定义)， 判别式△=(-a2)24×a×0=a‘。 因为a0,所以a>0,即△>0， 因此该函数的图像与x轴总有两个公共点。 2)9 解析：二次函数对称轴公式为x=-云此处二次函数中b=-3, 2a 3)a 解析：当a>0时，抛物线开口向上，对称轴x=a/2,函数在对称轴右侧y随x增大而增大。要使2sX1s3, 2asx2s2a+1时都有y1<y2,需满足3s2a(确保x1的最大值小于x2的最小值，且都在对称轴右侧)，解得a≥3/2： 当a<0时，抛物线开口向下，对称轴x=20,×1和x2都在对称轴右侧，y随x增大而减小，无法满足y1y2恒成立： 因此a的取值范围是a2。 24.角平分线综合（10分) (1)证明（选择小明思路）： 过点C作CD平行于PB,交AP的延长线于点D。 因为CDPB,所以∠PCD=∠PCB(两直线平行，内错角相等)，ACD=∠ABP(两直线平行，同位角相等)， LADC=∠APB(两直线平行，同位角相等)。 又因为PC是△PAB的角平分线，所以∠APC=∠PCB, 因此∠PCD=LAPC,所以△PCD是等腰三角形，CD=PD。 因为CDPB,所以△ACD一△ABP(两角分别相等的两个三角形相似)， 所以岩=器（相似三角形对应边成比例)， 交又变形得胎=铝， PB 又因为AD=AP+PD,且PD=CD,所以AD=AP+CD, 结合角平分线性质和比例推导，最终可得胎=二。 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP (2)作图： 步骤：①延长线段AB至点C,使AC=3BC(以B为端点，在AB延长线上截取BC=1/2AB,此时AC=AB+BC=3BC) ②作ACB的角平分线，交⊙O于点P(以C为圆心，任意长为半径画弧，交CA、CB于两点，再分别以这两点为 圆心，大于两点间距离为半径画弧，两弧交于一点，过C和该交点作射线，交⊙O于P): ③点P即为所求（保留作图痕迹）。 (3)2 解析：设PA=3k,PB=k(由角平分线定理胎-能=)，利用三角形面积公式和角平分线性质，结合PC=1,通 过几何变换和不等式推导，可得△PAB的面积最大值为2。 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP