专题02 二次根式化简求值、规律探索及应用6重难点题型（高效培优专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题02 二次根式化简求值、规律探索及应用6重难点题型 题型一：运用二次根式的非负性求值 题型二：巧用乘法公式化简求值 题型三：巧用整体代换化简求值 题型四：二次根式规律探索 题型五：双重二次根式规律探索 题型六：二次根式的应用 题型一：运用二次根式的非负性求值 1．（23-24八年级下·安徽淮南·月考）若实数，满足，求的值． 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 3．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知． (1)求的值； (2)求的值． 4．（22-23八年级下·安徽·月考）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法： 方法一： 方法二： (1)请用以上两种方法化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 5．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）【阅读理解】 爱思考的小铭在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，即， ∴，∴， ∴， ∴． 请你根据小铭的分析过程，解决下列问题： (1)计算：______； (2)计算：； (3)若，求的值． 6．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题：已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的； ，，， ，． 请你根据小浩的解题过程，解决如下问题： (1)______，______； (2)求的值； (3)若，求的值． 题型二：巧用乘法公式化简求值 7．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）已知，求代数式的值． 8．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）已知，，求的值． 9．（24-25八年级下·安徽六安·月考）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）已知，：求下列各式的值： (1) (2). 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，求： (1)的值． (2)的值． 12．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）已知，，，求值： (1) (2) 题型三：巧用整体代换化简求值 13.【2025安徽蚌埠禹会区校级质检】计算 14.请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式 的值. 小明的做法：根据得，， . 把的值整体代入，得 .即把已知条件适当变形， 再整体代入解决问题. 仿照上述方法解决问题： （1）已知，求代数式 的值； （2）已知，求代数式 的值. 15．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样解的： 因为， 所以，所以，所以， 所以． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)计算：； (2)若． ①求的值； ②求的值． 题型四：二次根式规律探索 16．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察】观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； ， 【发现】请直接写出第个等式； 【猜想】根据上述等式的规律猜想出第（为正整数）个等式（用含的式子表示）； 【论证】请证明你的猜想． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式：    (1)猜想的变形结果． (2)针对上述各式反映的规律，给出用（为任意自然数，且）表示的等式，并进行证明． 18．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式： (1)按照以上规律，写出第5个等式：_________________________； (2)按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：_________________________（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立． 19．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 请根据以上规律，解答下列问题． (1)直接写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示，为正整数），并证明你的猜想． 20．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）观察与思考： ①；②；③；… (1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； (2)试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 21．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，例如：，等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 22．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式： ①； ②； ③ (1)根据你发现的规律填空：___________； (2)请用（为正整数）来表示含有上述规律的等式：___________，并证明你的猜想． 23．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ； (2)按照以上各等式反映的规律，猜想第个（n为正整数，且等式，并证明． 24．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 等式； 等式； 等式； 等式　　　； (2)观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为　　　，并证明你的猜想． 25．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）探究学习 【感知特例】兰兰在学习中发现以下等式： ，，，， 【构建模型】兰兰由此猜想得出： 当为非负整数时，______（用含的代数式表示）； 【尝试应用】请你根据兰兰得出的结论，解决下列问题： （1）填空：______，______； （2）计算： ． 26．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解答后面的问题． 第1个等式：．      第2个等式：． 第3个等式：．                   第4个等式：…… (1)请直接写出第5个等式____________． (2)根据上述规律猜想第n个等式（n为正整数），并给予证明． 27．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 28．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式： ； ； ． (1) ． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ． (3)利用上述规律计算：． 29．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：． 30．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．．．．． (1)请写出第6个等式：___________． (2)通过上面等式发现，任意一个正奇数，都可以写成相邻两个非负整数的平方差．如果与是两个相邻的整数，其中，设，，试说明：． (3)如果与是两个相邻的整数，求的值． 31．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)____________； (2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出第圈个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)应用（2）中结论，请计算的值． 32．（24-25八年级下·安徽池州·期中）观察以下等式： 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． …… 解决下列问题： (1)写出第个等式：______． (2)如果为正整数，直接写出用含的式子表示上述运算规律的猜想． (3)请证明你的猜想． 33．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）观察下列各式及验证过程 验证： ，验证：； ，验证：…．． (1)按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想____________； (2)针对上述各式反映的规律，写出用第个（的自然数）表示的等式，并进行验证； (3)直接写出：____________． 34．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第4个等式：_____________________； (2)猜想第个等式，并证明你的猜想； (3)计算的值，并将结果化为最简二次根式． 35．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）先观察下列等式，猜想找规律，回答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式，请写出第7个等式为 ； (2)请写出第 n个等式为 ； (3)根据上述规律，解答问题： 设 ，求不超过m的最大整数是多少？ 36．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 37．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： 38．（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 39．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）明明根据学习“数与式”的经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，以下是明明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：_______（举一个符合上述运算特征的例子）； (2)观察归纳，得出猜想 如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：_______； (3)证明猜想，确认正确． 题型五: 双重二次根式规律探索 40.阅读理解题，下面我们观察： 反之， 所以，所以 完成下列各题： （1）在实数范围内因式分解：； （2）化简：； （3）化简：． 41.阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 42．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）【阅读材料】 利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，解决下列问题： 【问题解决】 (1)已知，为整数，求的值； (2)已知，和均为整数，求的值； 【拓展延伸】 (3)化简：． 43．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：； ． 【类比】（1）仿照上述方法将化成另一个式子的平方； 【拓展】（2）运用上述方法化简：； 【变式】（3）若，且，，均为正整数，求的值． 44．（22-23九年级下·安徽宿州·期中）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； …… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第四个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并给出证明． 45．（24-25八年级下·安徽六安·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目： 反之 她说如果化简可以这样做 ∵ ∴ (1)仿上例，化简：； (2)计算：． 46．（24-25八年级下·安徽六安·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目： 反之 她说如果化简可以这样做 ∵ ∴ (1)仿上例，化简：； (2)计算：． 题型六：二次根式的应用 47．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：) 48．（23-24八年级下·安徽池州·月考）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量×高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 49．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，高均为，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，求甲盒子的侧面积； (2)设甲，乙两个盒子侧面积分别为，， ①______（填“>”“=”“<”） ②说明①的理由． 50．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 51．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空坠物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）． (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 52．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）某社区计划打造一个休闲区域，有块形状为长方形的空地被规划使用．长为米，宽为米，社区打算在长方形空地中修建两个形状大小相同的长方形花坛来美化环境（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． (1)请你求出长方形的周长．（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成为步道，步道供居民日常散步等活动．现在要在步道上铺上造价为80元/平方米的地砖，请问要铺完整个步道，购买地砖需要花费多少元？ 53．（24-25八年级下·安徽六安·月考）设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有海伦公式：，秦九韶公式：． (1)若一个三角形的三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵三角形的三边长依次为5，6，7，即． _______，_______； (2)请你运用秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长依次是，，3，求这个三角形的面积． 54．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为20元/的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 55．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）沪科版初中数学教科书八年级下册第13页“阅读与思考”给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式： （海伦公式）； （秦九韶公式）． 请利用上述公式解决下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积； (2)如图，在中，的对边分别为a，b，c，．过点A作，垂足为D，求线段的长． 56．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由． (2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长． 57．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，学校准备制作一块长方形宣传栏，用于展示校园文化．已知宣传栏的长为，宽为．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为、宽为的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品． (1)计算长方形宣传栏的周长（结果化为最简二次根式）； (2)求用于张贴学生作品的面积． 58．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其三角形的面积公式为： ①（海伦公式）， ②（秦九韶公式）． 【解决问题】 如图，已知在中，，，，且，，满足． (1)求的值； (2)请你从①、②中选择一个合适的公式，求出的面积； (3)如图，是边上的高线，平分且交于点，求的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式化简求值、规律探索及应用6重难点题型 题型一：运用二次根式的非负性求值 题型二：巧用乘法公式化简求值 题型三：巧用整体代换化简求值 题型四：二次根式规律探索 题型五：双重二次根式规律探索 题型六：二次根式的应用 题型一：运用二次根式的非负性求值 1．（23-24八年级下·安徽淮南·月考）若实数，满足，求的值． 【答案】 【详解】解：由题意得，，， ， ， 当，时，． 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 3．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）解：根据二次根式的概念知： 解得：， 则； （2）解： ． 4．（22-23八年级下·安徽·月考）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法： 方法一： 方法二： (1)请用以上两种方法化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：； （2）解：由题意可得， ， ； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴． 5．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）【阅读理解】 爱思考的小铭在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，即， ∴，∴， ∴， ∴． 请你根据小铭的分析过程，解决下列问题： (1)计算：______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）原式 ． （3）∵， ∴， ∴．即． ∴， ∴． 6．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题：已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的； ，，， ，． 请你根据小浩的解题过程，解决如下问题： (1)______，______； (2)求的值； (3)若，求的值． 【详解】（1）解：； ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 题型二：巧用乘法公式化简求值 7．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）已知，求代数式的值． 【答案】57 【详解】解：∵， ∴ ． 8．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）已知，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴． 9．（24-25八年级下·安徽六安·月考）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ． （2）解：由（1）得，， ． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）已知，：求下列各式的值： (1) (2). 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，求： (1)的值． (2)的值． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ 12．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）已知，，，求值： (1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型三：巧用整体代换化简求值 13.【2025安徽蚌埠禹会区校级质检】计算 【解析】设 ，则原式 . 故答案为 14.请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式 的值. 小明的做法：根据得，， . 把的值整体代入，得 .即把已知条件适当变形， 再整体代入解决问题. 仿照上述方法解决问题： （1）已知，求代数式 的值； （2）已知，求代数式 的值. 【解析】（1），，，即 ， ， . （2），， ， ，，， ， . 15．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样解的： 因为， 所以，所以，所以， 所以． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)计算：； (2)若． ①求的值； ②求的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为，所以， 所以，即，所以， ① ； ② ． 题型四：二次根式规律探索 16．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察】观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； ， 【发现】请直接写出第个等式； 【猜想】根据上述等式的规律猜想出第（为正整数）个等式（用含的式子表示）； 【论证】请证明你的猜想． 【详解】发现：第个等式是； 猜想：； 论证：∵等式左边等式右边， 猜想成立． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式：    (1)猜想的变形结果． (2)针对上述各式反映的规律，给出用（为任意自然数，且）表示的等式，并进行证明． 【详解】（1）解：由题意得，第五个式子为． （2）解：第n个式子为，理由如下： ， ∴． 18．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式： (1)按照以上规律，写出第5个等式：_________________________； (2)按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：_________________________（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立． 【详解】（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式： ∴ （2）． 为正整数， ∴左边右边， ∴等式成立． 19．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… 请根据以上规律，解答下列问题． (1)直接写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示，为正整数），并证明你的猜想． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… ∴第5个等式：； （2）解：． 证明：左边右边， 该猜想成立． 20．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）观察与思考： ①；②；③；… (1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； (2)试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 【详解】（1）解：∵①； ②； ③；… ∴写出第④个等式为：； （2）解： （的整数） 证明如下： ． 21．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，例如：，等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2），证明如下： ． 22．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式： ①； ②； ③ (1)根据你发现的规律填空：___________； (2)请用（为正整数）来表示含有上述规律的等式：___________，并证明你的猜想． 【详解】（1）解：由题意，得：； 故答案为：； （2）由题意，规律为：； 证明：∵为正整数， ∴． 23．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ； (2)按照以上各等式反映的规律，猜想第个（n为正整数，且等式，并证明． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …； 第4个等式：； 故答案为：； （2）解：第个式子是： ， 证明：． 24．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 等式； 等式； 等式； 等式　　　； (2)观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为　　　，并证明你的猜想． 【详解】（1）解：根据题意可得等式； 故答案为：； （2）解：为正整数，猜想等式可表示为． 证明如下： ． 故答案为：． 25．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）探究学习 【感知特例】兰兰在学习中发现以下等式： ，，，， 【构建模型】兰兰由此猜想得出： 当为非负整数时，______（用含的代数式表示）； 【尝试应用】请你根据兰兰得出的结论，解决下列问题： （1）填空：______，______； （2）计算： ． 【详解】【构建模型】解：， 为非负整数， ， ， ， ， 故答案为：； 【尝试应用】解：； ； 故答案为：；； 解： . 26．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解答后面的问题． 第1个等式：．      第2个等式：． 第3个等式：．                   第4个等式：…… (1)请直接写出第5个等式____________． (2)根据上述规律猜想第n个等式（n为正整数），并给予证明． 【详解】（1）解：第1个等式：，    第2个等式：， 第3个等式：，                    第4个等式：， 第5个等式：； （2）第1个等式：，    第2个等式：， 第3个等式：，                    第4个等式：， ， 第n个等式：， 证明：左边 ， 右边 ， ， ． 27．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② 故答案为：． （2）证明：等式左边 又， 右边， 等式成立 （3）原式 28．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式： ； ； ． (1) ． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ． (3)利用上述规律计算：． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 29．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：． 【详解】（1）解：由题意可得，第4个等式， 故答案为：； （2）解：由题意知，第n个等式为； （3）解： ， ∴． 30．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．．．．． (1)请写出第6个等式：___________． (2)通过上面等式发现，任意一个正奇数，都可以写成相邻两个非负整数的平方差．如果与是两个相邻的整数，其中，设，，试说明：． (3)如果与是两个相邻的整数，求的值． 【详解】（1）解：观察前面给出的等式： 可以发现规律：第n个等式左边是，右边是． 那么第6个等式，，左边是，右边是． 所以第6个等式为：． （2）已知，，其中． 则，． 所以． 又因为， 所以． （3）已知与是两个相邻的整数， 设，则． 由前面的结论可知，．即， 移项得， 两边同时除以2得． 两边同时平方得． 31．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)____________； (2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出第圈个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)应用（2）中结论，请计算的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）； （3）． 32．（24-25八年级下·安徽池州·期中）观察以下等式： 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． …… 解决下列问题： (1)写出第个等式：______． (2)如果为正整数，直接写出用含的式子表示上述运算规律的猜想． (3)请证明你的猜想． 【详解】（1）解：∵第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； ∴第个等式：， 故答案为：； （2）解：由（）可得，第个等式：； （3）证明：∵等式左边 ， ∴等式左边等式右边， ∴猜想成立． 33．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）观察下列各式及验证过程 验证： ，验证：； ，验证：…．． (1)按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想____________； (2)针对上述各式反映的规律，写出用第个（的自然数）表示的等式，并进行验证； (3)直接写出：____________． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解：∵第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… ∴第n个等式：． 验证： ． （3）解： 故答案为：． 34．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第4个等式：_____________________； (2)猜想第个等式，并证明你的猜想； (3)计算的值，并将结果化为最简二次根式． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ∴第4个等式：， 故答案为：． （2）解：猜想的第个等式： 证明：∵等式左边， ∴等式左边等式右边， ∴猜想成立； （3）解：根据（2）中的规律，当时， ． 35．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）先观察下列等式，猜想找规律，回答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式，请写出第7个等式为 ； (2)请写出第 n个等式为 ； (3)根据上述规律，解答问题： 设 ，求不超过m的最大整数是多少？ 【详解】（1）解：第7个等式为； 故答案为：； （2）第 n个等式为； 故答案为：； （3） ， ∴不超过m的最大整数是2024． 36．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）（n为正整数， 故答案为：； （3）原式． 37．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： 【详解】（1）解：根据题意，可得； 故答案为：； （2）根据题意，可得第个等式：； 故答案为：； （3）原式 ． 38．（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 【详解】（1）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， 故答案为：； （2）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， ， 特例n：， 故答案为：； （3）解：由可知：， 均为正整数， ，， ， 故答案为：． 39．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）明明根据学习“数与式”的经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，以下是明明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：_______（举一个符合上述运算特征的例子）； (2)观察归纳，得出猜想 如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：_______； (3)证明猜想，确认正确． 【详解】（1）解：特例4：； 故答案为：； （2）解：特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：； 根据以上各式的规律，可得：； 故答案为：； （3）证明：是正整数， ， ． 题型五: 双重二次根式规律探索 40.阅读理解题，下面我们观察： 反之， 所以，所以 完成下列各题： （1）在实数范围内因式分解：； （2）化简：； （3）化简：． 【详解】解：（1） （2） （3）． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键． 41.阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 42．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）【阅读材料】 利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，解决下列问题： 【问题解决】 (1)已知，为整数，求的值； (2)已知，和均为整数，求的值； 【拓展延伸】 (3)化简：． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：， ，， ； （3）解：． 43．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：； ． 【类比】（1）仿照上述方法将化成另一个式子的平方； 【拓展】（2）运用上述方法化简：； 【变式】（3）若，且，，均为正整数，求的值． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴； （3）①当，， ②当，． 综上所述，或． 44．（22-23九年级下·安徽宿州·期中）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； …… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第四个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并给出证明． 【详解】（1）解：由题意可得：第四个等式为：， 故答案为：； （2）猜想的第n个等式为：， 验证： 所写等式正确． 45．（24-25八年级下·安徽六安·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目： 反之 她说如果化简可以这样做 ∵ ∴ (1)仿上例，化简：； (2)计算：． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，，，……，， ． 46．（24-25八年级下·安徽六安·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目： 反之 她说如果化简可以这样做 ∵ ∴ (1)仿上例，化简：； (2)计算：． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，，，……，， ． 题型六：二次根式的应用 47．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：) 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为和， 原长方形木板的面积=； （2）最多能裁出块这样的木条．理由如下： ，， 块， 块， 块． 从剩余的木块阴影部分中截出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出块这样的木条． 故答案为：． 48．（23-24八年级下·安徽池州·月考）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量×高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【详解】（1）∵，, ∴． （2）∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， 对人构成伤害， 故严禁高空抛物． 49．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，高均为，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，求甲盒子的侧面积； (2)设甲，乙两个盒子侧面积分别为，， ①______（填“>”“=”“<”） ②说明①的理由． 【详解】（1）解长方体体积相同，高相同， 甲、乙底面积相同． ． ， ． ． 甲盒子的侧面积； （2）解：①由②可知， 故答案为：； ②由题意，， ， 均为非负数，， ， 即， ． ， ， ． 50．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为5，6，7，即，，． ∴． 根据海伦公式，得该三角形的面积． （2）∵三角形的三边长分别为，，，即，，， ∴，，． 根据秦九韶公式，得该三角形的面积． 51．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空坠物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）． (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 【详解】（1）解：根据题意得，． 把，，代入得 ， ∴该楼层落地时的速度为． （2）解：不正确，理由如下： ∵小明住的高度是小亮家的倍， ∴． 将的值代入公式中，得： ∴，   即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是倍．因此，小明的说法不正确． 52．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）某社区计划打造一个休闲区域，有块形状为长方形的空地被规划使用．长为米，宽为米，社区打算在长方形空地中修建两个形状大小相同的长方形花坛来美化环境（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． (1)请你求出长方形的周长．（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成为步道，步道供居民日常散步等活动．现在要在步道上铺上造价为80元/平方米的地砖，请问要铺完整个步道，购买地砖需要花费多少元？ 【详解】（1）解：米， 答：长方形的周长为米； （2）解： 元， 答：要铺完整个步道，购买地砖需要花费元． 53．（24-25八年级下·安徽六安·月考）设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有海伦公式：，秦九韶公式：． (1)若一个三角形的三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵三角形的三边长依次为5，6，7，即． _______，_______； (2)请你运用秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长依次是，，3，求这个三角形的面积． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：9，． （2）解：，，， ，，． ． 54．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为20元/的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【详解】（1）解：． 答：矩形空地的周长为； （2）解： ． （元）． 答：购买地砖需要花费780元． 55．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）沪科版初中数学教科书八年级下册第13页“阅读与思考”给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式： （海伦公式）； （秦九韶公式）． 请利用上述公式解决下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积； (2)如图，在中，的对边分别为a，b，c，．过点A作，垂足为D，求线段的长． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：， ， ， ． 56．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由． (2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长． 【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴此三角形是奇异三角形； （2）解：设第三边为x， 当边长为4的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴或， 解得或（舍去）；或（舍去）； 当边长为x的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，第三边的长为或或． 57．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，学校准备制作一块长方形宣传栏，用于展示校园文化．已知宣传栏的长为，宽为．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为、宽为的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品． (1)计算长方形宣传栏的周长（结果化为最简二次根式）； (2)求用于张贴学生作品的面积． 【详解】（1）解：（）． 答：长方形宣传栏的周长为． （2）（）． 答：用于张贴学生作品的面积为． 58．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其三角形的面积公式为： ①（海伦公式）， ②（秦九韶公式）． 【解决问题】 如图，已知在中，，，，且，，满足． (1)求的值； (2)请你从①、②中选择一个合适的公式，求出的面积； (3)如图，是边上的高线，平分且交于点，求的长． 【详解】（1）解：， ，，， ，，， 解得，， ； （2）解：选择公式①：由（1）可知，， ，，， ； 选择公式②：根据题意得； （3）解：过点作于点， ， 为等腰三角形， ， 平分，，， . ， ， 整理，得， ， 整理，得． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $