专题01 二次根式比较大小的5种方法（高效培优专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题01 二次根式比较大小的5种方法 题型一：平方法 题型二：作差/作商法 题型三：取中间值比较 题型四：分子/分母有理化 题型五：倒数法比较 题型一：平方法 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）比较与的大小关系是： （填“>”或“<”）． 2．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）比较大小： （填“或或”）． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）比较大小： （填“”或“”或“”） 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： （填“”、“”或“”） 5．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 6．我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 7.在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵，则，∴． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，c d（填写＞，＜或者＝）． (2)猜想 ，之间的大小，并证明． (3)化简： （直接写出答案）． 题型二：作差/作商法 8．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 9．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知 那么a， b的大小关系是 a b（填“>”或者“<”）． 10.试比较与的大小． 11．（22-23八年级下·安徽六安·期中）阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当都是正数时，①若，则；②若，则；③，则． 我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”． (1)请用上述方法比较与的大小； (2)写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 12.在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． 13.我们知道，因此，像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以上各小题． (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 题型三：取中间值比较 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： ． 15．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列等式： 根据上述规律，解决下列问题： （1） （填“”、“”或“”）； （2）填空： ． 16．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，请解答下列问题： (1)比较大小：_______（填“”“”或“”）； (2)若的整数部分为，是的算术平方根，求的立方根． 题型四：分子/分母有理化 17．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”） 18．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）观察下列一组等式，然后解答问题：，， (1)计算：． (2)比较与的大小． 19．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）阅读下列解题过程： ；；；…… 像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． (1)计算________； (2)比较大小：________（用“>”“<”或“=”填空）； (3)比较大小：________（用“>”“<”或“=”填空）； (4)计算： 20.阅读下列简化过程： ； ；…… 解答下列问题： (1)化简的值为：______； (2)计算； (3)设，，，比较，，的大小关系． 21．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】 （1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是． （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如：． 【概念理解】 （1）的有理化因式是__________．（2）后分母有理化的结果为__________． 任务： (1)直接写出研究报告中“______”处空缺的部分分别是__________、__________． (2)利用分母有理化比较与的大小． (3)计算：． 22.数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式． ，得； ，得； 利用你发现的规律： (1)化简：______； (2)______填>，<，或； (3)计算： 23.【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． 题型五：倒数法比较 24．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 25．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 26．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）观察下列一组等式．解答后面的问题： ； ． (1)化简：_____，_____（n为正整数）． (2)比较大小：_____（填“”，“”或“”）． (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果： __________． 27.分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 28.阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 29．（24-25八年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：__________； (2)观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果； (3)试比较与的大小； (4)计算：（提示：）． 30.阅读下列解题过程： ； ； ； …… 则： (1) ； (2)观察上面的解题过程，请直接写出式子 (3)利用上面的规律：比较 与 的大小． 31.[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 32.材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）． (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：； (4)若，求的值． 33.材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)填空：的有理化因式是 （写出一个即可）； (2)化简：； (3)比较与的大小，并说明理由． 34．我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用． 如： (1)化简：______； (2)比较和的大小； (3)化简：． 35．像，（，），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”，例如，（与、与，与等都是互为“有理化因式”，进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______． (2)计算：． (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01 二次根式比较大小的5种方法 题型归纳 题型一：平方法 题型二：作差/作商法 题型三：取中间值比较 题型四：分子/分母有理化 题型五：倒数法比较 题型专练 题型一：平方法 1.(24-25八年级下安微安庆期中)比较-2万与-3V5的大小关系是：-2万一-35（填心”或 "<”). 【答案】< 【详解】解：（←2√7）2=28，(-3V)2=27, -27<-35. 故答案为：<， 2.（24-25八年级下.安微宣城期中)比较大小：√6+1√4+√5（填“<或>或=”）. 【答案】> 【详解】解：(N6+面=17+266， 4+5=17+242, :17+2√66>17+2√42， √6+>√4+5. 故答案为：>. 3.(24-25八年级下.安微毫州期末)比较大小：3√2 π（填“>”或“=”或“<"） 【答案】> 【详解】解：(32=18>16， 32>4>π， 故答案为：> 4.(24-25八年级下.安徽合肥期中)比较大小：-2√5 -5√2（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【详解】解：（-25)=20，（-52=50， 1/28 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :20<50, .-2N5>-5V2, 故答案为：> 5,(24-25八年级下安微安庆期末)比较大小：√2+√6_√5+√5（填“>"“<”或“=”）. 【答案】< 【详解】解：因为(2+√6)2=2+6+22=8+22， (W5+V5)2=3+5+215=8+215, 因为2<√5，所以8+212<8+215，即(W2+√6)2<(3+√5)2， 因为√2+√6>0,3+5>0，所以2+6<5+√5 故答案为：<， 6.我们可以用“平方法”比较二次根式a=2√5和b=3√2的大小，先把a和b分别平方，得a2=12,b2=18, 因为a2<b2,所以a<b,请结合上述材料解决下列问题： (1)比较c=36,d=45的大小 (2)比较m=25+3和n=2√7+√5的大小. 【详解】(1)解：依题意，c2=3V6)=54,d2=(45=80, 54<80, c2<d2 即c<d. (2)解：由题意得，m2=(25+3=20+4v65+13=33+465, n2=(2V7+N5=28+4W35+5=33+4√35， :65>35, 33+4√65>33+4V35, (25+13>(27+V5, 25+V13>2万+V5, 即m>n. 7.在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a=2√3和b=3√2的 大小，我们可以把a和b分别平方，a2=12,b2=18,则a2<b2,a<b. 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较c=4√2，d=2√万大小，cd(填写>，<或者=). (2)猜想m=2√5+√6，n=25+√4之间的大小，并证明. 2128 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3)化简：V4p-8√p-1+V4p+8√p-= (直接写出答案). 【详解】(1)解：：c2=32,d2=28, 则c2>d2, .c>d; 故答案为：>. (2)解：猜想：m<n, 证明：：m=2√5+√6，n=2√5+√14， m2=(2W5+V6=26+430,n2=(25+4=26+4W42, :√30<√42， m2<n2, .m<n; (3)解：(p-i-1=p-2p-i,（Vp-i+1°=p+2√p-i, V4p-8Vp-I+V4p+8√p-I =2Vp-2√p-i+2Vp+2√p- =2|√p-1-1川+21Vp-1+1 :p-1≥0 p≥1， 分情况讨论： ①若√p-1-1≤0，即1≤p≤2时， 原式=21-√p-可)+2√p-1+1=4: ②若√p-1-1>0,即p>2时， 原式=2√p-1-1+2√p-1+1=4√p-i, 综合①②得： 当1≤p≤2时，原式=4： 当p>2时，原式=4Vp-1； 故答案为：4或4Vp-1. 题型二：作差/作商法 8.(23-24八年级下安徽合肥期中)比较大小：V5+1 8 (填“”或“<”或“=”). 2 5 【答案】> 3/28 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：5+1855-11 2510 (552=125,1P=121, 55-11>0, :5+1_855-1l>0, 2510 5+1.8 2>5 故答案为：>， B(24,25八年级下安激马胶山期末)已知。占，b那么，b的大小关系是。b(填或者 4 “<"). 【答案】< 【详解】解：a-b=5-1_325-5 244 (25<5, 25<5, 25-5<0, 25-5<0, 4 .a-b<0, .a<b. 故答案为：< 试议石-2与6的大木 【详解】解：“。=6+2-6+1， √6-222 1 =s+6.2+6 √⑧-V62 11 8-66-2 2+6-6+)=2-1, 2 2 √2>1， 2-1>0, 1 1 即6-28-6 4/28 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.(22-23八年级下·安徽六安期中)阅读材料，并解决下列问题.在比较同号两数的大小时，通常可以比 较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当，b都是正数时，①若二>1，则>b:②若-=1， 6 则a=b；③<1，则a<b. b 我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”. (1)请用上述方法比较5万与75的大小： 2写出a+1与a+2 a+2a+3 (a为正整数)的大小关系，并证明你的结论。 【详解】(1)解：：√5<√7， :5万5 ·757 <1, 5万<75； (2)Va+1Va+2 a+2 a+3 证明： √a+1.√a+2 Va+2 Ja+3 √a+1√a+3 √a+2Va+2 (a+2-1(a+2+1 Va+2 √a+2 (a+2-1 (a+2i :(a+2-1<a+2, a+1a+2<1, a+2 a+3 a+lJa+2 √a+2√a+3 12在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： 5/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11 11 2>25*写 (1)填空：6+3 2V6×3;7+7 27×7. (2)试猜想a+b与2√ab(a≥0，b≥0)的大小，并说明理由. 【详解】(1)解：“6+3-2√6×3 =(6-2x6x5+(5 =(6->0, 6+3>26x3; :7+7-2√7×7， =(7-2x7x万+(7j =(7-=0, 7+7=2V7×7; 故答案为：>；=。 (2)猜想：a+b≥2√ab(a≥0，b≥0). 理由：a≥0，b20 a+b-2√ab =(a-2a历+j =(Na-6≥0， a+b≥2ab; 33(4+5)12+35 13.我们知道(4+54-5)=1，因此4-54-54+可 11 ,像这样通过分子、分母同乘 一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化.请你通过分母有理化完成以上各小题. 4计算：6-5 1 2 3 (2)比较： V2026-V2024与J2028-N2025的大小， 1 3)化简： 9+10+10+厅++2 +…+2024+2025 1 √6+√5 6+5-6+5: 【详解】(1)解：6-5(6-56+56-5 6/28 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 (2)解： √2026-√2024√2028-√2025 2√2026+√2024 3V2028+V2025 (W2026-√2024)(W2026+√2024（W2028-√2025)√2028+V2025) 2V2026+√2024 3√2028+√2025 2 3 =√2026+√2024-√2028-√2025 =(√2026-V2028+√2024-√2025]<0 2 3 V2026-V2024<V2028-√2025： 3)解：9+*10+而+m+12++2024+V202 (5-1o (0-) (-2 (9+io-io)i0+i0-而+i2-@ √2024-√2025 F(√2024+√2025√2024-V2025 =-(5-0-(--(i-2-…-(2024-2025) =-√5+10-√10+√-√+√12--√2024+√2025 =-√5+V2025 =-3+45 =42. 题型三：取中间值比较 14.(2425八年级下安徽合肥期中)比较大小：5-」 3 4 【答案】< 【详解】解：：4<5<6.25， 2<5<2.5, 1<5-1<1.5, 5-11.5_3 224 故答案为：<. 15.(24-25八年级下.安徽蚌埠期中)观察下列等式： 7/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 1xV2-1 2- 2+1(2+1(2-1 5+55+2j5万5-a 1 1x(3-√2 1 1x4-V5 =2-V3 4+5(W4+3V4-5】 根据上述规律，解决下列问题： (1)V8-万 √6（填“>”、“<”或“=” 1 (2)填空： 1 1 1 V2+1+5+2+V4+5++N2026+V2025 V2026+1= 【详解】解：（1)限据题意：8十万V8-万， 1 1 8+√7 <1, √6>1， :⑧-√万<√6， 故答案为：<； (2)原式=(N2-1+5-2+4-5+…+2026-2025√2026+1 =(√2026-1(2026+1 =(√2026)- =2026-1 =2025, 故答案为：2025 16.(23-24八年级下·安微滁州期末)阅读材料：因为√4<√5<√，即2<√5<3，所以√5的整数部分为 2,小数部分为√5-2，请解答下列问题： (1)比较大小： V3-3 2 —}(填><或”=” 2若、35的整数部分为a,6是b的算术平方根，求3a-。-5的立方根. 2 【详解】(1)解：：√<√3<√6， :3<V13<4, :13-3<1, 8/28 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3-31 2 2 故答案为：<； (2)解：：√25<√35<V36, :5<V35<6, :√35的整数部分为a=5, :6是b的算术平方根， ·b=62=36, 3a-b 5=3x5-36-5=-8, 2 3a-65的立方根为-8=-2 题型四：分子/分母有理化 1 17.(23-24八年级下.安微合肥期中)比较大小：2-√5 （填“>”“<”或“=”) 2+V3 【答案】= 1 2-V5 【饼解1解2+店2+2-万2-5. 2-5=,1 2+5 故答案为：= 18.(24-25八年级下·安微合肥月考)观察下列一组等式，然后解答问题： (2+12-1=1,5+2)5-2=1,(4+54-5=1,（5+45-4=1… 11 1 1 a拼第：+十5+54+5++ √100+99 1 1 2比较2025-N2024与/2024-V20m的大小， 【详解】(1)解：2+12-=1， 5+25-2=1, 4+54-=1, (5+4)5-4=1, … 第n个等式为：(n+1+√n)(n+1-√n)=1, 9128 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 1 1 2++5+2+4+5+…+ √100+√99 =2-1+√5-2+…+√100-√99 =√100-1 =10-1 =9; √2025+√2024 (2)解：2025-V2024√2025-V2024√2025+V2024 =√2025+√2024， 1 √2024+V2023 =√2024+√2023， √2024-√2023 √2024-√2023)√2024+√2023 √2025+√2024-√2024+√2023 =√2025+√2024-√2024-√2023 =√2025-√2023>0， 1 1 √2025-√2024>√2024-√2023 19.(24-25八年级上·安徽宿州期中)阅读下列解题过程： 1 √2-1 5-5 2+1(2+12-1 =5-1,5+55+25- =5-2: √4-5 4+g(4+S4-同4-6： 像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化. (1)计算 1 V100+V99 1 1 (2比较大小： √6-2 5-5 （用“”“<"或“=”填空) (3)比较大小：√2024-√2023 一√2025-√2024（用""<"或“="填空）； 1 1 1 1 (4)计算： 2+15+2+4+5+…+ √2024+√2023 100-√99 【详解】4④解：m+厉不N0+网-网0-6阿=10-3 1 故答案为：10-31. 1 √6+2 6+2 (2)解： 6-26-26+22' 10/28