湖北省武汉市七一华源中学2025-2026学年九年级上学期1月数学试卷

2025-2026学年武汉市七一华源中学九年级（上）1月数学试卷2026.01.19 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．“投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”这个事件是（　　） A．不可能事件 B．随机事件 C．确定性事件 D．必然事件 3．用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） C． D． 4．设，是一元二次方程 的两个根，则的值是（　　） A． 0 B． −2 C． 4 D． −4 5．平面内，⊙O的半径为5，若直线l与⊙O相离，则圆心O到直线l的距离可能是（　　） A． 6 B． 5 C． 4 D． 3 6．将抛物线 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 7． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A 顺时针旋转90°后得到的△AB'C'(点B 的对应点是点B'，点 C 的对应点是点 C') ，连接CC'． 若 ，则∠B的大小是（　　） A． 57° B． 60° C． 67° D． 77° 第7题图 第9题图 第14题图 第16题图 8．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（　　） A． B． C． D． 9． 如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠ABC=90°，过点O作斜边AC的平行线分别交BA、BC于M、N，若AM=4，CN=3，则⊙O的半径是（　　） A． B． C． D． 10．四位同学研究二次函数的图象与性质时，甲发现当x=2时，y=2；乙发现函数的最大值是4；丙发现x=−1是方程 的一个根；丁发现函数图象关于直线x=1对称．已知这四个同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是（　　） A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 丁 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 下列各题不需要解答过程，将结果直接填在答题卷指定位置． 11．点(2，−4)关于原点对称的点的坐标是 ． 12．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 50 100 200 500 1000 “射中9环以上”的次数 15 41 78 158 405 801 “射中9环以上”的频率 0.75 0.82 0.78 0.79 0.81 0.80 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“命中9环以上”的概率为 ．(结果保留小数点后两位) 13．两年前某药品的售价为每盒50元，随着新医保政策的支持价格逐步下调，现在该药品的售价为每盒30元．设药品售价的年平均下降率为x，依题意列方程为 ． 14．如图，用圆心角为120°，半径为3cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 cm． 15．已知抛物线 下列说法： ①抛物线与x轴必有两个交点； ②若抛物线经过(5−m，1)，(5+m，1)两点，则b=−10； ③若抛物线与x轴两个交点的距离大于4，则b<−2； ④若抛物线经过位于对称轴两侧的(−3，y₁)，(1，y₂)两点，且． ，则2<b<6．其中一定正确的结论有 (填写序号即可)． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AB=6，D是平面内一点，且CD=BC，点M是AD中点，点P在线段AB上，且PB=1，连 PM，则线段PM的最大值为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17．(8分)关于x的方程 有一个根是一1，求另一个根及m的值． 18．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，△ECD是由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点E与点A是对应点，点D与点B是对应点，连接AD，且点A、D、E在同一条直线上． (1) 求∠BAE 的度数； (2) 若BC=2，求 AE的长度． 19．(8分)一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． (1)若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 ； (2)若从盒子中任意抽取2张书签(先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签)，求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．(请用画树状图或列表等方法说明理由) 20．(8分)如图，矩形ABCD 内接于⊙O，E是AD上一点，且 ，连接EB，EC分别交AD于点 F，G． (1) 求证：AG=CG； (2) 若AF=1，FG=3，求⊙O的半径． 21．(8分)如图，由边长为1的小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且A、B、C是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1 中先作直径CE，再过点E 作⊙O 的切线； (2)在图2 中，点D 是⊙O与网格线的交点，先在AB上方作 再在 AB 下方作弦DG=BC． 22．(10分)武汉欢乐谷是华中地区超受欢迎的主题乐园，位于东湖畔，占地35万平方米，拥有38个室外游乐项目，过山车是其经典项目之一．如图所示，以OE 所在直线为x轴，OF 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，F→E→G为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米(轨道厚度忽略不计)． (1)求抛物线F→E→G的函数关系式； (2)在轨道距离地面 米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了1．5米至K点，又进入下坡段K→H(K接口处轨道忽略不计，点H为最低点)．已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，求OH 的距离； (3)现需要在轨道下坡段F→E 进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求AB=2OA，已知这种材料的价格是50000元/米，如何设计支架，会使造价最低?最低造价为多少元? 23．(10分)【问题背景】如图1，点D是等边△ABC内一点，连接AD、CD，将AD绕点A 顺时针旋转 得到AE，连接BE、DE，求证：BE=CD； 【尝试应用】如图2，点D是等腰直角△ABC内一点，，，连接AD、BD、CD，若 ，，，求△BCD面积； 【拓展创新】如图3，在等腰△ABC中，，，点D为平面内一点，且 ，，直接写 的值为 ． 24．(12分)抛物线 经过点A(1，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是第四象限内抛物线上一点，满足 求点D坐标； (3)如图2，G(t，2)是第一象限内一点，过点G的两条直线均与抛物线只有一个交点，交点分别为M、N，探究直线MN 是否过定点，求这个定点的坐标． 2025-2026学年武汉市七一华源中学九年级（上）1月数学试卷参考答案 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C A B D D C A 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 (−2，4) 0.80 ①②④ 4 三、解答题（共8小题，共72分） 17．解：将 x=−1 代入， (−1)2−m(−1)−5=0 ∴m=4 ∴x2−4x−5=0 解得 =−1，=​=5 ∴另一根是 x=5，m=4 18．解：（1）在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=60∘ ∴∠BAC=30∘ 由旋转得，△ECD≅△ACB ∴AC=CE，∠BAC=∠E=30∘ ∴∠CAE=∠E=30∘ ∴∠BAE=30∘+30∘=60∘ （2）∵∠B=∠CDE=60∘ ∴∠ACD=60∘−30∘=30∘=∠CAD ∴AD=CD=BC=2 在 Rt△CDE 中，∠E=30∘ ∴DE=2CD=4 ∴AE=4+2=6 19．解：（1） （1）用树状图列出所有等可能的结果： ∵在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为"春"，1张为"秋"出现了2次， ∴P(抽取的书签恰好1张为"春"，1张为"秋")=． 20．（1）证明：∵ ∴ 在矩形ABCD中，BC//AD ∴ ∴ ∴AG=CG （2）解：连AE,∵，∴ ∴ 在矩形ABCD中, ，， ∴AC是直径， ∴∠AEC=90°=∠ABC ∴∠CBE=∠CEB=∠GFE ∴FG=EG=3 ∴ 在△AGE和△CGD中 ∵，， ∴ ∴GD=GE=3 ∴AD=4+3=7 ∴ ∴ ∴半径为． 21． 22．解：(1)设抛物线解析式为 将 代入， ∴ (2)当时，， ∴， PG=8-1=7，PK=7+1.5=8.5 ∴EH=PK=8．5 ∴(米) (3)设A(t，0)，则B(3t，0) ∴AM+CM+BN+DN = = ∵ ∴时，支架最短，为12米 此时，最低造价为600000元． 23．（1）证明：在等边△ABC中，， ∵∠BAC=60°=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴，∴BE=CD （2）解：作 且AE=AD，连BE、DE ∴∠EAD=90°=∠BAC ∴∠EAB=∠CAD 又∵AB=AC，AE=AD ∴△BAE≌△CAD ∴CD=BE=1 在Rt△ADE中， ∵BE²+DE²=BD²∴∠BED=90° ∴ ∵∠ADE+∠ADC=180° ∴C、D、E三点共线 ∴ （3）或 24．（1） （2）解：∵时，，∴, 延长OA交y轴于F，在OC上取点E，使CE=AE 令CE=AE=t，则OE=3-t ∵1²+(3-t)²=t² ∴ ，∴， ∵∠ACE+∠CAE=∠AEO，∠EAO=∠ECA．∴∠AEO=2∠ACO ∵∠DAC=3∠ACO，∠DAC=∠ACO+∠AFO ∴∠AFO=∠AEO ∴OF=OE=，∴ ∵A(1, 0)、F ∴直线AF： 联立， 解得： ∴ （3）解：设M(，)、N(，) ∴直线MN： 令直线GM： 联立 ∴ ∴， ∴直线GM： 同理，直线GN： ∴ ∴ ∴ ∵G(t，2) ∴ ∴ ∴直线MN： ∴过定点(2，0) 数学试卷 第5页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $