精品解析：上海市松江区2025-2026学年上学期七年级数学期末考试卷

2025学年第一学期七年级数学学科期终质量监测试卷 （满分：100分 完成时间：90分钟） 一、填空题（本大题共13题，每题2分，共26分） 1. 单项式系数是______． 2. 化简：_____． 3. 计算：________． 4. 计算：___________． 5. 计算：______． 6. 因式分解：______． 7. 如果分式有意义，那么x的取值范围是_______． 8. 若，则整式值为______． 9. 若关于整式可以在有理数范围内因式分解，则整数的值是_____． 10. 一个分式同时满足：①字母仅含有；②当时，分式的值为；③当时，分式的值为,这个分式可以是_____（写出一个即可）． 11. 有下列图形：①等边三角形；②正方形；③平行四边形；④圆；⑤等腰梯形．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_____（填序号）． 12. 如图的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是______． 13. 若分式的值为整数，则所有符合条件的正整数x的值为_______． 二、选择题（本大题共5题，每题3分，共15分） 14. 中式连续纹样是一种独特的艺术形式，不仅承载着吉祥和美好的寓意，还展现了古人对自然和生活的深刻理解，下面四个连续纹样中，属于四方连续纹样的是（ ） A. B. C. D. 15. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 16. 小海解分式方程的过程如图所示，他从某一步开始出现了错误，则出现错误的是（ ） 解：方程整理，得，第一步 去分母，得，第二步 移项，合并同类项，得，第三步 经检验是原分式方程的解．第四步 A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 17. 古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 18. 如图是第23届国际数学家大会的邮票，它的图案是一个矩形，这个矩形被分割成大小不相同的11个正方形．如果图中所有正方形的边长都是整数，且图中最大正方形与最小正方形的边长分别为x、y，则的值（ ） A. 12 B. 11 C. D. 三、简答题（本大题共6题，每题5分，共30分） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 计算：．（结果不含负指数幂） 22. 因式分解：． 23. 因式分解：． 24. 解方程：． 四、解答题（本大题共4题，第25题6分，第26题7分，第27、28题每题8分，共29分） 25. 先化简，再求值：，其中a、b满足． 26. 如图，在每个小正方形边长为1方格纸中，三角形的顶点都在方格纸格点上．将三角形先向左平移2格，再向上平移4格． （1）请在方格纸中画出平移后的三角形； （2）求出线段扫过的图形的面积． 27. 某超市购进两种松江大米礼盒装，其中甲礼盒的购进数量是乙礼盒的3倍．已知购进甲礼盒共花费9000元，购进乙礼盒共花费6000元，且甲礼盒每盒的进价比乙礼盒每盒的进价少20元． （1）求甲、乙两种礼盒分别购进了多少盒? （2）该超市将两种礼盒按进价提高后定价销售，全部售完后，两种礼盒的利润总和为3600元，求n的值． 28. 图形运动藏奥秘，动手实践出真知！某校七年级数学兴趣小组围绕直角三角形运动，解锁几何探究新乐趣． 【操作】 如图，在正方形中，点是边上一动点（不与、重合），连结． （1）将三角形绕点逆时针旋转得到三角形（点、分别与点、对应），请在图中画出旋转后的图形；（不要求写作图步骤，只写结论） 【探究】 （2）在（1）所画图形的基础上，已知，（其中），连结． ①当，时，求三角形的面积； ②如果三角形的面积为，三角形的面积为，求线段的长． 【拓展】 （3）在（2）的条件下，画出三角形关于直线成轴对称的三角形（点A与点G是对称点），设交于点，直接写出三角形与三角形的面积差．（用含b的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期七年级数学学科期终质量监测试卷 （满分：100分 完成时间：90分钟） 一、填空题（本大题共13题，每题2分，共26分） 1. 单项式的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式系数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，据此可得答案． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 2. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项．根据合并同类项法则，直接计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 3. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”求解即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 4. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，掌握整式的乘法运算法则成为解题的关键．运用多项式乘多项式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据运算法则，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可． 【详解】解： 故答案为：． 6. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握公式法进行因式分解是解题的关键． 观察表达式，发现其为平方差形式，利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 7. 如果分式有意义，那么x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零进行解答即可． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不为零，故， 解得． 故答案为：． 8. 若，则整式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，掌握整体代入法求值是解题的关键． 将整理得，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9. 若关于的整式可以在有理数范围内因式分解，则整数的值是_____． 【答案】##或##或 【解析】 【分析】本题考查公式法的因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键． 设因式分解形式为，则，，由为整数，、为整数，枚举的整数解求即可． 【详解】解：因式分解形式为， 故，， 由于为整数，且， 则、为整数， 的整数解有：，或，或，或，， 对应： 当，时； 当，时； 当，时； 当，时， 故整数的值为或， 故答案为：． 10. 一个分式同时满足：①字母仅含有；②当时，分式的值为；③当时，分式的值为,这个分式可以是_____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于且分母不等于是解题的关键． 根据分式值为的条件，分子为且分母不为，因此分子需包含因式；再根据分式值为的条件，代入建立方程求解分母． 【详解】解：设分式为 ，其中 和 是关于 的多项式， 由 时分式值为， 得 且 ， 故 含有因式 ， 令 ， 由 时分式值为-2，得 ， 即 ，解得 ， 故可设 ， 验证当 时，，满足条件， 因此分式可为 ． 故答案为：（答案不唯一）． 11. 有下列图形：①等边三角形；②正方形；③平行四边形；④圆；⑤等腰梯形．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_____（填序号）． 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断各图形是否同时具备两种对称性． 【详解】解：①等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形； ②正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形； ③平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； ④圆既轴对称图形，又是中心对称图形； ⑤等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形． 故答案为：②④． 12. 如图的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是______． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 B为旋转中心． 故答案：B． 13. 若分式的值为整数，则所有符合条件的正整数x的值为_______． 【答案】2或3##3或2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值，掌握相关知识是解题的关键． 分式化简为，值为整数时，是的约数，结合为正整数且分母不为零，求解即可． 【详解】解：分式， 要使分式的值为整数，则为整数，即是的约数， 的约数为和， 所以或或或， 解得或或或， 由于为正整数，且（分母）， 所以符合条件的为2或3． 故答案为：2或3． 二、选择题（本大题共5题，每题3分，共15分） 14. 中式连续纹样是一种独特的艺术形式，不仅承载着吉祥和美好的寓意，还展现了古人对自然和生活的深刻理解，下面四个连续纹样中，属于四方连续纹样的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用平移设计图案，熟练掌握平移的性质是解题的关键．四方连续纹样是指一个单位纹样向上下左右四个方向反复循环排列形成的装饰图案，根据平移的性质判断即可． 【详解】解：属于四方连续纹样的是选项D， 故选：D． 15. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键． 需满足的形式，据此判断各选项． 【详解】解：选项A：，末项为负数，且非平方数，不符合公式； 选项B：：中间项对应，末项应为，但末项为，不匹配； 选项C：：首项，末项，中间项，符合； 选项D：：缺少常数项，无法构成完全平方； 故选C． 16. 小海解分式方程的过程如图所示，他从某一步开始出现了错误，则出现错误的是（ ） 解：方程整理，得，第一步 去分母，得，第二步 移项，合并同类项，得，第三步 经检验是原分式方程的解．第四步 A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤进行判断即可，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 小海在去分母时未将方程左边的常数项乘以公分母，导致错误． 【详解】解：∵原方程整理后为，去分母时两边应同乘， ∴左边：， 右边：， 得， 但小海第二步写为，错误在于未将乘以， ∴出现错误的是第二步， 故选：B． 17. 古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克，结合千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同，列出方程即可，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 【详解】解：设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克， 由题意可得，， 故选：． 18. 如图是第23届国际数学家大会的邮票，它的图案是一个矩形，这个矩形被分割成大小不相同的11个正方形．如果图中所有正方形的边长都是整数，且图中最大正方形与最小正方形的边长分别为x、y，则的值（ ） A. 12 B. 11 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式加减的应用，代数式求值，利用数形结合的思想是解题关键，设第2号正方形的边长为a，根据图形依次用代数式表示出第3、4、7、11号和第5、6、8号正方形的边长，根据第11号边长号边长号边长号边长，进而可求出，由此即可求解． 【详解】解：如图：顺次对图中每一个正方形标号， 由图可知：第1号正方形的边长为y，第10号正方形的边长为x，设第2号正方形的边长为a， ∴第3号正方形的边长为，第4号正方形的边长为， ∴第7号正方形的边长为，第11号正方形的边长为， 第5号正方形的边长为， ∴第6号正方形的边长为， ∴第8号正方形的边长为， 由第11号边长号边长号边长号边长可得： 10号边长， ∴， 故选：B． 三、简答题（本大题共6题，每题5分，共30分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式的应用，先运用完全平方公式，平方差公式去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的运算法则是解答此题的关键．根据异分母分式加减运算法则通分计算即可． 【详解】解： ． 21. 计算：．（结果不含负指数幂） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的混合运算，先把负整数指数幂化为正指数幂的形式，然后根据分式的混合运算法则化简，即可得到结果． 【详解】解： ． 22. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法，先将看作一个整体，然后利用十字相乘法，分解因式即可． 【详解】解： ． 23. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 先分组， 利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 24. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． 先将分式方程化为整式方程，再求解，最后检验即可． 【详解】解： 解得， 当时，， ∴原方程无解． 四、解答题（本大题共4题，第25题6分，第26题7分，第27、28题每题8分，共29分） 25. 先化简，再求值：，其中a、b满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、非负数的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先计算括号内的式子，再算括号外面的除法，然后根据可以得到a、b的值，再代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ， 因为，，且， 所以，， 解得：，， 当，时，原式． 26. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形的顶点都在方格纸格点上．将三角形先向左平移2格，再向上平移4格． （1）请在方格纸中画出平移后三角形； （2）求出线段扫过的图形的面积． 【答案】（1）详见解析 （2）线段扫过的图形的面积是32 【解析】 【分析】此题主要考查了平移变换和三角形的高，利用图形的面积之和是解题关键． （1）分别将点A、B、C向左平移2格，再向上平移4格，得到点、、，然后顺次连接； （2）先画出平移过程，可得线段扫过的图形的面积，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求； 【小问2详解】 解：线段扫过的图形的面积 ， 答：线段扫过图形的面积是32． 27. 某超市购进两种松江大米的礼盒装，其中甲礼盒的购进数量是乙礼盒的3倍．已知购进甲礼盒共花费9000元，购进乙礼盒共花费6000元，且甲礼盒每盒的进价比乙礼盒每盒的进价少20元． （1）求甲、乙两种礼盒分别购进了多少盒? （2）该超市将两种礼盒按进价提高后定价销售，全部售完后，两种礼盒的利润总和为3600元，求n的值． 【答案】（1）甲、乙两种礼盒分别购进了450盒、150盒 （2）n的值是24 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意并根据题意建立相应等量关系是解题的关键，分式方程注意检验． （1）设乙种礼盒购进了x盒，则甲种礼盒购进了盒，根据购进甲礼盒共花费9000元，购进乙礼盒共花费6000元，且甲礼盒每盒的进价比乙礼盒每盒的进价少20元，列分式方程，求解即可，注意检验； （2）分别求出甲、乙两种礼盒每盒的进价，再根据该超市将两种礼盒按进价提高后定价销售，全部售完后，两种礼盒的利润总和为3600元，列一元一次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设乙种礼盒购进了x盒，则甲种礼盒购进了盒， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲、乙两种礼盒分别购进了450盒、150盒； 【小问2详解】 解：由（1）可知： 甲种礼盒每盒的进价元， 乙种礼盒每盒的进价元， 根据题意，得：， 解得：， 答：n的值是24． 28. 图形运动藏奥秘，动手实践出真知！某校七年级数学兴趣小组围绕直角三角形运动，解锁几何探究新乐趣． 【操作】 如图，在正方形中，点是边上一动点（不与、重合），连结． （1）将三角形绕点逆时针旋转得到三角形（点、分别与点、对应），请在图中画出旋转后的图形；（不要求写作图步骤，只写结论） 【探究】 （2）在（1）所画图形的基础上，已知，（其中），连结． ①当，时，求三角形的面积； ②如果三角形的面积为，三角形的面积为，求线段的长． 【拓展】 （3）在（2）的条件下，画出三角形关于直线成轴对称的三角形（点A与点G是对称点），设交于点，直接写出三角形与三角形的面积差．（用含b的代数式表示） 【答案】（1）详见解析；（2）①三角形的面积是；②线段的长是6；（3） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，图形面积的计算，以及列代数式等知识点，掌握相关的知识点，准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）①联结，根据旋转的性质，得出，根据面积公式进行计算即可；②得出面积的相关表达式，，，即可求出线段的长； （3）根据面积关系进行计算即可． 【详解】解：（1）如图1，三角形即为所求． （2）①联结，如图2所示， ∵将三角形绕点旋转到三角形， ∴，，， ∵正方形， ∴． ∴，． ∴． ∴ ． 又∵， ∴． 解得． 答：三角形的面积是． ②如图2，由①可知： ， ， ． 根据题意，得；，， ∴，． ∵， 又∵， ∴． 答：线段的长是6． （3）如图3所示： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $