精品解析：辽宁省朝阳市建平县多校联考2025-2026学年高二上学期1月期末数学试卷

2025-2026学年度上学期高二年级期末试题 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名和考场号､座位号填写在答题卡上. 2.选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目选项涂黑. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中的点关于平面的对称的点横、纵坐标不变，竖坐标变为相反数求解. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可得到，再由复数的乘法计算可得. 【详解】因为，所以， 则， 所以. 故选：C 3. 已知圆柱和圆锥的体积之比，底面半径之比为，则该圆柱和圆锥的高之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出圆锥和圆柱的高和底面半径，然后根据体积比可求出高之比. 【详解】设圆柱和圆锥的高分别为，底面半径分别为， 因为圆柱和圆锥的体积之比为，则，所以， 故选：A. 4. 已知向量，若在上的投影向量为，则的所有可能结果的和为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量的概念得，然后由数量积和模的坐标运算列式求解，即可得解. 【详解】因为在上的投影向量为，所以， 又，所以，可得， 解得或，所以. 故选：B. 5. 世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种. A. 120 B. 60 C. 24 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解. 【详解】根据题意可分为2种情况讨论： （i）若小张或小赵只有一人入选，则有种不同的选派方案； （ii）若小张，小赵都入选则有种不同的选派方案， 综上可得，共有种不同的选派方案. 故选：D 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求得，再根据对数的运算即可求得最小值. 【详解】因为，，所以，，当且仅当时取等号， . 故选：D. 7. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象的对称中心为 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答． 【详解】由图象可知，，，因为，所以， 所以，而，则， 由图可知，所以，所以， A，图象向左平移个单位得到图象，不正确； B，由，可得， 则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确． 故选：B 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过原点的直线与的左、右两支分别交于两点，点在上且，若以为直径的圆过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意推得四边形为矩形，可设，则，分别在直角三角形和直角三角形中，运用勾股定理，建立关于的等式，计算即可求解 【详解】连接，，，， 由以AB为直径的圆恰好过左焦点可得，由双曲线的对称性得四边形为矩形， 可设，则， 在直角三角形中，可得， 即，解得， 又在直角三角形中，， 即，， 因为 所以，即. 故选：C． 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共计8分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则下列表述正确的是（    ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当实数变化时，直线恒过点 C. 当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 D. 原点到直线的距离最大值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，依据斜率求出倾斜角；对于B，将直线的方程化为即可；对于C，根据平行关系求出，再利用两条平行直线间的距离公式即可；对于D，当直线与过原点、的直线垂直时，原点到直线的距离最大，求两点间距离即可. 【详解】对于A，当时，直线，则直线斜率为， 故直线的倾斜角为，故A正确； 对于B，直线，当时，， 故直线恒过点，故B正确； 对于C，当直线与直线平行时，有，得， 此时直线， 则两条直线的距离为，故C正确； 对于D，当直线与过原点、的直线垂直时，原点到直线的距离最大， 最大值为，故D错误. 故选：ABC 10. 已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 二项式系数最大的项为第6项或第7项 D. 有理项共5项 【答案】BD 【解析】 【分析】根据展开式的通向公式以及二项式系数的性质求解判断. 【详解】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故A错误， 令，得所有项的系数和为，故B正确， 由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误， 因为展开式通项为， 当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确． 故选：BD． 11. 在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，是棱上的动点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值是 C. 的最小值是 D. 正方体被平面截得的五边形的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】如图建系，求得各点坐标及所需向量坐标，根据数量积公式，代入计算，即可判断A的正误；根据向量夹角公式，即可判断B的正误；将平面沿顺时针旋转与平面共面，当A、H、E三点共线时，有最小值，根据长度，求得最小值，即可判断C的正误；如图作辅助线，则五边形AMFEN的周长即为所求，分别求得各个长度，即可判断D的正误. 【详解】以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 选项A：因为， 所以，即，故A正确； 选项B：， 因为异面直线与所成角范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值是，故B正确； 选项C：将平面沿顺时针旋转与平面共面，连接，如图所示， 当A、H、E三点共线时，有最小值， 且最小值为，故C错误； 选项D：延长，与的延长线交于点G，与的延长线交于点H， 连接，交于点M，连接AH，交BC于点N，连接MF，NE， 则五边形AMFEN的周长即为所求， 因为分别是棱的中点，， 所以，则， 在中，， 因为， 所以， 所以，所以，则， 所以在中，， 在中，， 同理，， 所以五边形AMFEN的周长为，故D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小恩，每题5分，共计15分：） 12. 5名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他4名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有________种排法. 【答案】6 【解析】 【详解】根据全排列，结合定序问题即可求解. 【分析】将除甲外的4名同学全排列，甲左边2名同学与右边2名同学顺序一定， 所以排法共有种. 故答案为：6. 13. 已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两点间距离公式，再结合点在抛物线上来消元，即可利用二次函数求出最小值. 【详解】 设，则由题意得：， 因为点P为抛物线上一点，所以， 代入可得：， 所以当时，的最小值为， 故答案为： 14. 设是不为0的实数，已知函数.若函数有7个零点，则的取值范围是______. 【答案】. 【解析】 【分析】作出的图象，然后由，得或，由图象可知有3个零点，所以就有4个零点，再结合图象可求出结果. 【详解】作出函数的大致图象，如图所示. 由，得或. 当时，有3个零点； 要使函数有7个零点， 则当，即时，曲线与直线有4个交点， 结合图象可得，解得， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是函数的零点问题转化为有解，即或，作出函数的大致图象，数形结合求解. 四､解答题（木题共5小题，共计77分.） 15. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线过点. （1）写出圆的标准方程； （2）当直线被圆截得的弦长为时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）配方得出圆的标准方程； （2）根据直线斜率存在与不存在两种情况分类，应用点到直线距离公式结合圆的弦长公式计算求解. 【小问1详解】 配方可得圆的标准方程：. 【小问2详解】 圆的圆心，半径为2，因由直线被圆截得的弦长为， 故可得圆心到直线的距离为，直线过点， 当直线斜率不存在时，直线，此时点到直线距离恰好为1，故符合条件； 当直线斜率存在时，设直线，即， 此时圆心到直线的距离为， ，此时直线为，即. 综上所述，直线的方程为或. 16. 12月5日，四川省人工智能产业应用场景发布对接大会在南充市举办，大会发布了人工智能应用场景需求清单和产品供给清单共项.某小组围绕人工智能产业的发展前景，向名群众开展了问卷调查，将名群众的分数按分为组，画出如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计这名群众的分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （3）从分数在内的群众中用分层抽样的方法随机抽取了名群众，再从这名群众中选取名群众，求这名群众的分数均在内的概率. 【答案】（1） （2）分 （3）. 【解析】 【分析】（1）由频率和为可求的值； （2）将每组数据的组中值乘以频率，再将所得结果相加即为平均数； （3）分别计算出在内抽取的人数并编号，然后根据古典概型的概率计算公式可求结果. 【小问1详解】 由图可得，得. 【小问2详解】 估计这名群众的分数的平均数为分. 【小问3详解】 由题意得抽取的分数在内的群众人数为人，编号为， 抽取的分数在内的群众人数为人，编号为， 则该试验的样本空间为，共个样本点， 事件“这名群众的分数均在内”包含的样本点为， 所以这名群众的分数均在内的概率为. 17. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足． （1）求角C的大小； （2）若点D在边AB上，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由半角公式、正弦定理、三角和的正弦公式对已知条件进行化简，得到，进而得到，求出角C的值. （2）过作于，则，又，所以 【小问1详解】 因为，所以， 即，化简得， 又， 所以，又，，故， 【小问2详解】 如图：过作于，则，， ，又，所以. 18. 如图多面体中，平面平面，，，且为棱中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的外接球半径. 【答案】（1） 因为， 所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，， 所以四边形为平行四边形，则，所以. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得，进而证明即可； （2）建立空间直角坐标系，由线面角向量发计算即可求解； （3）设三棱锥的外接球球心，由，建立等式计算可得，进而可得外接球半径. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 以点为坐标原点，以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 因为，， 故， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为 【小问3详解】 设三棱锥的外接球球心， 因为，即. 所以. 因为，所以， 所以，故球的半径为. 19. 如图，已知椭圆：过，两点，直线：与轴交于点． （1）求的方程； （2）过的直线交于，两点（在的左侧），直线，分别交直线于，两点，直线，的斜率分别为，． （I）证明：为定值； （II）记和的面积分别为，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（I）由题意可知：点，且直线的斜率存在， 设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 可得，， 则 ， 所以为定值； （II） 【解析】 【分析】（1）根据离心率的值和椭圆上一点求得，进而求得椭圆方程即可. （2）（I） 设出直线的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理对进行化简即可验证结果；（II）先根据三角形面积公式将表达式用列出来，然后根据求根公式整理为关于的式子，结合运算求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆：过，两点， 则，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （I）略 （II）因为直线的方程为， 令，则，即， 且直线的方程为， 令，则，即， 可知，即， 则， 且， 可得， 由方程， 可得，， 则，， 可得， 因为，则，， 即，可得， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期高二年级期末试题 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名和考场号､座位号填写在答题卡上. 2.选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目选项涂黑. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆柱和圆锥的体积之比，底面半径之比为，则该圆柱和圆锥的高之比为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若在上的投影向量为，则的所有可能结果的和为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种. A. 120 B. 60 C. 24 D. 36 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 7. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象的对称中心为 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过原点的直线与的左、右两支分别交于两点，点在上且，若以为直径的圆过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共计8分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则下列表述正确的是（    ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当实数变化时，直线恒过点 C. 当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 D. 原点到直线的距离最大值为2 10. 已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 二项式系数最大的项为第6项或第7项 D. 有理项共5项 11. 在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，是棱上的动点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值是 C. 的最小值是 D. 正方体被平面截得的五边形的周长为 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小恩，每题5分，共计15分：） 12. 5名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他4名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有________种排法. 13. 已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______. 14. 设是不为0的实数，已知函数.若函数有7个零点，则的取值范围是______. 四､解答题（木题共5小题，共计77分.） 15. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线过点. （1）写出圆的标准方程； （2）当直线被圆截得的弦长为时，求直线的方程. 16. 12月5日，四川省人工智能产业应用场景发布对接大会在南充市举办，大会发布了人工智能应用场景需求清单和产品供给清单共项.某小组围绕人工智能产业的发展前景，向名群众开展了问卷调查，将名群众的分数按分为组，画出如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计这名群众的分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （3）从分数在内的群众中用分层抽样的方法随机抽取了名群众，再从这名群众中选取名群众，求这名群众的分数均在内的概率. 17. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足． （1）求角C的大小； （2）若点D在边AB上，且满足，求的值． 18. 如图多面体中，平面平面，，，且为棱中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的外接球半径. 19. 如图，已知椭圆：过，两点，直线：与轴交于点． （1）求的方程； （2）过的直线交于，两点（在的左侧），直线，分别交直线于，两点，直线，的斜率分别为，． （I）证明：为定值； （II）记和的面积分别为，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $