培优04 一元二次方程章末15题型归类（专项训练）数学人教版五四制八年级下册

培优04 一元二次方程 题型1 根据一元二次方程的定义求参数 一元二次方程必须同时具备以下三个条件： 1）一元，是指方程中只含有一个未知数.若含有其它字母，必须说明它们是常数. 2）二次，是指方程化简后未知数的最高次数是2. 3）整式方程，是指未知数不可以在分母上. 1．（23-24九年级上·广东江门·期中）把方程化成一般形式是 ，其中 【答案】 65 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且），首先将方程左边按多项式乘多项式的规则进行展开后再进行合并同类项即可求出一般式，然后求出即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： ∴ ∴把方程化成一般形式是，其中． 故答案为：，65． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）关于x的一元二次方程中不含x的一次项，则此方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，理解一元二次方程的基本定义是解题关键．根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数，解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程中不含x的一次项， 即不含x的一次项， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． 由常数项为2，求出m的值，再结合，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，由常数项为2， 则， 解得：或， ∵， ∴， ∴或都符合题意． 故选：C． 4．（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，该方程是一元二次方程？ (2)当m为何值时，该方程是一元一次方程？ (3)若该方程有一个根是，求此时m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解一元二次方程： （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得，解之即可得到答案； （3）把代入原方程得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴； （3）解：∵该方程有一个根是， ∴，即， 解得或． 5．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程，其中满足，求这个一元二次方程． 【答案】或 【分析】本题考查了一次二次方程的定义和非负数的性质，几个非负数的和为0时，那么这几个非负数分别等于0．根据非负数的性质列式求出a，b，c的值，然后代入方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这个一元二次方程为或。 题型2 根据一元二次方程的解求参数或代数式的值 根据方程根的定义，将方程的根代入原方程求解，从而确定某些字母的取值或求出给定代数式的值. 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为 ． 【答案】 【分析】将题干中的一元二次方程通过变量替换令转换为关于的一元二次方程，然后利用一元二次方程根的性质求出新的方程的解再根据与的关系式求出一元二次方程的解即可． 【详解】解：把一元二次方程 整理得． 设，则． 关于的一元二次方程有一个根为， 有一个根为， ， 解得， 一元二次方程必有一个根为． 故答案为. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的性质以及换元法求值，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 7．（2025·吉林长春·三模）若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入计算，即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：2024． 8．（2025·四川资阳·三模）已知为方程的根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，熟练运用整体思想是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴ ∴． 故答案为：． 9．（2025·浙江台州·二模）已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．设方程的一个根为，则是方程的一个根，得到①，②，利用加减消元法即可求解． 【详解】解：设方程的一个根为，则是方程的一个根， ∴①，，即②， 得， 解得或， 当时，代入①，得，不符合题意，舍去； 当时，代入①，得， 得； 综上，； 故答案为：． 10．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知是方程的两根 (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1)0 (2)7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值以及代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先解方程得出m、n的值，进而判断出m、n均小于0，然后化简分式，最后整体代入求值即可； （2）先化简，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而求解即可． 【详解】（1）解：是方程的两根， ， ， ∴原式， 是方程的两根， ， 原式； （2）解：， ， ， 原式． 题型3 选择合适的方法解一元二次方程 选择一元二次方程解法的技巧 1)选择顺序:直接开方法→_________________→公式法→配方法 2)若方程为型时，用_________________ 3)若方程右边为0，而左边易于分解成两个一次因式的积时，可用_________________ 4)若方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，可用_________________ 5)若用直接开平方法和因式分解法不能求解时，可用_________________ 答案：1)因式分解法 2)直接开平方法 3)因式分解法 4)配方法 5)公式法 11．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；掌握配方方法是解题的关键． （1）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （5）整理后移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （2）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （3）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （4）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （5）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，． 12．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)，； (4)，； (5)，； (6)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （1）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （2）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （3）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （4）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （5）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （6）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ， ， ， ，； （5）解：， ， ， ， ， ， ，； （6）解：， ， ， ， ， ， ，． 题型4 利用整体换元法解一元二次方程 在一个式子中要善于观察几个式子的关系，有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数的，可以用整体换元法，实现降次的目的. 13．（2025九年级上·全国·专题练习）请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 14．（24-25九年级上·广东中山·期中）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用，配方法解一元二次方程； （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，，把原方程化为，然后求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：或（舍去）， 即， 解得． （2）设，则， 则， ∴， 解得：（舍）或， 即， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：． 15．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； (2)利用换元法解方程：． 【答案】(1)；， (2)，，， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，换元法解方程， 对于（1），根据换元法思想，令，把原方程转化为一元二次方程，解方程后的解，代入到原方程中，从而得到原方程的解； 对于（2），利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程后，再得到原方程的解． 【详解】（1）解：， 设， ∴原方程变为：， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 可知，无解. 所以原方程的解是； （2）， 设，则 ∴原方程可变形为：， 即， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 经检验，所有解均是方程的根， ∴，. 16．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程通过因式分解可以把它转化，解方程和，可得方程的解． 问题： (1)方程的解是，______，______； (2)求方程的解； (3)拓展：解方程：时，可以用“换元法”转化．设，则有，原方程可化为：．将解方程的过程补充完整，求出的值． 【答案】(1)3，（或，3） (2)，， (3)， 【分析】（1）先提公因式，然后进行因式分解，计算求解即可； （2）先提公因式，然后进行因式分解，计算求解即可； （3）因式分解法解，可求（舍去），则，配方法解方程得，，，然后根据二次根式有意义的条件检验即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得，，，， 故答案为：3，； （2）解：， ， ∴， ∴， 解得，，，； （3）解：， 设，则， ∴原方程可化为：， ， 解得，（舍去）， ∴，即， ∴， ∴， 解得，，， 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； ∴方程的解为，． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，换元法解一元二次方程，配方法解一元二次方程，二次根式有意义的条件等知识．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，换元法解一元二次方程，配方法解一元二次方程，二次根式有意义的条件是解题的关键． 17．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得所以，， 所以，因为，所以． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x、y，满足，求的值； (2)已知的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足，求斜边的长度． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，勾股定理，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （1）利用换元法解方程即可解决问题； （2）利用换元法解方程可得． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为， 解得， ， ， ； （2）解：设， 则原方程可变为， 即， 解得，， ， ， ， 即斜边的长度为． 题型5 配方法的应用 【用配方法解多元方程】用配方法将条件式变形为两个完全平方和的形式，再利用“两个非负数之和为0，则两者均为0”这个结论解题.例 【利用配方法求代数式的最值】先把多项式配方成的形式.若a＞0，则代数式有最小值；若a＜0，则代数式有最大值. 【用配方法比较大小】比较两个多项式的大小时，一般运用作差法，再利用配方法确定差的正负.例如，比较两个多项式A，B的大小可以运用作差法.若A-B＞0，则A＞B；若A-B＜0，则A＜B；若A-B=0，则A=B. 18．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查解三元一次方程组、配方法的应用．解方程组转化为只含的代数式，利用配方法求最值，是解题的关键．用含的式子表示出，将转化为只含的代数式，利用配方法，求出最值即可． 【详解】解：， ，得，则③， ，得，则④， 把③④代入得， ； ∵， ∴的最小值是14， 故答案为：14． 19．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知实数a，b满足：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平方的非负性和算术平方根的非负性，配方法的应用，将原方程配成平方和等于0的形式是解题的关键．先配成平方和等于0的性质，再利用平方和算术平方根的非负性得出和，然后再代入分式求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴且 ∴，即，， ∴， 故答案为： 20．（24-25九年级上·北京·阶段练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，配方法的应用，解一元一次方程等知识点，对原不等式进行适当变形并利用完全平方数的非负性是解题的关键． 利用已知条件将原不等式化为，于是可得，利用完全平方数的非负性可得，于是得解． 【详解】解：不等式可化为， ， ， 不等式可化为， 当时，不等式恒成立， 即：， ， 当且仅当，即时取等号， ， ， 故答案为：． 21．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】【应用】（1）36，6；（2），最小值【探究】，见解析 【分析】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征求解． （2）先配方，再求最小值． 探究：作差后配方比较大小． 【详解】应用：（1）∵ 故答案为：36，6． （2） ∵， ∴当时，原式有最小值． 【探究】因为，， ； 因为， 所以， 所以， 即． 22．（24-25九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等． 例：求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3． 【方法应用】 （1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值． 【问题迁移】 （2）若，求，． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题考查了配方法的应用，解题关键是熟练掌握配方法，根据题目给出的方法进行求解； （1）按照例题给出的方法计算即可； （2）按照题目给出的方法配方，再根据非负数的性质求出字母的值即可； （3）根据“勾系一元二次方程”的定义得出一元二次方程各系数的关系，再利用配方法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 的最小值为； （2）， ， ， ， ，， ，， ，； （3）由（1）的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根， ， ， ，， ， ∴， ∴， ∴（负值舍去），， 四边形的周长为． 题型6 根据判别式判断一元二次方程根的情况 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1）方程有两个不相等的实数根:； 2）方程有两个相等的实数根：； 3）方程没有实数根. 23．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查根据一次函数图象所过象限，求参数的范围，根的判别式，根据直线不经过第二象限，得到，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ∴， 当时，方程化为，解得，有1个实数根； 当时，方程为一元二次方程，， ∴方程有2个不相等的实数根； 故答案为：1或2 24．（2025·河南焦作·二模）定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不等实数根 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，理解新定义的运算，得出方程是解题的关键． 先利用新定义得到，再把方程化为一般式，进而判断判别式的符号，求解即可． 【详解】解：∵， ， 即， ∵ ∴ ∴方程有两个不等实数根， 故答案为：有两个不等实数根． 25．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数满足方程，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程，令，则原式为，解方程即可解答，注意方程无实数根的情况是解题的关键． 【详解】解：令， 则原式为， 解得， 当时，，方程有实数根， 当时，，方程没有实数根， ， 故答案为：3． 26．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的一个根为2，求方程的另一个根； (2)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，掌握的方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）将代入方程，求出，化简原方程可得，再根据因式分解法解二元一次方程即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得到，再根据平方的非负性，即可证明结论． 【详解】（1）解：将代入方程，得：，解得：． 当时，方程为， ， ，， ∴方程的另一个根是． （2）证明：∵在中，， ， ， ， ， ∴不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 题型7 根据一元二次方程根的情况求参数 前提条件：已知方程是一元二次方程（二次项系数不为0）. 1）有根Δ≥ 0; 2）有两个不等根Δ＞0; 3）有两个相等根Δ= 0; 4）无实数根Δ＜0. 27．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知关于x的一元二次方程有两个同正的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握相关知识点是解题关键．根据一元二次方程有两个同正的实数根，利用一元二次方程根的判别式以及根和系数的关系，得到，，，求出m的取值范围即可． 【详解】解：一元二次方程有两个的实数根， ， ， 两个实数根同正， ，， ， m的取值范围是是． 28．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为， 故答案为：． 29．（2025·江西抚州·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根之积为正数，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，一元二次方程的判别式，根与系数的关系，结合题意，得出，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：记关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根之积为正数， ∴， 即，， ∴， 故答案为：． 题型8 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则有：+＝，＝.特别地，如果方程的两个根为，则有+＝， ＝ 30．（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，由一元二次方程的解的定义可得，由根与系数的关系可得，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：D． 31．（24-25九年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．首先根据根的判别式求得m的取值范围，然后由根与系数的关系来求m的值． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ， 解得， ，是方程的两个实数根， ， 又， ， 即， 解得，或， 又， 的值是. 故答案为： 32．（24-25九年级下·全国·假期作业）若一元二次方程的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理，解题关键是一元二次方程的根与系数的关系为，．根据直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，可直接设出，，根据一元二次方程根与系数的关系、勾股定理求解即可． 【详解】解：设两条直角边的长分别是，， 则，， ， 直角三角形斜边的长是， 这个直角三角形的周长为：． 故答案为：． 33．（23-24九年级上·四川南充·期中）已知是一元二次方程的两个实数根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，，可知，然后化简代入求值． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，， ，， ． 34．（24-25九年级下·福建南平·期中）已知实数m、n满足，，且． (1)试说明的值恒为正数； (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知根与系数的关系和根的判别式是解题的关键． （1）根据题意可得实数m、n可以看做是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再证明，根据（1）所证明的结论可得，则，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵实数m、n满足，，且， ∴实数m、n可以看做是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴的值恒为正数； （2）证明：由（1）可得实数m、n可以看做是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即． 题型9 根的判别式、根与系数的关系综合 35．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，该方程有两个实数根？ (2)若边长为的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理的应用； （1）根据，再建立不等式求解即可； （2）设方程的两根分别为、，由根与系数的关系得：，结合菱形的边长为，两条对角线的长为，满足，即：，再建立方程求解并检验即可． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， ， 解之得：． 当时，方程有两个实数根； （2）解：设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得：， 由题意可知：菱形的边长为，两条对角线的长为， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴其半对角线长与边长构成直角三角形， ∴， 即， ， 解之得：或． ，， ，， 当时，，． 当时，， 不合题意，舍去， 又由（1）知：， ． 36．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 【答案】(1)此方程总有两个实数根，见解析 (2)0 (3)0 【分析】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． （1）由根的判别式即可知； （2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案； （3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得． 【详解】（1）解：此方程总有两个实数根． 理由：， 不论为何值，， 此方程总有两个实数根． （2）解：设方程的两个根为， 则，． 此方程的两个实数根都是整数， 的值为， 符合条件的整数的值的和为0． （3）解：是方程的两个实数根， ，， ，， 以上两式相加，可得， 即． 题型10 已知两根满足的关系求参数/代数式的值 37．（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不存在这样的实数k．理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点． （1）根据一元二次方程的根的判别式即可得； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入化简可得，据此求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：方程的根的判别式， 解得； （2）解：不存在，理由如下， 由一元二次方程根与系数的关系得：，， 则， ， ， ， ∵， ∴， ∴． ∵（不符题意，舍去）， 故不存在这样的实数k． 38．（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，， 再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，且 ∴且； （2）由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 39．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于x的方程 (1)说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； (2)若该方程的两根分别是，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数以及根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）先计算判别式得到，根据非负数的性质得，然后根据判别式的意义即可得到方程总有两个实数根； （2）根据，再结合，得出，代入原方程进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ∴此方程总有两个实数根； （2）解：方程的两根分别是， ①． ②， ∴由，得， ． 将代入原方程，得， 解得：． 40．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 【答案】(1)， (2)有两个相等的实数根 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解一元二次方程，根与系数的关系，勾股定理： （1）根据等边三角形的性质可得，原方程变形为，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴方程变为，即：， 解得：，； （2）解：∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 41．（2025·四川南充·一模）关于的方程为，其中为实数． (1)判断方程根的情况，并说明理由． (2)当原方程的两根满足时，求的值． 【答案】(1)方程总有两个不相等的实数根．理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得到，再根据已知条件得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）方程总有两个不相等的实数根． 理由： 原方程为一元二次方程． 方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根系关系，得． ， ． 配方，得． 整理，得 解得，或． 42．（24-25九年级下·全国·假期作业）关于的一元二次方程的有两个实数根为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及绝对值，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：因为关于的一元二次方程的有两个实数根， 所以，且， 解得， 所以的取值范围是． （2）解：因为关于的一元二次方程的两个实数根为，， 所以． 又因为， 所以， 则， 所以， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 所以的值为8． 题型11 构造一元二次方程求解 1）同形式构造，即已知为一元二次方程的两根 2）韦达定理构造，即已知为一元二次方程的两根. 43．（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 【答案】(1) (2)-1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． 由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； 把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 故答案为：． （2）解：把两边同时除以，得 ． 又， 实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 44．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）阅读下面的材料： 材料一：和3是方程的解． ； 材料二：如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根． 问题解决： (1)若两个不同的实数、满足，，求的值； (2)已知实数，，满足，，且，求的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义． （1）根据、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （2）将、看作是方程的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：∵，实数、满足， ∴、可看作方程的两根， ， ∴． （2）解：∵、， ∴将看作是方程得两实数根； ， 而， ， ∴，即， ∴的最大值为2． 45．（2025·福建三明·一模）已知实数、、，且满足，． (1)求证：的值是定值； (2)若，同号，求的取值范围； (3)当、同号时，设，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，，为关于的方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可求解； （2）由（1）的一元二次方程根与系数的关系得，由，同号，解得：，再根据方程有两个不相等的实数根得到，解得，由此即可求解； （3）由（1）、（2）得，，得出，确定，然后结合（2）中结果确定取值范围即可． 【详解】（1）证明：，， ，为关于的方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，， 的值为定值． （2）解：由（1）得， ，同号， ， 解得：， 又， ， ． （3）由（1）、（2）得，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，即． 题型12 根据一元二次方程解的范围求参数 利用一元二次方程根与系数的关系确定方程中字母的取值范围时，首先要由△>0(或△≥0)及方程中根的分布情况建立关于字母系数的不等式组，然后对条件进行等价变形与转化，最后通过解方程组求解. 46．（23-24九年级上·北京东城·期中）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． 【详解】（1）证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根． （2）解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 47．（24-25九年级上·河南信阳·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根． (2)若原方程的两个实数根一个小于4，另一个大于5，求m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根；同时考查了因式分解法解一元二次方程及解一元一次不等式，掌握基础知识是解本题的关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明即可： （2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个小于4，另一个大于5，列出不等式，求出的取值范围． 【详解】（1）证明： ， 是非负数， ． 无论取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， 由方程两个实数根一个小于4，另一个大于5， 则有 ， 解得， 即的取值范围是． 48．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围． (1)两个根的平方和为12； (2)两个根均大于； (3)． 【答案】(1)或2 (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再代入，进行解方程，即可作答． （2）先得出，再结合一元二次方程两个根均大于2，则，即可作答． （3）先得出，再因为，解得：， ，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12， ∴， ∴， 解得或2， （2）解：∵一元二次方程， ∴ ∴方程总有两个不相等的实数根， ∵一元二次方程两个根均大于2， ∴且 即 而 且 解得： 综上 （3）解：， 则 解得： 整理得： ∴． 49．（23-24九年级上·福建三明·期中）已知关于的方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根大于，另一根小于，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式及根与系数的关系； （1）先求出的值，再根据根的情况与判别式的关系即可得出答案； （2）当两根一个大于1一个小于1时，得到方程有两个不相等的实数根,其两根与1的差的积小于零，列出不等式，解之即可． 【详解】（1）解：证明：∵ ， ∵， ∴，即， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根为，， 则：，， ∵方程有一个根大于1，另一根小于1， ∴， ∴， 即， 解得． 50．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根大于2，另一根小于2，求a的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）先求出的值，再根据根的情况与判别式的关系即可得出答案； （2）当两根一个大于2一个小于2时，得到方程有两个不相等的实数根其两根与2的差的积小于零，列出不等式，解之即可． 【详解】（1）解：证明： ， ∵， ∴，即， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根为，， 则：，， ∵方程有一个根大于2，另一根小于2， ∴， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理． 题型13 实际问题与一元二次方程 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义； 答：实际问题的答案. 51．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售． 【答案】(1) (2)①每千克核桃应降价或元；② 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键； （1）设该专卖店核桃销售量的月增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （2）①设每千克核桃应降价元，根据题意列出方程，解方程，即可求解； ②设该店应按原售价的折销售，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该专卖店核桃销售量的月增长率为，根据题意得， 解得：或（舍去） 答：该专卖店核桃销售量的月增长率为； （2）解：①设每千克核桃应降价元，则售价为元，利润为元，销量为千克根据题意得， 解得： 答：每千克核桃应降价或元； ②设该店应按原售价的折销售，根据题意得，在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，则售价为元， ∴ 解得： 故答案为：． 52．（2025·重庆·模拟预测）2025年1月16日，中国羽毛球协会与重庆大学举行共建羽毛球中心合作签约仪式，将共建西南地区首个羽毛球中心，这一举措不仅能培养出羽毛球精英人才，也有力地促进了重庆的羽毛球经济发展．某体育用品店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，已知每副A种球拍的进价比每副种球拍的进价贵20元，且购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的． (1)求两种羽毛球拍每副的进价； (2)这批羽毛球拍很快被一抢而空，该店计划再购进一批羽毛球拍，此时每副A种球拍的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了副；每副种球拍的进价上涨了元，购进种球拍的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值． 【答案】(1)种羽毛球拍每副的进价为70元，种羽毛球拍每副的进价为50元 (2)5 【分析】此题主要考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等式是解题关键． （1）设A种羽毛球拍每副的进价为元，则种羽毛球拍每副的进价为元，利用文具店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的，列出方程求出答案； （2）根据总花费元，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：设A种羽毛球拍每副的进价为元，则种羽毛球拍每副的进价为元， 由题意得，解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：种羽毛球拍每副的进价为70元，种羽毛球拍每副的进价为50元； （2）解：第一次购进种羽毛球拍（副）， 第一次购进种羽毛球拍（副）， 根据题意可得， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）， 则， 答：的值为5． 53．（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 54．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒的速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动． (1)经过多少时间时，四边形为矩形； (2)经过多少时间时，四边形的面积为； (3)经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是． 【答案】(1)当时，四边形为矩形； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 依题意得：， 解得：． 答：当时，四边形为矩形； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）解：过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 题型14 与一元二次方程有关的新定义问题 55．（24-25九年级上·江苏常州·期中） 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根为x1 ，x2，那么以这两个根的倒数，为根的一元二次方程称为原方程的倒根方程． 应用： (1)通过计算，判断方程②是不是方程①的倒根方程： ①， ②， (2)请求出一元二次方程的倒根方程． 【答案】(1)方程②是方程①的倒根方程 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，以及题目所给倒根方程的定义． （1）分别求出两个方程的解，根据倒根方程的定义进行判断即可； （2）先求出的根，再求出其根的倒数，最后根据倒根方程的定义即可解答． 【详解】（1）解：①， ， ， ， ②， ， ， ． ∴方程②是方程①的倒根方程； （2）解：， ， ， ， ∴，， ∴方程的倒根方程为， 整理得：． 56．（24-25八年级下·浙江·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； (2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“C方程”，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，理解“C方程”的定义是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据“C方程”定义即可判断； （2）根据“C方程”定义，得到，利用配方法，非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：是“C方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， 解得：， ∵， ∴一元二次方程是“C方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“C方程”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 57．（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． (1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）； (2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； (3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值． 【答案】(1) (2)420 (3)1；3；6；10 【分析】本题主要考查了平方根、平方差公式、一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用平方根的知识估算即可解答； （2）设，k、m为正整数，易得，由1只有因数1和41，可列方程组求得，最后代入即可求得n的值； （3）关于的一元二次方程至少有一个整数解，根据根的判别式可得，则，由方程的解为正整数，为整数，设，则，解得：，设可得，然后代入验证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的值为． （2）解：设，k、m为正整数， ∴， ∴， ∵41只有因数1和41， ∴，解得：， ∵， ∴． （3）解：∵关于的一元二次方程至少有一个整数解， ∴恒成立，即， ∴， ∵因为方程至少有一个整数解且a是正整数， ∴或为整数， 设(k为非负整数)，则，解得：， ∵a为正整数， ∴k为正奇数，且， 设（为正整数），则， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，，不符合题意； ， 当时，，此时，，都不是整数； ∴满足题意的正整数的值是：1；3；6；10． 题型15 与一元二次方程有关的阅读材料类问题 58．（23-24八年级下·河北保定·期末）悦悦在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是悦悦给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称． 请结合悦悦的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称；多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求n的值； (3)若整式关于对称，求实数a的值． 【答案】(1)1； (2) (3) 【分析】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）依据题意，读懂题目，仅需配方即可得解； （2）依据题意，由多项式，又多项式关于对称，从而可以得解； （3）依据题意，由，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，∵， ∴多项式关于对称． ∵， ∴多项式关于对称． 故答案为：1；． （2）解：由题意，多项式， ∴多项式关于对称． 又多项式关于对称． ， ． （3）解：由题意：得 ， ∴关于对称． 又∵关于对称， ． 59．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程时，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把复杂转化为简单．运用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为：，解方程和，可得方程的解为，，， (1)解方程； (2)拓展：解方程组． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查解一元三次方程和二元二次方程组，熟练掌握因式分解法解方程，消元法解方程组，是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）将②变形后，代入①中，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴； （2）， 由②，得：③， 把③代入①，得：，解得：， 当时：； 当时，； ∴方程组的解为：或． 60．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式 我们把形如（是常数，）的多项式叫做关于的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程的两个实数根为，，直接计算：． 下面是代数推理过程： 解： 即． 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式． 任务： (1)已知是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，则二次三项式分解因式的结果是__________； (2)因式分解：的结果是__________； (3)请用阅读内容中的方法，因式分解：； (4)通过阅读上述代数推理过程，请直接写出一个你发现的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)答案不唯一，见解析 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程及根与系数的关系． （1）读懂题目根据题意写出因式分解即可得到答案； （2）读懂题目根据题意先解一元二次方程，在结合题意分解因式即可得到答案； （3）读懂题目根据题意写出因式分解即可得到答案； （4）根据题意结合因式分解即可得到根与系数的关系． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）由题意可得， 解得，，， ∴， 故答案为：； （3）由题意可得， 解得， ， ∴，， ∴； （4）∵， ∴， ∴一元二次方程（）的两个实数根为，则； 一元二次方程（）的两个实数根为，则等等． 61．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． 【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【实践】小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为（____________）； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程； 【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________． 【答案】（1）【理解】B；（2）【实践】，见解析；（3）【应用】1 【分析】本题考查了用图形法解一元二次方程，理解题意，构造出适当的图形是解题的关键． 【理解】利用图形求解方程的过程是数形结合思想的应用，从而右确定答案； 【实践】按照题干材料中的步骤进行即可； 【应用】按照题干材料中的步骤进行即可． 【详解】解：【理解】从解题过程知，用到了数形结合思想； 故选：B． 【实践】第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图所示， 则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为1的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． 故答案为：； 【应用】第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图2所示， 则图2中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为a的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以， 由于中间正方形的边长为a，其面积为，则， 即， ∴． 故答案为：1． 62．（24-25九年级上·福建厦门·期中）阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数．其“快乐数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为_________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若有另一个“快乐方程”的“快乐数”．且满足，则称与互为“开心数”．若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 【答案】(1) (2)， (3)n的值为0或3 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【详解】（1）解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优04 一元二次方程 题型1 根据一元二次方程的定义求参数 一元二次方程必须同时具备以下三个条件： 1）一元，是指方程中只含有一个未知数.若含有其它字母，必须说明它们是常数. 2）二次，是指方程化简后未知数的最高次数是2. 3）整式方程，是指未知数不可以在分母上. 1．（23-24九年级上·广东江门·期中）把方程化成一般形式是 ，其中 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）关于x的一元二次方程中不含x的一次项，则此方程的解为 ． 3．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 4．（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，该方程是一元二次方程？ (2)当m为何值时，该方程是一元一次方程？ (3)若该方程有一个根是，求此时m的值． 5．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程，其中满足，求这个一元二次方程． 题型2 根据一元二次方程的解求参数或代数式的值 根据方程根的定义，将方程的根代入原方程求解，从而确定某些字母的取值或求出给定代数式的值. 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为 ． 7．（2025·吉林长春·三模）若a是方程的一个根，则的值为 ． 8．（2025·四川资阳·三模）已知为方程的根，则 ． 9．（2025·浙江台州·二模）已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 ． 10．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知是方程的两根 (1)求的值 (2)求的值． 题型3 选择合适的方法解一元二次方程 选择一元二次方程解法的技巧 1)选择顺序:直接开方法→_________________→公式法→配方法 2)若方程为型时，用_________________ 3)若方程右边为0，而左边易于分解成两个一次因式的积时，可用_________________ 4)若方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，可用_________________ 5)若用直接开平方法和因式分解法不能求解时，可用_________________ 11．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 12．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型4 利用整体换元法解一元二次方程 在一个式子中要善于观察几个式子的关系，有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数的，可以用整体换元法，实现降次的目的. 13．（2025九年级上·全国·专题练习）请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 14．（24-25九年级上·广东中山·期中）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 15．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； (2)利用换元法解方程：． 16．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程通过因式分解可以把它转化，解方程和，可得方程的解． 问题： (1)方程的解是，______，______； (2)求方程的解； (3)拓展：解方程：时，可以用“换元法”转化．设，则有，原方程可化为：．将解方程的过程补充完整，求出的值． 17．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得所以，， 所以，因为，所以． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x、y，满足，求的值； (2)已知的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足，求斜边的长度． 题型5 配方法的应用 【用配方法解多元方程】用配方法将条件式变形为两个完全平方和的形式，再利用“两个非负数之和为0，则两者均为0”这个结论解题.例 【利用配方法求代数式的最值】先把多项式配方成的形式.若a＞0，则代数式有最小值；若a＜0，则代数式有最大值. 【用配方法比较大小】比较两个多项式的大小时，一般运用作差法，再利用配方法确定差的正负.例如，比较两个多项式A，B的大小可以运用作差法.若A-B＞0，则A＞B；若A-B＜0，则A＜B；若A-B=0，则A=B. 18．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为 ． 19．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知实数a，b满足：，则 ． 20．（24-25九年级上·北京·阶段练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 21．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 22．（24-25九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等． 例：求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3． 【方法应用】 （1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值． 【问题迁移】 （2）若，求，． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长． 题型6 根据判别式判断一元二次方程根的情况 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1）方程有两个不相等的实数根:； 2）方程有两个相等的实数根：； 3）方程没有实数根. 23．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ． 24．（2025·河南焦作·二模）定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是 ． 25．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数满足方程，则的值是 ． 26．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的一个根为2，求方程的另一个根； (2)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 题型7 根据一元二次方程根的情况求参数 前提条件：已知方程是一元二次方程（二次项系数不为0）. 1）有根Δ≥ 0; 2）有两个不等根Δ＞0; 3）有两个相等根Δ= 0; 4）无实数根Δ＜0. 27．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知关于x的一元二次方程有两个同正的实数根，则m的取值范围是 ． 28．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ． 29．（2025·江西抚州·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根之积为正数，则实数m的取值范围是 ． 题型8 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则有：+＝，＝.特别地，如果方程的两个根为，则有+＝， ＝ 30．（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 31．（24-25九年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 32．（24-25九年级下·全国·假期作业）若一元二次方程的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的周长为 ． 33．（23-24九年级上·四川南充·期中）已知是一元二次方程的两个实数根，求的值． 34．（24-25九年级下·福建南平·期中）已知实数m、n满足，，且． (1)试说明的值恒为正数； (2)求证： 题型9 根的判别式、根与系数的关系综合 35．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，该方程有两个实数根？ (2)若边长为的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值． 36．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 题型10 已知两根满足的关系求参数/代数式的值 37．（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 38．（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 39．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于x的方程 (1)说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； (2)若该方程的两根分别是，且，求k的值． 40．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 41．（2025·四川南充·一模）关于的方程为，其中为实数． (1)判断方程根的情况，并说明理由． (2)当原方程的两根满足时，求的值． 42．（24-25九年级下·全国·假期作业）关于的一元二次方程的有两个实数根为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 题型11 构造一元二次方程求解 1）同形式构造，即已知为一元二次方程的两根 2）韦达定理构造，即已知为一元二次方程的两根. 43．（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 44．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）阅读下面的材料： 材料一：和3是方程的解． ； 材料二：如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根． 问题解决： (1)若两个不同的实数、满足，，求的值； (2)已知实数，，满足，，且，求的最大值． 45．（2025·福建三明·一模）已知实数、、，且满足，． (1)求证：的值是定值； (2)若，同号，求的取值范围； (3)当、同号时，设，求的取值范围． 题型12 根据一元二次方程解的范围求参数 利用一元二次方程根与系数的关系确定方程中字母的取值范围时，首先要由△>0(或△≥0)及方程中根的分布情况建立关于字母系数的不等式组，然后对条件进行等价变形与转化，最后通过解方程组求解. 46．（23-24九年级上·北京东城·期中）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 47．（24-25九年级上·河南信阳·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根． (2)若原方程的两个实数根一个小于4，另一个大于5，求m的取值范围． 48．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围． (1)两个根的平方和为12； (2)两个根均大于； (3)． 49．（23-24九年级上·福建三明·期中）已知关于的方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根大于，另一根小于，求的取值范围． 50．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根大于2，另一根小于2，求a的取值范围． 题型13 实际问题与一元二次方程 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义； 答：实际问题的答案. 51．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售． 52．（2025·重庆·模拟预测）2025年1月16日，中国羽毛球协会与重庆大学举行共建羽毛球中心合作签约仪式，将共建西南地区首个羽毛球中心，这一举措不仅能培养出羽毛球精英人才，也有力地促进了重庆的羽毛球经济发展．某体育用品店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，已知每副A种球拍的进价比每副种球拍的进价贵20元，且购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的． (1)求两种羽毛球拍每副的进价； (2)这批羽毛球拍很快被一抢而空，该店计划再购进一批羽毛球拍，此时每副A种球拍的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了副；每副种球拍的进价上涨了元，购进种球拍的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值． 53．（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 54．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒的速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动． (1)经过多少时间时，四边形为矩形； (2)经过多少时间时，四边形的面积为； (3)经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是． 题型14 与一元二次方程有关的新定义问题 55．（24-25九年级上·江苏常州·期中） 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根为x1 ，x2，那么以这两个根的倒数，为根的一元二次方程称为原方程的倒根方程． 应用： (1)通过计算，判断方程②是不是方程①的倒根方程： ①， ②， (2)请求出一元二次方程的倒根方程． 56．（24-25八年级下·浙江·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； (2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 57．（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． (1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）； (2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； (3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值． 题型15 与一元二次方程有关的阅读材料类问题 58．（23-24八年级下·河北保定·期末）悦悦在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是悦悦给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称． 请结合悦悦的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称；多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求n的值； (3)若整式关于对称，求实数a的值． 59．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程时，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把复杂转化为简单．运用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为：，解方程和，可得方程的解为，，， (1)解方程； (2)拓展：解方程组． 60．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式 我们把形如（是常数，）的多项式叫做关于的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程的两个实数根为，，直接计算：． 下面是代数推理过程： 解： 即． 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式． 任务： (1)已知是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，则二次三项式分解因式的结果是__________； (2)因式分解：的结果是__________； (3)请用阅读内容中的方法，因式分解：； (4)通过阅读上述代数推理过程，请直接写出一个你发现的结论． 61．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． 【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【实践】小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为（____________）； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程； 【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________． 62．（24-25九年级上·福建厦门·期中）阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数．其“快乐数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为_________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若有另一个“快乐方程”的“快乐数”．且满足，则称与互为“开心数”．若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $