专题03 实际问题与一元二次方程（专项训练）数学人教版五四制八年级下册

专题03 实际问题与一元二次方程 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用一元二次方程解决增长率问题 1 题型二、用一元二次方程解决传播问题 5 题型三、用一元二次方程解决营销问题 9 题型四、用一元二次方程解决动态几何问题 13 题型五、用一元二次方程解决与图形有关的问题 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用一元二次方程解决增长率问题 1．为了加强学生体育运动，某中学计划购进篮球和排球两种球（两种球都需要买），每个排球的售价是50元，每个篮球的售价是40元，由于商场促销，篮球的售价经两次调价后调至每个32.4元，每个排球的售价不变． (1)若该商场篮球两次调价的降价率相同，求篮球的降价率； (2)学校现计划购买篮球和排球两种球共20个，篮球按调价后的价格进行购买，且购买篮球的数量不多于排球的数量，设购买篮球a个，购买两种球所需费用为w元，请给学校一种购买费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1) (2)最省钱的方案为买篮球10个，排球10个，所需费用824元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题关键是找准数量关系，正确列出方程和不等式． （1）设该商场篮球两次调价的降价率为，则，再解方程即可； （2）设购买篮球a个，则购买足球总数为个，根据题意列不等式，求得，设购买篮球和足球的费用为元，再由题意列出关于a的一次函数，根据一次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：设该商场篮球两次调价的降价率为，则 ， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：篮球的降价率为. （2）解：设购买篮球a个，则购买排球数为个， 依题意，得：， 解得：， 设购买篮球和排球的费用为元， 由题意得：， ∵随的增大而减小， ∴当时，的值最小， 此时，， 答：费用最少的购买方案为购买篮球个、排球个，所需费用为元． 2．某苹果园种植一种优质苹果，随着果树的成长，该苹果园的总产量从年的吨增加到年的吨． (1)求这个苹果园总产量平均每年增产的百分率； (2)若平均每年增产的百分率率不变，年该苹果园的总产量能突破吨吗?请说明理由． 【答案】(1)这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是； (2)能，理由见解析． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据苹果园两年的产量列一元二次方程求出平均增长率，根据平均增长率计算出年果园的总产量． 设这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是，可列方程，解方程可得这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是； 根据平均增长率计算出年该苹果园的总产量，根据计算结果进行判断即可． 【详解】（1）解：设这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是； （2）解：年该苹果园的总产量能突破吨， 理由如下： 吨， ， 年该苹果园的总产量能突破吨． 3．靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同． (1)请问每次降价的百分率为多少？ (2)朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？ 【答案】(1) (2)120盒 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为x，根据原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，建立方程求解即可； （2）设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了盒，根据利润不低于2000元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）解：设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了盒， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为120， 答：至少需要在促销活动开始前卖出120盒． 4．为了解决初中生画图慢和画图不准的问题，杨老师设计了初中专用套尺，申请了国家专利并投入生产使用．前年生产成本为15万元，今年生产成本达到21.6万元． (1)如果平均每年成本的增长率相同，求这个增长率． (2)投入市场后，每套定价为30元，同时推出两种销售方式： ①每套均按定价的九折销售； ②购买不超过100套时按原价销售，超出100套的部分打八折销售． 某文具店计划购进一批这种初中专用套尺，请你帮文具店分析一下应该选择何种方式购买更优惠． 【答案】(1) (2)该文具店购进这批初中专用套尺的数量小于200套时，选第①种方式更优惠；等于200套时，选第①②种方式都可以；大于200套时，选第②种方式更优惠． 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用一次函数和不等式解决实际问题，找准等量关系，正确的列出一次函数和不等式是解题的关键． （1）依题意，设每年增长率为，根据前年成本为15万元，今年成本达到了万，列式，再解出的值，即可作答． （2）设该文具店购进这批初中专用套尺的数量为套，分别求出方案①花费钱数；方案②花费钱数，比较不同的求值范围，比较销售的总价格大小，即可得出结论. 【详解】（1）解：设每年增长率为，由题意可得： ，即， 解得，（舍去）． 答：每年生产成本的增长率为． （2）设该文具店购进这批初中专用套尺的数量为套， 则方案①花费钱数，即； 方案②花费钱数分两种情况， 当时，； 当时，，即， 当时，，选第①种方式更优惠； 当时，若，解得， ∴当时，选第①②两种方式都可以． 若，解得，选第②种方式更优惠； 若，解得，选第①种方式更优惠． 答：该文具店购进这批初中专用套尺的数量小于200套时，选第①种方式更优惠；等于200套时，选第①②种方式都可以；大于200套时，选第②种方式更优惠． 5．随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． (1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率； (2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？ 【答案】(1)该公司新能源汽车销量的月平均增长率为； (2)不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务；至少需要增加4名员工． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出5月份的任务量是解题关键． （1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，列出方程求解即可； （2）首先求出4月份的销量，进而得出25名负责交付的员工能完成的任务，再利用每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务，即可得出需要的人数． 【详解】（1）解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x， 根据题意得 ， 解得：（不合题意舍去）． 答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为； （2）∵每月新能源汽车销量的增长率相同， ∴四月份的新能源汽车销量为：， ∵每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务，现有25名负责交付的员工， ∴， ∴不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务； ∴需要增加员工（名）， 即至少需要增加4名员工． 题型二、用一元二次方程解决传播问题 6．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)经过三轮传染后共有人会患流感 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意得： ， ，（不合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）（人）， 答：经过三轮传染后共有人会患流感． 7．有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感． (1)每轮传染中平均一人传染了几人？ (2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染9个人 (2)1000人 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有100人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：，即： 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 答：每轮传染中平均一个人传染9个人． （2）第一轮的患病人数为：人， 第二轮的患病人数为：人， 则，第三轮的患病人数为：人． 8．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【答案】(1)7，13，21 (2) (3)10个 【知识点】含乘方的有理数混合运算、列代数式、传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）由题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． 9．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次； (2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数； (3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论； (4)小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值． 【答案】(1)3；10； (2)8人 (3) (4)10 【知识点】列代数式、传播问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；根据各数量之间的关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）将线段数当成人握手次数来解决问题,（4）根据题意列出方程求解即可． （1）由握手总数=参加聚会的人数参加聚会的人数，即可求出结论；由参加聚会的人数为n（n为正整数），可知每人需跟人握手，即可求出握手总数； （2）由（1）的结论结合共握手28次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）将线段数当成人握手次数，结合（1）即可得出结论． （4）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：，． 解：∵参加聚会的人数为n（n为正整数）， ∴每人需跟人握手， ∴共握手次． 故答案为：3；10； （2）解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：参加聚会的人数为8人． （3）解：∵线段上共有m个点（不含端点A，B）， ∴可当成共有个人握手， ∴线段总数为． （4）解：根据题意得，， 解得．即边数n的值为10． 10．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 题型三、用一元二次方程解决营销问题 11．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价2元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为，由题意得： 解得：（舍） 答：日平均增长率为 （2）解：设每个玩偶降价元，由题意得： 解得：（舍） 答：每个玩偶降价2元 12．某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2022年每辆汽车的日租金为100元，到2024年每辆汽车的日租金上涨到144元． (1)求2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率． (2)经市场调研发现，从2024年开始，当每辆汽车的日租金定为144元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆． ①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出_______辆车．（均用含x的代数式表示） ②已知该汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用34元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达27400元？（日收益=总租金-各类费用） 【答案】(1) (2)①；；②元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，理解题意是解题关键． （1）设平均增长率为，根据题意列出方程求解即可； （2）①根据题意列出代数式即可； ②利用日收益==总租金−-各类费用，可列出一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设平均增长率为，则， ，（舍）． ∴平均增长率为； （2）①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为元，实际能租出辆车， 故答案为：；； ②， ，（舍）， ∴每辆汽车的日租金上涨70元． 13．米小圈等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.3倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多14个．购买哪吒手办共需22100元，敖丙手办共需10000元． (1)求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？ (2)经由米小圈的争取，商家同意哪吒手办的单价降低3m元，敖丙手办的单价降低元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了2个，最终总费用比原计划多了1000元，求的值． 【答案】(1)哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元； (2)的值为 【知识点】分式方程的经济问题、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）由（1）得出计划购买敖丙手办个，哪吒手办个，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意得， 解得： 经检验是原方程的解，且符合题意， （元） 答：哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元； （2）解：由（1）可得计划购买敖丙手办个，哪吒手办个 据题意得， 解得：或（舍去） 答：的值为 14．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件25元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件40元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该件吉祥物每降价1元，月销售量就会在6月的销量基础上增加5件．当该件吉祥物降价多少元时，月销售利润达4250元． 【答案】(1) (2)5 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，列方程即可； （2）设该件吉祥物降价元，则售价为元，每件的利润为元，销售量为件，列方程即可． 【详解】（1）解：设吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，根据题意得， 解得，，（舍去） ∴该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该件吉祥物降价元，则售价为元，每件的利润为元，销售量为件， 根据题意得，， 解得，，（舍去）， 所以，当该件吉祥物降价5元时，月销售利润达4250元． 15．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元／个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元／个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)①55元；②不能实现，说明见解析 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，根据经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①根据使月销售利润达到11250元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； ②根据使月销售利润达到12500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为55元； ②不能实现，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数根， 不能实现利润为12500元． 题型四、用一元二次方程解决动态几何问题 16．如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，长为？ (2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 【答案】(1)经过2秒或秒； (2)经过1秒或2秒． 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）设经过x秒，MN长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，代入，得到关于x的一元二次方程求解； （2） 设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设经过x秒，长为， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，， 答：经过2秒或秒，长为； （2）设经t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【点睛】本题考查了矩形的性质，四边形的动点问题，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长． 17．如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)1 【知识点】列代数式、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长； （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 18．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得,，则，再由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），； 当秒时，的长度等于； （2）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 即当秒时，使得五边形的面积等于． 19．如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． (1)求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； (2)两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ (3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1)证明见解析 (2)或秒 (3)或或或秒时 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、等腰三角形的定义 【分析】（1）设点移动的时间是，得到，，再由梯形面积公式代值求解得到四边形的面积为定值，即可得证； （2）过点作于点，如图所示，在中，，，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （3）由题意，分三种情况：；；；分别由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：设点移动的时间是， 则， ， 四边形的面积是， 即四边形的面积为定值， 在点移动过程中，四边形的面积始终不变； （2）解：过点作于点，如图所示： ，， 则， 在中，，，若点和点间的距离是，即时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即两点从出发开始到或秒时，点和点间的距离是； （3）解：连接，如图所示： 当点组成的三角形是等腰三角形时，分三种情况： ；；； 当时，过点作于点，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质得到， ， ，即， 解得，即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ，， 在中，，，时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即当两点从出发开始到或秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ， 在中，，时，由勾股定理可得， ， 即，解得， 即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 综上所述，当两点从出发开始到或或或秒时，点组成的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查几何综合，涉及梯形面积公式、矩形性质、勾股定理、等腰三角形的性质、解一元一次方程及解一元二次方程等知识，读懂题意，作出图形，数形结合由勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 20．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值． 【答案】(1)当时的长度能为，理由见解析 (2)的面积能为，理由见解析 (3)， 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）由题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定； （2）设运动秒后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，则，取的中点，连接，则，根据直角三角形的性质可得，再根据两点间的距离公式，可得，解方程即可求得． 【详解】（1）解：的长度能为，理由如下： 根据题意可知：，，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：（舍去）或， 当时的长度能为； （2）解：不能，理由如下： 设运动秒后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ， 即， ， ， 方程无实数根， 的面积不能为； （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，， 的中点为 ， 又，， 取的中点，连接，则， ， ， ， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质，坐标与图形，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解答本题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用． 题型五、用一元二次方程解决与图形有关的问题 21．如图，利用一面长为米的墙，用总长度米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． (1) 米(用含x的代数式表示)； (2)若长方形围栏的面积为平方米，求栅栏的长； (3)长方形栅栏的面积能达到平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)米； (3)长方形栅栏的面积不能达到平方米，理由见解析． 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，根据题意列出一元二次方程是解题的关键； （1）利用的长栅栏的总长度的长，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据长方形围栏的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长米，即可确定结论； （3）假设长方形栅栏的面积能达到平方米，根据长方形围栏的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即长方形栅栏的面积不能达到平方米． 【详解】（1）解：根据题意得：米． 故答案为：； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：栅栏的长为米； （3）长方形栅栏的面积不能达到平方米，理由如下： 假设长方形栅栏的面积能达到平方米， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立， 即长方形栅栏的面积不能达到平方米． 22．综合与实践 项目主题： 劳动基地扩建方案 项目背景： 学校计划扩建一校园花坛，综合实践活动小组以设计“花园扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取：（如图所示） 信息1：原花坛为矩形； 信息2：扩建后的新花坛仍为矩形的长度不能超过的长度不能超过． 问题解决： (1)若扩建后花园的面积为，且，求和的长； (2)当时，扩建后花园的面积可以为吗？请说明理由． 【答案】(1)和的长分别为和； (2)不能，理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题重点考查矩形的性质、一元二次方程的应用等知识，正确地用代数式表示扩建后的新花坛的长和宽是解题的关键． （1）设，则扩建后花园的长为，宽为，于是得，求得符合题意的值为5，则，； （2）设，则，假设扩建后花园的面积为，则，求得，此时，不符合要求，说明扩建后花园的面积不可以为． 【详解】（1）解：设， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， ， ，， ，， 和的长分别为和； （2）解：扩建后花园的面积不可以为， 理由：设，则， 若扩建后花园的面积为，则， 解得，（不符合题意，舍去）， 当时，， ，不符合要求， 扩建后花园的面积不可以为． 23．如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)宽为5米，长为米 (3)不能，理由见解析 【知识点】列代数式、根据判别式判断一元二次方程根的情况、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列出代数式即可． （2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （3）设花圃的一边长为米，则，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为米， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下： 设花圃的一边长为米， 则， 根据题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为平方米． 24．某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的窥度都为米，左右两条纵向道路的察度都为米，中间部分为种植园区．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    (1)若中间种植园区的面积是44800平方米，求道路的宽度； (2)该农户在种植园区种植了草莓，经市场调查，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气情况影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓．若该农户预期一个月的总利润为57.2万元，并且想要让利于顾客，每平方米草莓的平均利润应该下调多少元？ 【答案】(1)道路宽度为10米 (2)每平方米草莓平均利润下调48元 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 25．泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效． (1)如图，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多米，求采茶基地的长和宽； (2)如图，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（）中的采茶基地大小、形状均相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为平方米，求小路的宽度． 【答案】(1)采茶基地的长为米，宽为米； (2)小路的宽度为米． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设采茶基地的宽为米，则长为米，根据面积为平方米列方程，然后解方程并检验即可； （）设小路的宽度为米，根据鲜花的种植面积为平方米列出方程，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设采茶基地的宽为米，则长为米， 根据题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：采茶基地的长为米，宽为米； （2）解：由（）得采茶基地的长为米，采茶基地的宽为米，设小路的宽度为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：小路的宽度为米． 一、单选题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（    ）人 A．2 B．8 C．10 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用-传播问题，根据题意列出方程是解题的关键． 设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意建立方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 第一轮传染后，患病人数为人， 第二轮传染时，每人传染人，新增人，总人数为：， 根据题意，有：， 解得：或（舍去）， 因此，每轮传染中平均一个人传染了人． 故选：B． 2．（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 3．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 4．太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润（售价进价）销量即可列出方程． 【详解】解：设每盒应降价元， ∵商场平均每天可销售老陈醋礼盒100盒，如果降价2元，则每天可多售出20盒， ∴销量为：盒， ∵平均每天盈利2240元， ∴， 故选：B． 二、填空题 5．（24-25八年级下·福建福州·期末）淇淇七年级时的体重是，到九年级时，体重增加到，则她的体重平均每年的增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设她的体重平均每年的增长率为，则她七年级时的体重是，初三时的体重是，根据“到九年级时，体重增加到”列出一元二次方程，解方程即可得到答案，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设她的体重平均每年的增长率为，则她七年级时的体重是，九年级时的体重是， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 她的体重平均每年的增长率为， 故答案为：． 6．某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 【答案】12 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程即可，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这种植物的主根长出x根支根．由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴这种植物的主根长出12根支根． 故答案为：12． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价 元 【答案】20 【详解】设每件衬衫应降价x元．根据题意，得．整理，得，解得．要扩大销售，减少库存，应舍去，．故每件衬衫应降价20元． 8．乡村振兴促进农民增收，李大叔抓住时机，承包了一块边长为的正方形空地进行奶牛养殖，并按如图所示的方式将这片空地划分成三部分：养殖区、挤奶棚和仓库．若挤奶棚和仓库的形状均为正方形（挤奶棚的面积大于仓库的面积），养殖区的面积为，则挤奶棚的边长为 ． 【答案】60 【分析】设挤奶棚边长为米，根据正方形空地边长表示出仓库边长，再依据“挤奶棚面积 + 仓库面积 + 养殖区面积 = 正方形空地面积”这一关系列出方程，求解方程后结合挤奶棚与仓库面积大小关系确定挤奶棚边长．本题主要考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，熟练掌握正方形面积公式以及根据面积关系列方程求解是解题的关键，涉及知识点有正方形面积计算、一元二次方程的建立与求解 ． 【详解】解：设挤奶棚的边长为，则仓库的边长为． 挤奶棚和仓库均为正方形， ∴可列方程为． 整理，得， 解得． 挤奶棚的面积大于仓库的面积， 挤奶棚的边长为． 三、解答题 9．某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【答案】(1)每轮平均1人会传染8人 (2)三轮传染后，患病的人数会超过700 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意，得，解得（不合题意，舍去）． 故每轮平均1人会传染8人． （2）解：三轮传染后的人数为． ， ∴三轮传染后，患病的人数会超过700． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长为34米的围栏（围栏宽忽略不计）建两个相同面积的生态园，两个生态园各留一扇宽为1米的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米，每个生态园的面积为48平方米．设每个生态园垂直于墙的一边长为米．    (1)平行于围墙的一边长为______米；（结果需化简，用含的代数式表示） (2)求满足条件的的值． 【答案】(1)； (2)4． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出平行于围墙的一边长；找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平行于围墙的一边长围栏的总长度门的宽度垂直于墙的一边长，即可用含的代数式表示出平行于围墙的一边长； （2）根据生态园的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：平行于围墙的一边长为米． 故答案为：； （2）解：由题意，得， 整理，得， 解得，． ∵垂直于墙的一边长不超过6米， ． 故的值为4． 11．（24-25八年级下·浙江·期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 【答案】(1)每件服装应降价20元 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件，根据平均每天销售这种服装盈利1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件，根据平均每天销售这种服装盈利达到1500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； （2）解：平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元，理由如下： 设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴该方程无实数根， ∴平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元． 12．（14-15八年级下·浙江杭州·期末）今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率． (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 【答案】(1)四、五这两个月的月平均增长率； (2)当商品降价5元时，商场月获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设四月，五月的月平均增长率为x，根据题意，得，解方程即可； （2）设降价m元，商场月获利4250元，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：四、五这两个月的月平均增长率； （2）解：设降价m元，商场月获利4250元， 根据题意，得 ， 解得，（舍去）， 答：当商品降价5元时，商场月获利4250元． 13．（24-25八年级下·山东烟台·期中）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； (2)当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据2月份到4月份销售量从256变成400建立方程求解即可； （2）设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，根据总利润为8400元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，得， 整理得， 解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 14．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为的墙（），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为（全部用完）．设的长为． (1)如图1，用含的代数式表示的长． (2)如图1，当长方形花园的面积为时，求的值． (3)如图2，将墙全部利用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中，，和都由篱笆构成．长方形花园的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握是解题的关键． （1）利用长方形的性可得到，即可得到的表达式； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中的取值范围进行取舍即可； （3）根据花园的面积建立一元二次方程，判断方程的解得情况即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由题意得长方形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， 答：当长方形花园的面积为时，求的值为； （3）解：不能，理由： 当时， 整理得， ， 该方程无实数根， 长方形花园的面积不可以为，即长方形花园的面积不可以为． 15．综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 (3)7 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴ 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实际问题与一元二次方程 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用一元二次方程解决增长率问题 1 题型二、用一元二次方程解决传播问题 5 题型三、用一元二次方程解决营销问题 9 题型四、用一元二次方程解决动态几何问题 13 题型五、用一元二次方程解决与图形有关的问题 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用一元二次方程解决增长率问题 1．为了加强学生体育运动，某中学计划购进篮球和排球两种球（两种球都需要买），每个排球的售价是50元，每个篮球的售价是40元，由于商场促销，篮球的售价经两次调价后调至每个32.4元，每个排球的售价不变． (1)若该商场篮球两次调价的降价率相同，求篮球的降价率； (2)学校现计划购买篮球和排球两种球共20个，篮球按调价后的价格进行购买，且购买篮球的数量不多于排球的数量，设购买篮球a个，购买两种球所需费用为w元，请给学校一种购买费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 2．某苹果园种植一种优质苹果，随着果树的成长，该苹果园的总产量从年的吨增加到年的吨． (1)求这个苹果园总产量平均每年增产的百分率； (2)若平均每年增产的百分率率不变，年该苹果园的总产量能突破吨吗?请说明理由． 3．靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同． (1)请问每次降价的百分率为多少？ (2)朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？ 4．为了解决初中生画图慢和画图不准的问题，杨老师设计了初中专用套尺，申请了国家专利并投入生产使用．前年生产成本为15万元，今年生产成本达到21.6万元． (1)如果平均每年成本的增长率相同，求这个增长率． (2)投入市场后，每套定价为30元，同时推出两种销售方式： ①每套均按定价的九折销售； ②购买不超过100套时按原价销售，超出100套的部分打八折销售． 某文具店计划购进一批这种初中专用套尺，请你帮文具店分析一下应该选择何种方式购买更优惠． 5．随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． (1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率； (2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？ 题型二、用一元二次方程解决传播问题 6．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 7．有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感． (1)每轮传染中平均一人传染了几人？ (2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？ 8．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 9．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次； (2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数； (3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论； (4)小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值． 10．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 题型三、用一元二次方程解决营销问题 11．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 12．某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2022年每辆汽车的日租金为100元，到2024年每辆汽车的日租金上涨到144元． (1)求2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率． (2)经市场调研发现，从2024年开始，当每辆汽车的日租金定为144元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆． ①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出_______辆车．（均用含x的代数式表示） ②已知该汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用34元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达27400元？（日收益=总租金-各类费用） 13．米小圈等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.3倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多14个．购买哪吒手办共需22100元，敖丙手办共需10000元． (1)求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？ (2)经由米小圈的争取，商家同意哪吒手办的单价降低3m元，敖丙手办的单价降低元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了2个，最终总费用比原计划多了1000元，求的值． 14．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件25元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件40元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该件吉祥物每降价1元，月销售量就会在6月的销量基础上增加5件．当该件吉祥物降价多少元时，月销售利润达4250元． 15．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元／个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元／个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 题型四、用一元二次方程解决动态几何问题 16．如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，长为？ (2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 17．如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 18．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 19．如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． (1)求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； (2)两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ (3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 20．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值． 题型五、用一元二次方程解决与图形有关的问题 21．如图，利用一面长为米的墙，用总长度米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． (1) 米(用含x的代数式表示)； (2)若长方形围栏的面积为平方米，求栅栏的长； (3)长方形栅栏的面积能达到平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 22．综合与实践 项目主题： 劳动基地扩建方案 项目背景： 学校计划扩建一校园花坛，综合实践活动小组以设计“花园扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取：（如图所示） 信息1：原花坛为矩形； 信息2：扩建后的新花坛仍为矩形的长度不能超过的长度不能超过． 问题解决： (1)若扩建后花园的面积为，且，求和的长； (2)当时，扩建后花园的面积可以为吗？请说明理由． 23．如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 24．某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的窥度都为米，左右两条纵向道路的察度都为米，中间部分为种植园区．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    (1)若中间种植园区的面积是44800平方米，求道路的宽度； (2)该农户在种植园区种植了草莓，经市场调查，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气情况影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓．若该农户预期一个月的总利润为57.2万元，并且想要让利于顾客，每平方米草莓的平均利润应该下调多少元？ 25．泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效． (1)如图，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多米，求采茶基地的长和宽； (2)如图，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（）中的采茶基地大小、形状均相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为平方米，求小路的宽度． 一、单选题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（    ）人 A．2 B．8 C．10 D．4 2．（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 4．太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·福建福州·期末）淇淇七年级时的体重是，到九年级时，体重增加到，则她的体重平均每年的增长率为 ． 6．某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价 元 8．乡村振兴促进农民增收，李大叔抓住时机，承包了一块边长为的正方形空地进行奶牛养殖，并按如图所示的方式将这片空地划分成三部分：养殖区、挤奶棚和仓库．若挤奶棚和仓库的形状均为正方形（挤奶棚的面积大于仓库的面积），养殖区的面积为，则挤奶棚的边长为 ． 三、解答题 9．某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长为34米的围栏（围栏宽忽略不计）建两个相同面积的生态园，两个生态园各留一扇宽为1米的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米，每个生态园的面积为48平方米．设每个生态园垂直于墙的一边长为米．    (1)平行于围墙的一边长为______米；（结果需化简，用含的代数式表示） (2)求满足条件的的值． 11．（24-25八年级下·浙江·期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 12．（14-15八年级下·浙江杭州·期末）今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率． (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 13．（24-25八年级下·山东烟台·期中）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 14．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为的墙（），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为（全部用完）．设的长为． (1)如图1，用含的代数式表示的长． (2)如图1，当长方形花园的面积为时，求的值． (3)如图2，将墙全部利用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中，，和都由篱笆构成．长方形花园的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． 15．综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $