培优03 实际问题与一元二次方程（6种题型9重难点突破）（专项训练）数学人教版五四制八年级下册

培优03 实际问题与一元二次方程 （6种题型9重难点突破） 题型1 数字、循环、传播问题 数字问题解题思路： 1）一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，那么这个数可表示为10a+b 2）一个三位数，百位数字是x, 十位数字是y，个位数字是z，那么这个数可表示为100x+10y+z 循环问题解题思路 1）若甲乙两个个体，要考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲应算作两次碰面.那么，在这个群体中，每个个体都要和除他本身以外的(x-1)个个体碰一次面.所以，总的碰面次数为x(x-1)，所以可列方程:x(x-1)=n. 2）若甲乙两个个体，不考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲是一样的，算作一次碰面那么，所以，总的碰面次数为，所以可列方程: . 常见类型：双循环/单循环比赛，互送贺卡，握手等. 传播问题解题思路：传染源+第一轮被传染数+第二轮被传染数=第二轮被传染的总数. 重难点一 数字问题 1．（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于的一元二次方程是解题的关键． （）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （）根据进制换算成十进制的方法可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 2．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 3．（22-23九年级上·四川凉山·期中）阅读下列材料：为了计算正整数的值，采用以下方法： 设①， 且②， ①+②把两个等式等号右边中的第一项相加，第二项相加…第n项相加， 得：， ∴，即：，请根据以上阅读材料内容，结合所学知识解决以下问题： (1)正整数 ； (2)如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点．第n行有n个点…，容易发现三角点阵中前4行的点数和是10． ①请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是190？ ②这个三角点阵中前n行的点数和能是280吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由．    【答案】(1) (2)①190是前19行的点数之和；②不能，理由见解析 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．解题的关键是对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）直接利用题干中的求和公式求解即可； （2）①由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点，则前五行共有个点，前10行共有个点，前行共有个点，然后求它们的和，根据题意得出前行共有个点，则，然后解方程得到的值； ②由（1）得，求的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：当n=20时， ， 故答案为：； （2）①由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点， 则前五行共有个点， 前10行共有个点， ， 前行共有个点， 然后求它们的和， 根据题意得：前行共有个点， ∴， 整理得， ， ，， 为正整数， ． 答：190是前19行的点数之和； ②依题意，得， 即， ，无法开平方得出整数， 三角点阵中前行的点数的和不能是280． 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 【答案】（）；（），；（）． 【分析】（）根据前几个图案的规律，即可求解； （）根据题意，结合图形规律，即可求解； （）根据题意，列出方程，解方程即可求解； 本题考查了图形类规律以及解一元二次方程，根据图形找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， ∴第个图案中“”的个数是个， 故答案为：； （）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数是个， ∴第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中“○”的个数是， ∴第个图案中“○”的个数是， 故答案为：，； 由题意可得，， 整理得，， 解得：（舍去）或． 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图①是2024年9月份的日历，用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），如图②，将“Z”字型框位置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘，再相减，例如：在图①中，，，不难发现，结果都等于15． 如图②，设日历中所示图形中位置C的数字为x． (1)图②框中其余四个数用含x的代数式可以表示为__________，__________，__________，__________． (2)用含x的式子表示发现的规律__________． (3)利用整式的运算对（2）中的规律加以证明． (4)如图②，在某月历中，“Z”字型框框住部分（阴影部分）5个位置上的数，若最小的数和最大的数的乘积为161，则中间C位置上的数为__________． 【答案】(1)，，， (2) (3)见解析 (4)15 【分析】本题考查列代数式，整数的乘法，一元二次方程的应用． （1）由日历可发现：位置B的数字比位置C的数字少7，位置A的数字比位置C的数字少8，位置D的数字比位置C的数字多7，位置E的数字比位置C的数字多8，据此即可解答； （2）根据题意列出式子即可； （3）运用平方差公式展开后，合并同类项即可得证； （4）由题意可得方程，求解后根据x的取值进行取舍即可解答． 【详解】（1）解：∵位置C的数字为x， ∴位置B的数字为， 位置A的数字为， 位置D的数字为， 位置E的数字为． 故答案为：，，， （2）解：规律为：； 故答案为： （3）解：； （4）解：∵最小的数和最大的数的乘积为161， ∴， 解得， ∵x为正整数， ∴． 即中间C位置上的数为15． 故答案为：15 重难点二 单循环、双循环问题 6．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 【答案】本次联赛共有16支球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键．设本次联赛共有支球队，根据2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛240场，列出一元二次方程，求解并取符合题意的值即可． 【详解】解：设本次联赛共有支球队， 由题意得， ， ， （舍去）， 本次联赛共有16支球队． 7．（24-25九年级上·湖南永州·期中）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 【答案】初中组共有支球队参加比赛． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设初中组有支球队参赛，利用比赛总场数参赛球队数参赛球队数，即可得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】设有支球队参赛，则每个队参加场比赛， 则共有场比赛， 由题意得， 整理得： 即 解得：或（舍去） 答：初中组共有支球队参加比赛． 8．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)此次参赛一共有8个球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设每年接待游客人数的增长率为，根据题意可得，求解得到合适的x值； （2）设此次参赛一共有个球队，根据题意可得，求解得到合适的x值即可． 【详解】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 9．（2025·广东揭阳·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 【答案】(1)3 (2) (3)10人 (4)琪琪的思考是对的，见解析 【分析】本题考查了数字类归纳探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳类推出一般规律即可得； （3）令（2）的结果等于45，解一元二次方程即可得； （4）参照（2）的规律，归纳类推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手3次， 故答案为：3． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 故答案为：． （3）解：若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （4）解：琪琪的思考是对的，理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以在这个问题上，角的总数不可能为20个，琪琪的思考是对的． 10．（23-24九年级上·全国·课后作业）中国象棋在象棋比赛中，每个选手都与其他选手比赛一局，每局胜者记2分，负者记0分，和棋各记1分，四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是1979分，1980分，1984分，1985分．经核实，有一位观众统计准确，则这次比赛的选手共有多少名？ 【答案】45名 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系解决问题．部选手的得分等于一个参赛选手比赛的总局数乘以2分，设比赛的人数是x则比了局，根据题意列出方程解答即可． 【详解】解：设共有x名选手参加，依题意可得 ． ∵x是正整数，且大于1， ∴x、是两个连续的正整数． 不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是0，2，6，故得分总数只能是1980， 则， 解得（不符合题意，舍去）． 答：这次比赛的选手共有45名． 重难点三 传播与分叉问题 11．（24-25九年级上·全国·阶段练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人 (2)第三轮将又有448人被传染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有64人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）第三轮被传染人数就是用第二轮感染的64人乘以每人每轮的传染人数7即可． 【详解】（1）解∶设每轮传染中平均每人传染了x人，根据题意得 ， 解得或(舍)． 答∶每轮传染中平均一个人传染了7个人． （2）由（1）可知每轮传染中平均一个人传染7个人，经过两轮传染后有64人感染． 那么第三轮被传染的人数为人． 答：第三轮将又有448人被传染． 12．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【答案】(1)7，13，21 (2) (3)10个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）由题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． 13．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”，若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病． (1)每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？ (2)如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？ 【答案】(1)每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了7只健康的蛋鸡； (2)如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会超过500只． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程和算式求解是解题的关键． （1）设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了x只健康的蛋鸡，则第一轮中有x只健康的蛋鸡被传染，第二轮中有只健康的蛋鸡被传染，根据经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病列出方程求解即可； （2）根据（1）所求求出三轮传染后，患病的蛋鸡的数量即可得到答案． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了x只健康的蛋鸡，则第一轮中有x只健康的蛋鸡被传染，第二轮中有只健康的蛋鸡被传染， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了7只健康的蛋鸡； （2）解： （只）， ∵， ∴如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会超过500只． 14．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在病毒传播中，若1个人患病，若不加隔离防控每轮传染中平均一个人传染个人，经过两轮传染就共有625人患病． (1)求出的值； (2)若在第二轮传染前，有10个患者及时隔离，按照这样的传染速度，两轮传染后，一共有多少人患病？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）首先求出经过第一轮传染后，共有人感染，然后根据题意列式求解即可． 【详解】（1）根据题意可得， 解得或（舍去）； （2）∵1个人患病，每轮传染中平均一个人传染24个人， ∴经过第一轮传染后，共有人感染， ∵在第二轮传染前，有10个患者及时隔离， ∴． ∴两轮传染后，一共有385人患病． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 15．（22-23九年级上·福建漳州·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中一个人传染了x个人． (1)第二轮被传染上流感人数是______；（用含x的代数式表示） (2)在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有63人患病的情况发生，并说明理由． 【答案】(1) (2)第二轮传染后不会有63人患病的情况发生 【分析】（1）根据每轮的传染中平均一个人传染了x个人，可得答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，进而即可判断是否会有63人患病的情况． 【详解】（1）解：第一轮被感染的人数为x，第二轮被传染上流感人数是， 故答案为：； （2）解：经过两轮传染后不会有63人患病的情况发生，理由如下： 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∵不为正整数， ∴第二轮传染后不会有63人患病的情况发生． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出一元二次方程是关键． 题型2 平均变化率及营销问题 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的. 解决此类问题时，务必要记住 2）“每每型”销售问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题， ①常用公式：利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%；总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. ②“每每型”销售问题中，若单价每涨a元，少卖b件，则涨价y元，少卖的件数为件. 重难点一 平均变化率问题 16．（2025·安徽合肥·二模）某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为，为了响应“十四五计划”国家关于生产总值能源消耗降低的目标，该企业自年开始进行技术改革，计划到年实现生产一台电冰箱的能耗不超过的目标． (1)实际到年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到，求该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率； (2)年是“十四五计划”的收官之年，按照（1）中的年平均降低率，该企业能否实现原定目标？ 【答案】(1)该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为 (2)该企业能实现原定目标 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为，根据年和年，该企业生产一台电冰箱的能耗，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）求出年生产一台电冰箱的能耗，再比较即可． 【详解】（1）设该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为， 根据题意得：， 解得：，不合题意，舍去， 答：该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为； （2）根据题意可知，年生产一台电冰箱的能耗为， ， 该企业能实现原定目标． 17．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）阅读材料，解决问题 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个． 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个． 【解决问题】 (1)求该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率； (2)若该厂既想使月销售利润达到12000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）基本关系：初量（1+增长率）2=末量，据此列出方程，求解即可； （2）基本关系：总利润=每个的销售利润×月销售量，该零件的实际售价应定为元，用含的代数式表示月销售量，再利用月销售利润达到12000元建立方程求解． 【详解】（1）设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为，根据题意，得 ， 解得：，（舍去） 答：设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为 （2）设该零件的实际售价应定为元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵想尽快减少库存，则售价应该更低， ∴该零件的实际售价应定为元， 答：该零件的实际售价应定为元． 18．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）古县城以“青春古城游”为主题，通过科技加持、文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛宴． (1)【科技加持】千架无人机腾空而起，在夜幕绘就“古城星空”，吸引不少游客驻足观看．据统计，假期第一天古县城累计接待游客约5万人次，第三天接待游客达7.2万人次．求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． (2)【文化赋能】烟火气十足的“去古城赶集”汇集非遗手作，地方美食等，重现古城商贸活力．如景区推出古城著名景点冰箱贴：每个冰箱贴的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售冰箱贴获利1800元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)2元 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设售价降低a元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为x， 解得 ，（舍） 答：日平均增长率为． （2）解：设售价降低a元， ， 解得 ，（负值不合题意，舍去） 答：售价应降低2元． 19．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．湘江新区积极响应，着力打造的“十分钟阅读圈”，让近万持证读者在新区步行十五分钟内必遇书香．据统计，某智慧图书馆第一个周进馆人次，进馆人次逐周增加，到第三个周末累计进馆人次，若进馆人次的周平均增长率相同． (1)求进馆人次的周平均增长率； (2)因条件限制，该智慧图书馆每周接纳能力不超过人次，在进馆人次的每周平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四周的进馆人次，并说明理由． 【答案】(1)进馆人次的周平均增长率为； (2)校图书馆能接纳第四周的进馆人次，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数乘方运算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设进馆人次的周平均增长率为，然后根据题意列方程，再解方程并检验即可； （）根据（）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可． 【详解】（1）解：设进馆人次的周平均增长率为， 根据题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：进馆人次的周平均增长率为； （2）解：校图书馆能接纳第四周的进馆人次，理由， ∵进馆人次的周平均增长率为， ∴第四周的进馆人次为， ∴校图书馆能接纳第四周的进馆人次． 20．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）夏季来临，救生衣销售日益火爆，某品牌救生衣五月份标价为每件80元，七月份标价增长至每件115.2元，假设两个月平均每月增长率相同． (1)求这两个月平均每月增长率； (2)七月份某商场购进该品牌甲、乙两种型号的救生衣共200件．甲、乙两型号的救生衣的进价分别为每件70元和每件78元．商场按照每件标价降低了15.2元的价格销售这批救生衣，为了保证总利润不少于5440元，该商城至少购进甲型号救生衣多少件？ 【答案】(1)这两个月平均每月增长率为 (2)该商城至少购进甲型号救生衣件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设救生衣标价的月平均增长率为x，根据5月份标价为每件80元，七月份标价增长至每件115.2元，建立方程求解即可； （2）设该商场购进甲品牌救生衣件，则购进乙品牌救生衣件，根据商场按照每件标价降低了15.2元的价格销售这批救生衣，保证总利润不少于5440元，建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设救生衣标价的月平均增长率为x， 根据题意：， 解得：或（舍去）， 答：这两个月平均每月增长率为； （2）解：设该商场购进甲品牌救生衣件，则购进乙品牌救生衣件， 根据题意：， 整理得：， 解得：， 答：该商城至少购进甲型号救生衣件． 21．（24-25八年级下·浙江金华·期末）随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为4000辆和4840辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． (1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率． (2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月可处理250辆汽车的交付任务．若该公司现有20名负责交付的员工，按（1）中的增长率预测能否完成今年六月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工． 【答案】(1)该公司新能源汽车销量的月平均增长率为10%； (2)不能，至少需要增加2名员工． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用——增长率问题，熟练掌握终止量与起始量和增长次数的关系，列方程，量是解题关键． （1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，三月份与五月份的新能源汽车销量分别为4000辆和4840辆，列出方程求解即可； （2）首先求出六月份的销量，进而得出20名负责交付的员工能完成的任务，再利用每位员工每月最多可处理250辆汽车的交付任务，即可得出需要的人数． 【详解】（1）解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为， 根据题意得， 解得：，（不合题意舍去）． 答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为10%． （2）解：每月新能源汽车销量的增长率相同， 六月份的新能源汽车销量为：． 每位员工每月处理250辆汽车的交付任务，现有20名负责交付的员工， ． 不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务． 需要增加员工（名）， 因为员工人数必须为整数，所以至少需要增加2名员工， 答“至少需要增加2名员工． 重难点二 销售利润问题 22．（24-25九年级下·重庆石柱·期中）一家工厂为了生产某种特殊材料，决定从供应商处购买甲、乙两种化工原料．已知每桶甲化工原料比每桶乙化工原料贵4元，工厂第一次花费800元采购甲化工原料和240元采购乙化工原料，发现甲化工原料的桶数是乙化工原料桶数的2倍． (1)求每桶甲化工原料与乙化工原料的售价分别为多少元． (2)已知供应商每桶甲化工原料的进价是元，每桶乙化工原料的进价是元，甲、乙售价不变．为了扩大生产，工厂决定再次购买这两种化工原料，且第二次购买甲化工原料的数量比第一次购买的数量少，购买的乙化工原料的数量是第一次的3倍．若供应商第二次共获利368元，求的值． 【答案】(1)每桶甲化工原料的售价为10元，每桶乙化工原料的售价为6元 (2)a的值为6 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，列出正确的分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设每桶甲化工原料的售价为x元，则每桶乙化工原料的售价为元，根据花费800元采购甲化工原料的桶数是花费240元采购乙化工原料桶数的2倍．列出分式方程，求解并检验即可得到答案； （2）先求出第一次购买甲、乙化工原料的桶数，根据供应商第二次共获利368元，列出一元二次方程，解方程选取符合实际的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：设每桶甲化工原料的售价为x元，则每桶乙化工原料的售价为元， 根据题意： 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则（元）， 答：每桶甲化工原料的售价为10元，每桶乙化工原料的售价为6元； （2）解：第一次购买甲化工原料（桶），第一次购买乙化工原料（桶）， 由题意得，， 整理得：， 解得：或（舍去，不符合题意）， 答：a的值为． 23．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)3元 (3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； （2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. （3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 题型3 工程、行程问题 工程问题解题思路： 工作总量=工作时间×工作效率 工作时间=工作总量÷工作效率 工作效率=工作总量÷工作时间 总工作量=各单位工作量之和 行程问题解题思路： 重难点一行程问题 24．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 25．（2024·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度． (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 【答案】(1) (2)飞机滑行的最远距离为 (3)此时飞机的滑行速度是 (4)飞机滑行过程中有碰撞通勤车的危险． 【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式，求函数值、求自变量值；理解函数与方程的联系是解题的关键． （1）设y关于t的函数解析式为，利用待定系数法求解，令，即可求出t的取值范围即可； （2）根据滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，代入数值计算即可求解； （3）根据行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，即，建立关于t的一元二次方程即可求解； （4）设飞机滑行的距离为，求出飞机滑行的距离与时间t的关系式，由飞机滑行的时间内，根据通勤车与飞机之间的距离，建立关于t的方程，在飞机滑行的时间内，看飞机能否追上通勤车即可得出结论． 【详解】（1）解：设y关于t的函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， y关于t的函数解析式为， 当时，则， 解得， y关于t的函数解析式； （2）解：根据题意：飞机滑行的最远距离为， 答：飞机滑行的最远距离为； （3）解：，， ，即， 解得：或（舍去）， 答：此时飞机的滑行速度是； （4）解：设飞机滑行的距离为， 则飞机滑行的距离与时间t的关系式为：， 通勤车与飞机之间的距离为：， 令通勤车与飞机之间的距离0，则，即， 解得或（舍去）， 在飞机滑行时，通勤车与飞机之间的距离为0， 飞机滑行过程中有碰撞通勤车的危险． 26．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时； (2)． 【分析】（）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．列出分式方程，解方程即可； （）根据乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时； （2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时， 由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 重难点二 工程问题 27．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 28．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 29．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 题型4 图表问题 对于图表信息类应用题，需要我们从图表中挖掘隐含信息，找到相关的已知量，构建相应的数学模型，灵活应用所学知识解决实际问题. 30．（24-25九年级上·广东中山·阶段练习）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 31．（21-22九年级上·河北唐山·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当时，请直接写出的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）或；（2）或 【分析】（1）根据题意可得：，然后求解一元二次方程即可； （2）根据题中计算图可得：，由，代入化简可得：，求解方程，然后代入即可得． 【详解】解：（1）由题意可得：， ， 则或， 解得或； （2）由题意得：， ， ， 整理得：， ∴， 则或， 解得或， 或． 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出与之间关系是解题关键． 32．（2021九年级·全国·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 36．（2025·安徽六安·三模）某数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：他们继续研究下列用白色圆点和黑色圆点组成的图案中两种圆点的个数问题． 将以上图案中两种圆点的个数统计如下表： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 …… 黑色圆点的个数 … 白色圆点的个数 … 根据以上信息，完成下列问题： (1)第6个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________． (2)请用含n的式子填空：第n个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________． (3)第几个图案中白色圆点的个数与黑色圆点的个数之比为6∶5？ 【答案】(1)， (2)， (3)9 【分析】本题主要考查图形的变化规律，一元二次方程的应用，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． （1）根据前五个图形中所求图案的个数进行解答即可； （2）根据前六个图形中所求图案的个数总结规律即可； （3）根据题意列出一元二次方程即可解答． 【详解】（1）解：第6个图案中，白色圆点的个数为，黑色圆点的个数为， 故答案为：， （2）第n个图案中，白色圆点的个数为， 黑色圆点的个数为， 故答案为：， （3）由题意可得，， 解得， 解得或（不合题意，舍去） 答：第个图案中白色圆点的个数与黑色圆点的个数之比为6∶5． 题型5 面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD宽为a，长为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD宽为a，长为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD宽为a，长为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 重难点一 面积问题 34．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 35．（2025·广东东莞·三模）某小区有一个长为米，宽为米的矩形停车场，布局如图所示．阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道通道与停车场的边平行或垂直，小区打算对所有停车位的地面进行重新喷漆，已知喷漆面积为平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位，求当每个车位的月租金上涨多少元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为多少元？ 【答案】(1)米 (2)当每个车位的月租金上涨元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键 （1）设通道的宽是米，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设每个车位的月租金上涨元，对外开放的总月租金收入为元，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设通道的宽是米， 由题意得：， 整理得：， 解得： (舍去)， ∴通道的宽是米； （2）设每个车位的月租金上涨元，对外开放的总月租金收入为元， 由题意得： ， ，， ∴150， 当时，(元)， ∴当每个车位的月租金上涨元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为元． 36．（24-25八年级下·广西百色·期中）活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由． 【答案】（1）原硬纸板的长是和宽是； （2）剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键． 任务1：设原硬纸板的长是和宽是，建立方程，求解即可； 任务2：设剪裁的小正方形的边长为，建立方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设原硬纸板的长是和宽是．则          解得，（不符，舍）     所以 答：原硬纸板的长是和宽是．     任务2：小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒     设剪裁的小正方形的边长为．则              ，（不符，舍）     答：剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 重难点二 动态几何问题 37．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 【答案】(1)t， (2) (3)经过5秒或9秒，的长为 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键 （1）根据路程=速度乘以时间列式即可； （2）四边形为矩形，根据，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意，得线段， 故答案为：t，； （2）解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：； （3）解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 38．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用． （1）根据路程速度时间，即可求解； （2）根据题意可得面积等于面积的，根据的面积等于三角形的面积的列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． ∴，， 则； 故答案为：． （2）解：∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 解得． 答：当时，的面积等于四边形的面积的． 39．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得,，则，再由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），； 当秒时，的长度等于； （2）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 即当秒时，使得五边形的面积等于． 40．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)， (2)2秒或4秒 (3)2.4秒 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了动点问题，一元二次方程的解法，三角形的面积等知识，根据动点的运动速度表示各线段的长是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间，可得、的长，从而得出的面积，可得答案； （2）由（1）得，列方程为，解一元二次方程即可，注意本题x的取值范围． （3）根据勾股定理可列方程为： ，解出x即可 【详解】（1）解：关于的函数解析式为：； 所以的取值范围是：． 对于，当时，有最大值； （2）设经过秒，的面积为． 列方程为 解得： 答：设经过2秒或4秒，的面积为． （3）设秒后，的长度等于12mm，列方程为：， 解得（舍去），， 答：出发2.4秒后，的长度等于． 41．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)时，的长度等于 (3)存在的值，使得五边形的面积等于，此时， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积等于长方形面积减去的面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵点的速度为，点的速度为，运动时间为秒， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴当时，， 解得：或（舍去）， ∴当时，的长度等于． （3）解：∵五边形的面积等于，五边形的面积等于长方形面积减去的面积， ∴， 解得：，， ∵当点运动到点时，两点停止运动，， ∴， ∴， ∴存在的值，使得五边形的面积等于，此时，． 题型6 新情境问题 重难点一 新情境问题 42．（2025·重庆·模拟预测）2025年1月16日，中国羽毛球协会与重庆大学举行共建羽毛球中心合作签约仪式，将共建西南地区首个羽毛球中心，这一举措不仅能培养出羽毛球精英人才，也有力地促进了重庆的羽毛球经济发展．某体育用品店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，已知每副A种球拍的进价比每副种球拍的进价贵20元，且购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的． (1)求两种羽毛球拍每副的进价； (2)这批羽毛球拍很快被一抢而空，该店计划再购进一批羽毛球拍，此时每副A种球拍的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了副；每副种球拍的进价上涨了元，购进种球拍的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值． 【答案】(1)种羽毛球拍每副的进价为70元，种羽毛球拍每副的进价为50元 (2)5 【分析】此题主要考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等式是解题关键． （1）设A种羽毛球拍每副的进价为元，则种羽毛球拍每副的进价为元，利用文具店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的，列出方程求出答案； （2）根据总花费元，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：设A种羽毛球拍每副的进价为元，则种羽毛球拍每副的进价为元， 由题意得，解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：种羽毛球拍每副的进价为70元，种羽毛球拍每副的进价为50元； （2）解：第一次购进种羽毛球拍（副）， 第一次购进种羽毛球拍（副）， 根据题意可得， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）， 则， 答：的值为5． 43．（2025·江苏泰州·三模）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了80％，年销售单价下降了20％． (1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 a b 2025 (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【答案】(1) (2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为 【分析】本题考查了代数式的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，2025年销售A型汽车总量为，年销售A型汽车单价为， 2025年销售型汽车总额为亿元， 又∵2023年销售A型汽车总量为，年销售A型汽车单价为， ∴2023年销售型汽车总额为亿元， 填表如下： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 故答案为：； （2）解：设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为， 根据题意，得， 解得(舍去)， 答：该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为． 44．（2025·广东汕头·一模）为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带货进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为千克，销售均价为元千克，枇杷的销售量为千克，销售均价为元千克；第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了，销售均价与第一季度相同，枇杷的销售量比第一季度增加了，但销售均价比第一季度减少了若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同，求的值． 【答案】12.5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同为等量关系列出关于的一元二次方程，再设，将方程换成关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 设， 则原方程可化为：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去， ， 即， 答：的值为 45．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 重难点二 新考法问题 46．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）图1～图4都是由黑、白两种颜色的三角形排列而成． 观察图形，完成下列问题： (1)在表格的空白处填入适当的数： 图形 图1 图2 图3 图4 图5 … 图 ▲个数 2 5 10 17 ______ … ______ △个数 3 5 7 9 ______ ______ (2)根据你发现的规律判断是否存在两种三角形之和为△个数的4倍的图形． 【答案】(1)见解析 (2)不存在，见解析 【分析】本题主要考查探求规律的问题及一元二次方程的应用，能够结合图形的数目探求规律是解题的关键． （1）根据图形总结规律，直接得出结果； （2）根据（1）得到规律，结合题意建立一元二次方程求解即可解答． 【详解】（1）解：图1中，▲有个，△有个， 图2中，▲有个，△有个， 图3中，▲有个，△有个， 图4中，▲有个，△有个， ； 图n中，▲有个，△有个， 则图5中，▲有个，△有个， （2）解：由（1）图n中，▲有个，△有个， 假设存在这样的第个图形，依题意有： ，整理得， 解得：， 不是整数， 不存在这样的图形． 47．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）素材1：如图，某农户规划在一个长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，使其中两条与平行，满足通道宽；另一条与平行，并使两条通道的宽，其余六块部分种植草莓． 素材2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 任务1：要使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，则通道的宽应设计成多少米？ 任务2：若农户预期一个月的总利润（总利润销售利润承包费）为52万元，为了让购买草莓的客户获得更大的优惠，那么应该降价多少元？ 【答案】任务1：通道的宽应设计成10米；任务2：每平方米草莓应该降价40元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：设通道的宽应设计成米，则通道的宽米，根据长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，其余六块部分种植草莓．使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，列出一元二次方程求解即可； 任务2：设每平方米草莓应该降价y元，根据每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．农户预期一个月的总利润（总利润=销售利润-承包费）为52万元，列出一元二次方程求解并取最大值即可． 【详解】解：任务1：设通道的宽应设计成米，则通道的宽米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴， 答：通道的宽应设计成10米； 任务2：设每平方米草莓应该降价y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵让购买草莓的客户获得更大的优惠， ∴每平方米草莓应该降价40元． 答：每平方米草莓应该降价40元． 48．（2025·山西朔州·三模）阅读与思考 下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 构造等面积正方形 如图，在矩形中，，，延长至点使得，以为直径作半圆，圆心为点，延长交半圆于点，以为边作正方形（点在线段上），则正方形的面积等于矩形的面积． 证明：连接， ，， ．， ． 点是半圆的圆心， ． 任务： (1)推理论证：请补全材料中的证明过程； (2)类比应用：如图，在中，，是边上的高．请在图2中作线段，使点在射线上，且以为边的正方形与的面积相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)深入思考：如下图，按材料中的方法构造与矩形面积相等的正方形，若点恰好落在半圆上，则此时的值为________． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)图见解析； (3)． 【分析】本题考查了矩形和正方形的性质以及勾股定理的应用以及一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握勾股定理的公式和矩形和正方形的性质的运用． （1）由题意连接，先求出和，再利用勾股定理求出，进而根据正方形和矩形的面积即可证明； （2）根据题意在的延长线上截取，再作的垂直平分线，交于点，然后以点为圆心，长为直径作半圆，最后延长，交半圆于点，则线段即为所求；然后连接，先求出，的长，再利用勾股定理求出，从而可得为边的正方形的面积，然后根据等腰三角形的三线合一可得的长，利用三角形的面积公式可得的面积，由此即可证明； （3）由题意连接，，先求出的长，再利用勾股定理求出的长，从而可得的长，然后根据建立方程，解方程可得的值，进而即可得出的值． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， 点是半圆的圆心， ， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 又， ； （2）解：如图，在的延长线上截取，再作的垂直平分线，交于点，然后以点为圆心，长为直径作半圆，最后延长，交半圆于点，则线段即为所求； 证明：如图，连接， 设，，则， ∴， ∵点是半圆的圆心， ∴， ∴， ∴是边上的高， ∴， ∵在中，， ∴以为边的正方形的面积为， ∵在中，，是边上的高，， ∴， ∴的面积为， ∴以为边的正方形与的面积相等， ∴线段即为所求； （3）解：如图，连接，， 由（1）已知：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，即， ， 解得或 (不符合题意，舍去)， 又， 或(不符合题意，舍去)， ， ． 故答案为：． 49．（2025·山东潍坊·一模）在数学综合与实践课上，李老师让同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【具体操作】如图1，在正方形中，将沿过点的直线翻折，点落在正方形内部的点处，得到，折痕为；再将沿过点的直线翻折，使与重合，得到，折痕为．由以上操作，不难发现，，三点在同一条直线上． 【问题解决】 （1）请直接写出 ； （2）若，，求正方形的边长； 【深入探究】 （3）如图2，再将沿所在直线折叠，点恰好落在线段的点处，得到，线段与相交于点，请写出，，三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）正方形的边长为6；（3），见解析 【分析】（1）由正方形的性质可得，由折叠的性质可得，，再由计算即可得解； （2）由折叠可知，，，设正方形边长为，则，，再由勾股定理计算即可得解； （3）由正方形的性质可得，由折叠的性质可知，，，，证明，得出，从而得出，再求出，由直角三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）∵四边形为正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴； （2）由折叠可知，， 所以， 设正方形边长为，则，， 因为在中，， 所以， 整理得，， 解得，或（舍去）， 所以正方形的边长为6； （3）， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴， 又∵， ∴， 由（1）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵点，，共线， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 50．（2025·河南周口·一模）为迎接2026年米兰一科尔蒂纳丹佩佐冬奥会，某市扩建了一座国际标准室内滑雪训练场，该滑雪场采用最新造雪技术，整个赛道长180米，可模拟高山滑雪环境，国家队运动员小明为备战冬奥会，在此进行技术训练．如图，他从赛道顶端处开始下滑，滑行3秒后，教练操控一台无人机从处沿赛道方向保持安全高度跟拍训练过程（安全高度可忽略不计）．训练中心记录了小明离处的滑行距离（单位：以及无人机离处的距离（单位：）随滑行时间（单位：）的变化数据如下： 滑行时间 0 1 2 3 4 5 6 滑行距离 0 4 10 18 28 40 54 无人机离处的距离 0 0 0 0 12 24 36 经探究发现，与之间成二次函数关系，与之间成一次函数关系．    (1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)小明滑完整个训练赛道需要耗时多久？ (3)分析在小明到达终点前，无人机能否追上小明，若能，求出相遇时间；若不能，求出无人机与小明的最小距离． 【答案】(1)关于的函数解析式为，关于的函数解析式为； (2)小明滑完整个赛道需要耗时； (3)无人机不能追上小明，无人机与小明的最小距离为． 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程． （1）设关于的函数解析式为，用待定系数法可得；同理求得关于的函数解析式为； （2）在中，令可解得小明滑完整个赛道需要耗时； （3）由可得到解无人机不能追上小明，再利用配方法可求得无人机与小明的最小距离． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 将，，代入得： ， 解得， ； 设关于的函数解析式为， 将，代入得： ， 解得， ∴， ∴关于的函数解析式为，关于的函数解析式为； （2）解：在中，令得： ， 解得或（舍去）， 小明滑完整个赛道需要耗时； （3）解：联立得， 整理得， ∵， ∴无人机不能追上小明， 由题意得， ∵， ∴无人机与小明的最小距离为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优03 实际问题与一元二次方程 （6种题型9重难点突破） 题型1 数字、循环、传播问题 数字问题解题思路： 1）一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，那么这个数可表示为10a+b 2）一个三位数，百位数字是x, 十位数字是y，个位数字是z，那么这个数可表示为100x+10y+z 循环问题解题思路 1）若甲乙两个个体，要考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲应算作两次碰面.那么，在这个群体中，每个个体都要和除他本身以外的(x-1)个个体碰一次面.所以，总的碰面次数为x(x-1)，所以可列方程:x(x-1)=n. 2）若甲乙两个个体，不考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲是一样的，算作一次碰面那么，所以，总的碰面次数为，所以可列方程: . 常见类型：双循环/单循环比赛，互送贺卡，握手等. 传播问题解题思路：传染源+第一轮被传染数+第二轮被传染数=第二轮被传染的总数. 重难点一 数字问题 1．（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 2．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 3．（22-23九年级上·四川凉山·期中）阅读下列材料：为了计算正整数的值，采用以下方法： 设①， 且②， ①+②把两个等式等号右边中的第一项相加，第二项相加…第n项相加， 得：， ∴，即：，请根据以上阅读材料内容，结合所学知识解决以下问题： (1)正整数 ； (2)如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点．第n行有n个点…，容易发现三角点阵中前4行的点数和是10． ①请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是190？ ②这个三角点阵中前n行的点数和能是280吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由．    4．（2024·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图①是2024年9月份的日历，用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），如图②，将“Z”字型框位置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘，再相减，例如：在图①中，，，不难发现，结果都等于15． 如图②，设日历中所示图形中位置C的数字为x． (1)图②框中其余四个数用含x的代数式可以表示为__________，__________，__________，__________． (2)用含x的式子表示发现的规律__________． (3)利用整式的运算对（2）中的规律加以证明． (4)如图②，在某月历中，“Z”字型框框住部分（阴影部分）5个位置上的数，若最小的数和最大的数的乘积为161，则中间C位置上的数为__________． 重难点二 单循环、双循环问题 6．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 7．（24-25九年级上·湖南永州·期中）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 8．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 9．（2025·广东揭阳·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 10．（23-24九年级上·全国·课后作业）中国象棋在象棋比赛中，每个选手都与其他选手比赛一局，每局胜者记2分，负者记0分，和棋各记1分，四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是1979分，1980分，1984分，1985分．经核实，有一位观众统计准确，则这次比赛的选手共有多少名？ 重难点三 传播与分叉问题 11．（24-25九年级上·全国·阶段练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 12．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 13．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”，若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病． (1)每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？ (2)如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？ 14．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在病毒传播中，若1个人患病，若不加隔离防控每轮传染中平均一个人传染个人，经过两轮传染就共有625人患病． (1)求出的值； (2)若在第二轮传染前，有10个患者及时隔离，按照这样的传染速度，两轮传染后，一共有多少人患病？ 15．（22-23九年级上·福建漳州·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中一个人传染了x个人． (1)第二轮被传染上流感人数是______；（用含x的代数式表示） (2)在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有63人患病的情况发生，并说明理由． 题型2 平均变化率及营销问题 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的. 解决此类问题时，务必要记住 2）“每每型”销售问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题， ①常用公式：利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%；总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. ②“每每型”销售问题中，若单价每涨a元，少卖b件，则涨价y元，少卖的件数为件. 重难点一 平均变化率问题 16．（2025·安徽合肥·二模）某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为，为了响应“十四五计划”国家关于生产总值能源消耗降低的目标，该企业自年开始进行技术改革，计划到年实现生产一台电冰箱的能耗不超过的目标． (1)实际到年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到，求该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率； (2)年是“十四五计划”的收官之年，按照（1）中的年平均降低率，该企业能否实现原定目标？ 17．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）阅读材料，解决问题 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个． 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个． 【解决问题】 (1)求该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率； (2)若该厂既想使月销售利润达到12000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 18．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）古县城以“青春古城游”为主题，通过科技加持、文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛宴． (1)【科技加持】千架无人机腾空而起，在夜幕绘就“古城星空”，吸引不少游客驻足观看．据统计，假期第一天古县城累计接待游客约5万人次，第三天接待游客达7.2万人次．求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． (2)【文化赋能】烟火气十足的“去古城赶集”汇集非遗手作，地方美食等，重现古城商贸活力．如景区推出古城著名景点冰箱贴：每个冰箱贴的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售冰箱贴获利1800元，则售价应降低多少元？ 19．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．湘江新区积极响应，着力打造的“十分钟阅读圈”，让近万持证读者在新区步行十五分钟内必遇书香．据统计，某智慧图书馆第一个周进馆人次，进馆人次逐周增加，到第三个周末累计进馆人次，若进馆人次的周平均增长率相同． (1)求进馆人次的周平均增长率； (2)因条件限制，该智慧图书馆每周接纳能力不超过人次，在进馆人次的每周平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四周的进馆人次，并说明理由． 20．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）夏季来临，救生衣销售日益火爆，某品牌救生衣五月份标价为每件80元，七月份标价增长至每件115.2元，假设两个月平均每月增长率相同． (1)求这两个月平均每月增长率； (2)七月份某商场购进该品牌甲、乙两种型号的救生衣共200件．甲、乙两型号的救生衣的进价分别为每件70元和每件78元．商场按照每件标价降低了15.2元的价格销售这批救生衣，为了保证总利润不少于5440元，该商城至少购进甲型号救生衣多少件？ 21．（24-25八年级下·浙江金华·期末）随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为4000辆和4840辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． (1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率． (2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月可处理250辆汽车的交付任务．若该公司现有20名负责交付的员工，按（1）中的增长率预测能否完成今年六月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工． 重难点二 销售利润问题 22．（24-25九年级下·重庆石柱·期中）一家工厂为了生产某种特殊材料，决定从供应商处购买甲、乙两种化工原料．已知每桶甲化工原料比每桶乙化工原料贵4元，工厂第一次花费800元采购甲化工原料和240元采购乙化工原料，发现甲化工原料的桶数是乙化工原料桶数的2倍． (1)求每桶甲化工原料与乙化工原料的售价分别为多少元． (2)已知供应商每桶甲化工原料的进价是元，每桶乙化工原料的进价是元，甲、乙售价不变．为了扩大生产，工厂决定再次购买这两种化工原料，且第二次购买甲化工原料的数量比第一次购买的数量少，购买的乙化工原料的数量是第一次的3倍．若供应商第二次共获利368元，求的值． 23．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 题型3 工程、行程问题 工程问题解题思路： 工作总量=工作时间×工作效率 工作时间=工作总量÷工作效率 工作效率=工作总量÷工作时间 总工作量=各单位工作量之和 行程问题解题思路： 重难点一行程问题 24．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 25．（2024·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度． (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 26．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 重难点二 工程问题 27．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 28．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 29．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 题型4 图表问题 对于图表信息类应用题，需要我们从图表中挖掘隐含信息，找到相关的已知量，构建相应的数学模型，灵活应用所学知识解决实际问题. 30．（24-25九年级上·广东中山·阶段练习）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    31．（21-22九年级上·河北唐山·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当时，请直接写出的值； （2）当时，求的值． 32．（2021九年级·全国·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 33．（2025·安徽六安·三模）某数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：他们继续研究下列用白色圆点和黑色圆点组成的图案中两种圆点的个数问题． 将以上图案中两种圆点的个数统计如下表： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 …… 黑色圆点的个数 … 白色圆点的个数 … 根据以上信息，完成下列问题： (1)第6个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________． (2)请用含n的式子填空：第n个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________． (3)第几个图案中白色圆点的个数与黑色圆点的个数之比为6∶5？ 题型5 面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD宽为a，长为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD宽为a，长为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD宽为a，长为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 重难点一 面积问题 34．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 35．（2025·广东东莞·三模）某小区有一个长为米，宽为米的矩形停车场，布局如图所示．阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道通道与停车场的边平行或垂直，小区打算对所有停车位的地面进行重新喷漆，已知喷漆面积为平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位，求当每个车位的月租金上涨多少元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为多少元？ 36．（24-25八年级下·广西百色·期中）活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由． 重难点二 动态几何问题 37．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 38．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 39．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 40．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 41．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 题型6 新情境问题 重难点一 新情境问题 42．（2025·重庆·模拟预测）2025年1月16日，中国羽毛球协会与重庆大学举行共建羽毛球中心合作签约仪式，将共建西南地区首个羽毛球中心，这一举措不仅能培养出羽毛球精英人才，也有力地促进了重庆的羽毛球经济发展．某体育用品店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，已知每副A种球拍的进价比每副种球拍的进价贵20元，且购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的． (1)求两种羽毛球拍每副的进价； (2)这批羽毛球拍很快被一抢而空，该店计划再购进一批羽毛球拍，此时每副A种球拍的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了副；每副种球拍的进价上涨了元，购进种球拍的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值． 43．（2025·江苏泰州·三模）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了80％，年销售单价下降了20％． (1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 a b 2025 (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 44．（2025·广东汕头·一模）为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带货进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为千克，销售均价为元千克，枇杷的销售量为千克，销售均价为元千克；第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了，销售均价与第一季度相同，枇杷的销售量比第一季度增加了，但销售均价比第一季度减少了若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同，求的值． 45．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 重难点二 新考法问题 46．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）图1～图4都是由黑、白两种颜色的三角形排列而成． 观察图形，完成下列问题： (1)在表格的空白处填入适当的数： 图形 图1 图2 图3 图4 图5 … 图 ▲个数 2 5 10 17 ______ … ______ △个数 3 5 7 9 ______ ______ (2)根据你发现的规律判断是否存在两种三角形之和为△个数的4倍的图形． 47．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）素材1：如图，某农户规划在一个长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，使其中两条与平行，满足通道宽；另一条与平行，并使两条通道的宽，其余六块部分种植草莓． 素材2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 任务1：要使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，则通道的宽应设计成多少米？ 任务2：若农户预期一个月的总利润（总利润销售利润承包费）为52万元，为了让购买草莓的客户获得更大的优惠，那么应该降价多少元？ 48．（2025·山西朔州·三模）阅读与思考 下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 构造等面积正方形 如图，在矩形中，，，延长至点使得，以为直径作半圆，圆心为点，延长交半圆于点，以为边作正方形（点在线段上），则正方形的面积等于矩形的面积． 证明：连接， ，， ．， ． 点是半圆的圆心， ． 任务： (1)推理论证：请补全材料中的证明过程； (2)类比应用：如图，在中，，是边上的高．请在图2中作线段，使点在射线上，且以为边的正方形与的面积相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)深入思考：如下图，按材料中的方法构造与矩形面积相等的正方形，若点恰好落在半圆上，则此时的值为________． 49．（2025·山东潍坊·一模）在数学综合与实践课上，李老师让同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【具体操作】如图1，在正方形中，将沿过点的直线翻折，点落在正方形内部的点处，得到，折痕为；再将沿过点的直线翻折，使与重合，得到，折痕为．由以上操作，不难发现，，三点在同一条直线上． 【问题解决】 （1）请直接写出 ； （2）若，，求正方形的边长； 【深入探究】 （3）如图2，再将沿所在直线折叠，点恰好落在线段的点处，得到，线段与相交于点，请写出，，三条线段的数量关系，并说明理由． 50．（2025·河南周口·一模）为迎接2026年米兰一科尔蒂纳丹佩佐冬奥会，某市扩建了一座国际标准室内滑雪训练场，该滑雪场采用最新造雪技术，整个赛道长180米，可模拟高山滑雪环境，国家队运动员小明为备战冬奥会，在此进行技术训练．如图，他从赛道顶端处开始下滑，滑行3秒后，教练操控一台无人机从处沿赛道方向保持安全高度跟拍训练过程（安全高度可忽略不计）．训练中心记录了小明离处的滑行距离（单位：以及无人机离处的距离（单位：）随滑行时间（单位：）的变化数据如下： 滑行时间 0 1 2 3 4 5 6 滑行距离 0 4 10 18 28 40 54 无人机离处的距离 0 0 0 0 12 24 36 经探究发现，与之间成二次函数关系，与之间成一次函数关系．    (1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)小明滑完整个训练赛道需要耗时多久？ (3)分析在小明到达终点前，无人机能否追上小明，若能，求出相遇时间；若不能，求出无人机与小明的最小距离． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $