专题01 一元二次方程的解法（专项训练）数学人教版五四制八年级下册

专题01 一元二次方程的解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元二次方程配方问题 1 题型二、解一元二次方程 1 题型三、解一元二次方程中错解复原问题 2 题型四、十字相乘法解一元二次方程 10 题型五、换元法解一元二次方程 14 题型六、一元二次方程中的新定义型问题 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一元二次方程配方问题 1．（24-25八年级下·浙江·期中）用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，利用配方法对变形即可得到答案，熟记配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 2．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）用配方法解一元二次方程，配方后的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 先把常数移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把左边转化为完全平方式即可判断． 【详解】解：可变形为：， 再变形可得：， 所以方程的左边一定是，选项中符合题意得只有D选项， 故选：D． 3．（24-25九年级上·陕西延安·期末）一元二次方程用配方法解可变形为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解本题的关键．根据一元二次方程完全平方公式配方，即可得出选项． 【详解】∵， ， ， 故选：B． 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）用配方法解下列方程时，配方正确的是（    ） A．方程，可化为 B．方程，可化为 C．方程，可化为 D．方程，可化为 【答案】D 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．根据配方法解一元二次方程的步骤逐项分析即可得出结论． 【详解】解：A、方程，可化为，故此选项配方不正确，不符合题意； B、方程，可化为，故此选项配方不正确，不符合题意； C、方程，可化为，故此选项配方不正确，不符合题意； D、方程，可化为，故此选项配方正确，符合题意； 故选：D． 题型二、解一元二次方程 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）根据直接开平方法进行求解方程即可； （2）根据配方法进行求解方程即可； （2）根据公式法进行求解方程即可； （4）根据因式分解法进行求解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解:， 两边同加上4，得， ， ， ，； （3）解： ，，， ， ， ，； （4）解：， 移项，得， ， ， 或， ，． 6．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）用适当的方法解下列方程. (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)方程没有实数根 (4) 【分析】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法、因式分解法、公式法，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键． （1）利用直接开平方法求出解即可； （2）利用因式分解法求出解即可； （3）先判断方程根的情况，可得到此方程没有实数根； （4）利用公式法求出解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， 此方程没有实数根； （4）解：， ， ， ， ． 7．（24-25九年级下·全国·假期作业）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）方程利用因式分解法求出解即可； （2）方程利用因式分解法求出解即可； （3）利用因式分解法求出解即可； （4）方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）解：， 分解因式得：， 可得或， 解得：，； （2）解：， 分解因式得：， 可得或， 解得：，； （3）解：， 分解因式得：， 可得或， 解得：，； （4）解：， 方程整理得：， 即， 分解因式得：， 可得或， 解得：，． 8．（24-25八年级下·山东泰安·期中）用适当的方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)方程没有实数根 (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键． （1）运用直接开方法求解即可； （2）运用公式法求解即可； （3）将方程整理后，运用公式法求解即可； （4）运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 变形为：， 开方，得：， ∴，． （2）解：， ∵，，， ∴， ∴该方程没有实数根． （3）解：， 整理，得， ∵，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． （4）解：， 因式分解，得， ∴， ∴． 题型三、解一元二次方程中错解复原问题 9．数学课上，老师展示了班级某位同学解方程的过程，其过程如下： 解：        第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 (1)第三步的依据是_______， (2)该同学的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________． (3)请直接写出该方程的正确解． 【答案】(1)等式的基本性质1 (2)二，等式右边没有除以3 (3)， 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据等式的性质进行解答即可； （2）根据解题过程进行解答即可； （2）先移项，然后将二次项系数化为1，再配方，然后利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：第三步的依据是等式的基本性质1； （2）解：该同学的解题过程从第二步开始出现错误，错误的原因是等式右边没有除以3； （3）解： ， ， ， ， ， ∴，． 10．解方程时，小明同学解答过程如下： 第①步∵，， 第②步∴ 第③步∴ 第④步∴，． 小华同学发现解题过程中存在错误，请你指出错误的是第_______步；并写出正确的解题过程． 【答案】①，正确解答过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-公式法、一元二次方程的一般形式等知识点，掌握运用公式法解一元二次方程成为解题的关键． 先把方程化成一般式，然后再按照公式法逐步判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，即第①步发生错误； ∴， 第③步∴， 第④步∴，． 11．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程过程如下： ① ② ③ ④ ⑤ (1)小明解方程过程中，从　　步开始出现错误；（填序号） (2)请利用配方法正确解方程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． （1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：小明解方程过程中，从②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）解： ． 12．如图是小明解一元二次方程的过程． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，即，……第三步 由此可得，……第四步 所以，.……第五步 (1)在小明的解题过程中，从第______步开始出现错误，出现错误的原因：______； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)三，配方错误 (2)见详解 【分析】（1）根据完全平方公式即可求解； （2）在小明同学的第三步开始，左右两边同时加，根据完全平方公式配方，然后直接开方解方程即可求解， 本题主要考查配方法，直接开方法解一元二次方程，掌握完全公式的配方法解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：第三步中，的一次项系数是，根据完全平方公式可知常数项应该是，即左右两边同时加即可， ∴第三步出错， 故答案为：三，配方错误， （2）解： 二次系数化为， 移项， 配方，，即 直接开方， ∴原方程的解为：，． 题型四、十字相乘法解一元二次方程 13．阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解求解； （2）利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ． 14．（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，  ②，  ③，  ④， 【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可． 【详解】解：①由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ②由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ③由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ④由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键． 15．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 【答案】①，②③， 【分析】本题考查了因式分解以及运用因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （3）由（1）（2）得，直接作答①； ②③先把一个多项式分解成两个多项式相乘的形式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】解：由（1）（2）得 （3）①； ； 故答案为：，； ②． ∴， ∴， ∴或； ③， ∴， ∴或， ∴，． 16．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 【答案】（3）①；②；③或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，利用十字相乘法因式分解解一元二次方程，掌握十字相乘法分解因式是解答本题的关键． （3）①利用十字相乘法分解即可； ②利用十字相乘法因式分解因式求解即可； ③利用十字相乘法因式分解因式得，进而可求出的值． 【详解】（3）解：①． 故答案为：； ②∵， ∴， ∴或， ∴； ③∵， ∴， ∴或， ∴或． 题型五、换元法解一元二次方程 17．【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 18．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，理解题中求解过程，熟练掌握换元法和转化思想的运用是解答的关键． （1）根据题意可得，然后去分母即可化为一般式； （2）仿照材料中的求解过程，利用换元法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，化为一般式为， 故答案为：； （2）解：设，则原方程化为， 整理，得，解得或， 当时，即，解得或 当时，即，方程无解； 综上所述，原方程的解为或． 19．【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)降次 (2) (3) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意可得换元法达到降次的目的； （2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解； （3）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想 （2）解：设，则原方程可化为 整理，得 解得， 又∵ （3）解：设，则原方程可化为 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为． 20．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 【答案】 【分析】将视为一个整体，然后设则原方程化为．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可． 此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 设， 则原方程化为， 即， ， 解得，， ∵不能是负数， ∴ 题型六、一元二次方程中的新定义型问题 21．用适当的方法解下列方程， (1)①     ② (2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值． 【答案】(1)①，；②， (2)2或 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）①利用公式法解一元二次方程即可； ②利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后分别列出方程求解即可． 【详解】（1）（1）① ，， ∴ 解得，； ② ， 解得，； （2）根据题意得， 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 综上所述，的值为2或． 22．对于任意实数规定一种新运算：．例如：13．请根据上述定义解决以下问题： (1)计算：． (2)若的值为1，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的新定义运算，解一元二次方程，理解新定义的运算是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义得到，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）∵ ， ∴， 即， ∴， 解得 23．对于实数定义运算“”为，如．请根据这个规定解答下列问题： (1)求的值； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义下实数的运算，解一元二次方程，根据新定义列方程是解题的关键． （1）根据定义，即可解答； （2）根据定义，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意得， 整理得， ， ． 24．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 【答案】(1)属于 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得，；结合题意，将，分别代入，从而计算得m的值；再经检验符合m的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）解：解方程，得，， 解方程，得，， ∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， ∴一元二次方程与属于“同伴方程”； （2）解：解，得，， 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； ∴m的值为或． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法进行解一元二次方程，先通过移项并提取公因式，然后将方程转化为两个一次因式的乘积等于零的形式，进而求解根． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴或； 解得， 综上，方程的根为和， 故选：C． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程配方法，熟知配方法是解题的关键．利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【详解】解：由题知， ， ， ， ． 故选：A． 3．（24-25八年级下·山东淄博·期中）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式得出，，，即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键． 【详解】解：∵可以表示某个一元二次方程的根， ∴，，， ∴这个一元二次方程为， 故选：D． 4．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）对于实数a，b，c，d，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则x的值为（   ） A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 解得：， 故选：A． 二、填空题 5．对于方程，用换元法解，可设，则原方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．根据将原方程转化为，再将代入即可得． 【详解】解：， ， ， 设， 则原方程为， 故答案为：． 6．在正实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，那么方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义运算及解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．根据题意列方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：，即， 整理得：， ， 解得：（舍去，不符合题意），， ， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·四川南充·期中）如果满足，，且 ，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系、求代数式的值等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系的应用是解题的关键． 由题意可知是方程的两个不相等的实数根，则，，把变形后整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵满足，，且， ∴是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·重庆忠县·期中）已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ． 【答案】10或12 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，三角形周长计算，先根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的长的取值范围，再解方程求出第三边的长，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵三角形两边的长分别是4和3， ∴第三边的长， 解方程得或， ∴第三边的长为3或5， ∴该三角形的周长为或， 故答案为：10或12． 三、解答题 9．（24-25九年级上·青海西宁·期中）用适当的方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)方程没有实数根 (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接平开方法、公式法，配方法，因式分解法是解题的关键． （1）直接用开平方法求解即可； （2）用公式法求解，先求得，得出方程无解即可； （3）用配方法求解即可； （4）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解：， ， ∴， ∴方程没有实数根； （3）解：， ， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， 或， ，． 10．（24-25八年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（用适当的方法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）把移到等号的右边，方程两边同时除以2把二次项系数化为1，然后等号两边同时加上一次项一半的平方，再开方求解即可； （2）首先找出方程中a、b和c的值，求出，进而代入求根公式求出方程的解即可； （3）利用十字相乘法，将原方程左边整理为两个一次因式的乘积，最后解一元一次方程即可； （4）利用平方差公式将方程右边分解因式，再移项，提取公因式，进而整理为两个一次因式的乘积，最后解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， ∴， ∴， 则， ∴或， 解得，； （2）解：， ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ，； （3）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （4）解：， ， ， ， 或， ∴，． 11．（24-25八年级下·北京·期中）用适当的方法解下列关于的方程： (1) (2) (3) (4)； 【答案】(1)，； (2)，，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并熟练掌握利用一元二次方程特征选用适合方法解一元二次方程是解题的关键． （1）整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先因式分解法求得，再利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）先设，方程变形为，再利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 变形为， ∴或， 解得：，； （2）解：， 分解因式得， ∴或， 解得：， 解， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， 分解因式得， ∴或， ∴，； （4）解：， 设， 则方程变形为， 分解因式得， ∴或， ∴或， 当时，， 即， ∵， 没有实数解； 当时，， 即， ∵， ∴， 解得：，． 12．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】(1)二 (2)或，过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解： 或， 解得：或． 13．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：对于任意实数a、b，都有 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ． (1)若 ，求x的值； (2)若m、n均为实数，且3⊕m的值小于10，判断关于x的方程 的根的情况． 【答案】(1)， (2)有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，实数的运算，解一元一次不等式，正确理解新运算是解决问题的关键． （1）根据新运算得出，解之可得到答案； （2）的值小于10知，解之求得．再在方程中由可得答案． 【详解】（1）根据运算定义，可得， 化简得   ， 解得∶ ； （2）根据运算定义，可得， ∴， ∴， ∴在方程 中， ， ∴关于x的方程 有两个不相等的实数根． 14．【阅读材料】请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，．当时，，，此方程无实数根． 原方程的根为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请用上述方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次的方法和步骤． （1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出值，进而即可求解； （2）设，将原方程变形为，求出值，进而利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为，即， 解此方程得， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为． （2）解：设，则原方程化为，即， 解此方程得， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01一元二次方程的解法 目录 A题型建模·专项突破 题型一、一元二次方程配方问题.】 题型二、解一元二次方程.1 题型三、解一元二次方程中错解复原问题2 题型四、十字相乘法解一元二次方程… 10 题型五、换元法解一元二次方程 14 题型六、一元二次方程中的新定义型问题 17 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、一元二次方程配方问题 1.(24-25八年级下·浙江·期中)用配方法解一元二次方程x2-8x+5=0时，配方正确的是() A.（x-42=5B.(x-4)2=11 C.(x-82=63 D.(x-82=5 2.(24-25九年级下广东中山阶段练习)用配方法解一元二次方程x2+2x+m=0,配方后的方程可能是() A.（x+2=5 B.(x-1)2=5 C.（x-22=5 D.（x+1)2=5 3.(24-25九年级上陕西延安期末)一元二次方程4x2-12x-5=0用配方法解可变形为() A.(2x+32=14 B.(2x-32=14 C.(4x-3)2=14 D.（4x+3)=14 4.(24-25八年级下·黑龙江绥化阶段练习)用配方法解下列方程时，配方正确的是() A.方程x2-8x-3=0,可化为(x-42=5 B.方程y2-2y-2025=0,可化为y-1=2025 C.方程x2+8x+9=0,可化为(x+4)2=9 八方程2-6-7=0，可化为-- 题型二、解一元二次方程 5.(24-25九年级下·全国假期作业)用适当的方法解下列方程： (1)(x+1)2=9 (2)x2-4x=6 (3)2x2-3x-1=0 (4)(x-1)2=(2x+1)2 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(24-25八年级下·吉林阶段练习)用适当的方法解下列方程. (1)4x2-9=0; (2)x2-√2x=0: (3)x2+2x+2=0; (4)2x2+5x-3=0. 7.(24-25九年级下全国假期作业)用适当的方法解下列方程 (1）4x2-9=0 (2)x2-6x-7=0 (3)(x-3)2+2x(x-3)=0 (4)2x+1(x-2）=3 8.(24-25八年级下山东泰安期中)用适当的方法解方程 (1)4x+1)2=36: (2)x2-2x+8=0; (3川y+3)y-1=2; (4)2x2-2N2x+1=0. 题型三、解一元二次方程中错解复原问题 9.数学课上，老师展示了班级某位同学解方程3x2-6x+1=0的过程，其过程如下： 解：3x2-6x=-1 第一步 x2-2x=-1 第二步 x2-2x+1=-1+1 第三步 (x-1)2=0 第四步 x=x2=1 第五步 (1)第三步的依据是 (2)该同学的解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 (3)请直接写出该方程的正确解. 10.解方程x2=3x+2时，小明同学解答过程如下： 第①步：a=1,b=3,c=2 第②步.△=b2-4ac=32-4×1×2=1>0 第®步：x=-b±V62-4ac_-3士1 2a 第④步.x=-1,x2=-2. 小华同学发现解题过程中存在错误，请你指出错误的是第步；并写出正确的解题过程. 2/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.(24-25九年级上贵州遵义.期中)小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程x2-4x-1=0过 程如下： x2-4x=1① x2-4x+4=1② (x-22=1③ x-2=±1④ x1=3,x2=1⑤ (1)小明解方程过程中，从步开始出现错误；（填序号） (2)请利用配方法正确解方程x2-4x-1=0 12.如图是小明解一元二次方程2x2-4x-10=0的过程， 解：二次项系数化为1，得x2-2x-5=0,第一步 移项，得x2-2x=5,第二步 配方，得x2-2x+4=5+4,即(x-2)2=9,…第三步 由此可得x-2=士3，第四步 所以x=5,x2=-1第五步 (1)在小明的解题过程中，从第步开始出现错误，出现错误的原因： (2)请写出正确的解答过程. 题型四、十字相乘法解一元二次方程 13.阅读下列材料： (1)将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面方法解答： x2-35 解：步骤：①竖分二次项与常数项x+7 -5 x/+7=7x ②交叉相乘，验中项：x入5=-5x7x+(-5)=2x. ③横向写出两因式：x2+2x-35=（x+7)(x-5). 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法. (2)根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0. ①x2-10x+21=0; ②x2+2x=8. 14.(1)将2x2-3x-2进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解：①坚分二次项与常数项：2x2=x·2x,-2=（-2)×1. ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： 、 2x x1+2x(-2)=-3x ③横向写出两因式：2x2-3x-2=(x-2)(2x+1. 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法。 (2)根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0. 试用上述方法和原理解下列方程： ①x2-3x+2=0; ②x2-x-6=0; ③x2-(2+V5)x+V6=0; ④2x2+x-6=0. 15.阅读与理解： (1)将2x2-3x-2进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：2x2=2x·x,-2=(-2)×1. ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：2x2-3x-2=(2x+1)(x-2). 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法， (2)例：解方程x2-3x+2=0. 解：(x-2)(x-1)=0,x-2=0,或x-1=0,x1=2,x2=1. 请用上述方法解答下列问题. (3)①因式分解：x-4r+3=」 ,3x2-4x-4= ②解方程：x2-5x+4=0. ③直接写出方程2024x2+2019x-5=0的解， 2x 2x(-2)+x1=-3x 16.(24-25九年级上·湖南郴州期中)阅读与理解： (1)将2x2-3x-2进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：2x2=2x·x,-2=(-2)×1. ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）： 4/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③横向写出两因式：2x2-3x-2=(2x+1)(x-2). 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法. 2x\/1 x义-2 2x(-2)+x1=-3x (2)例：解方程x2-3x+2=0. 解：（x-2)x-1=0, x-2=0或x-1=0, x1=2,2=1; 请用上述方法解答下列问题. (3)①因式分解：x2-4x+3=一 ②解方程：2024x2+2019x-5=0: ③已知m2-6mn+8m2=0(n≠0)，求”的值. n 题型五、换元法解一元二次方程 17.【例】解方程(x-1)2-5(x-1)+4=0. 解：设x-1=y, 则原方程可化为y2-5y+4=0, 解得乃1=1，y2=4 当y=1时，x-1=1,解得x=2; 当y=4时，x-1=4,解得x=5. 综上所述，原方程的解为x=2,x2=5, 上述解法称为“整体换元法”。 请运用“整体换元法"”解方程： (1)x4-3x2-4=0. (2川x2-2)-11x2-2+18=0. 18.阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题. 材料：为解方程x4-x2-2=0,可将方程变形为(x2)2-x2-2=0, 然后设x2=y,则(x2)2=y2,原方程化为y2-y-2=0, 解得y1=-1,2=2, 当y=-1时，x2=-1无意义，舍去： 当y2=2时，x2=2,解得x=±√2； 所以原方程的解为x=√2或x=-√. 5/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 问题： 1)已知方程2=x-x+1,若设x2-x=m,则原方程化为一般式为 x2-x (2)利用以上学习到的方法解下面方程：(x2-3x+1)(x2-3x+2)=6 19.【阅读材料】 方程(x2-1-5(x2-1+4=0是一个一元四次方程，我们可以把x2-1看成一个整体，设x2-1=y,则原方 程可化为y2-5y+4=0①， 解方程①可得y=1,y2=4; 当y=1时，x2-1=1,即x2=2,x=±√2； 当y=4时，x2-1=4,即x2=5,x=±√5： 原方程的解为x1=√2，x2=-√2，x=V5,x4=-V5. 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到」 的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学 的转化思想； 2)已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8,求x2+y2的值； 3)请仿照材料中的方法，解方程：（x2-2x2-4(x2-2x=0. 20.阅读材料：为解方程(x2-1-5x2-1+4=0,我们可以将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y,则 (x2-)2=y2,原方程化为y2-5y+4=0. 解得y=1,y2=4 当y=1时，x2-1=1,.x2=2x=±√2： 当y=4时，x2-1=4,.x2=5x=±5 原方程的解为x,=√2，x,=-√2，x,=√5，x4=-5: 请利用以上知识解决下列问题： 如果(m2+n2-1(m2+n2+2）=4,求m2+n2的值， 题型六、一元二次方程中的新定义型问题 21.用适当的方法解下列方程， (1)①3x2+x-5=0 ②(2x+1)(x-3)-4=0 (2)定义新运算“⊕"如下：当a≥b时，a⊕b=ab-a;当a<b时，a⊕b=ab+a,若2x©(x+l)=8,求的 值 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 22.对于任意实数a,b(a+0)规定一种新运算：a*b=a°+ab-2.例如：3*2=32+3×2-2=13.请根据上 述定义解决以下问题： (1)计算：（-2*3. (2)若(-x*2的值为1，求x的值. 23.对于实数a,b定义运算“⑧"为a⑧b=a2-ab-b2,如3⑧5=32-3×5-52=9-15-25=-31.请根据这 个规定解答下列问题： 1)求(5-7)⑧(5+万)的值： (2)解方程：(2x-1⑧x=-1」 24.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如： x2=9和(x-2)(x+3)=0有且只有一个相同的实数根x=-3,所以这两个方程为“同伴方程”. (1)根据定义，判断一元二次方程(x-1)2=16与x2-4x-5=0是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程x2-3x+2=0与x2+x+m-1=0为“同伴方程”，求m的值. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25八年级下.安微滁州期末)一元二次方程x(x+4)=5(x+4)的根是() A.x=5 B.x=-4 C.x=5,x2=-4D.x1=-5,x2=-4 2.(24-25八年级下.安徽合肥期中)用配方法解一元二次方程2x2-4x-1=0时，配方正确的是（) 4x- B.-2=月 C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=5 3.(2425八年级下山东淄博期中)若x2±6-4x-口可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元 2×3 二次方程为() A.3x2+2x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.-x2-2x+3=0 D.3x2-2x-1=0 a b 4.(24-25九年级上贵州毕节期中)对于实数a,b,c,d,定义运算 拿e dad-bc,我们把它叫做二阶 行列式，例如： 12 =1×4-2×3.若 +13 34 xx =8,则x的值为() 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.-2或4 B.2或-4 C.2或4 D.-2或-4 二、填空题 5.对于方程+日-2+6，用淡元法解，可设+上，则原方程为一 6.在正实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b2,根据这个规则，那么方程2x+3)*7=0的解 是 7.(23-24九年级上四川南充期中)如果m,n满足m2+2m-2=0,n2+2n-2=0,且m≠n,则”+”的 n m 值为一 8.(24-25九年级上·重庆忠县期中)已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程 x2-8x+15=0的一个实数根，则该三角形的周长是 三、解答题 9.(24-25九年级上.青海西宁.期中)用适当的方法解方程 (1)(x+2)2-25=0: (2)2x2-4x+3=0; (3)x2-2x-8=0; (4)2xx-3=5(x-3 10.(24-25八年级下山东烟台期中)用指定的方法解方程： (1)2x2-8x-1=0(配方法〉 (2)3x2-5x+1=0(公式法) (3)x2-6x-27=0(因式分解法) (4)2(3x-2)=9x2-4(用适当的方法) 11.(24-25八年级下北京期中)用适当的方法解下列关于x的方程： (1)2x=xx+4 (2)x3-2x+1=0 (3)x2-m+2）x+m+1=0 (4)(x2+2x)2+2x2+2x-3=0; 12.下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题. 解一元二次方程：6x2-2x=1-3x 解：原方程可以化为：2x3x-1=-(3x-1第一步 两边同时除以(3x-1得：2x=-1第二步 系数化为1，得：X=第三步 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第 步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程 13.(23-24八年级下·黑龙江哈尔滨期中)定义新运算：对于任意实数a、b,都有a⊕b=aa-b)+1等式 右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×2-5+1=2×-3+1=-6+1=-5· (1)若x⊕(-4)=6，求x的值： (2)若m、n均为实数，且3⊕m的值小于10，判断关于x的方程2x2-x-m=0的根的情况. 14.【阅读材料】请阅读下面解方程x2+1-2x2+1-3=0的过程 解：设x2+1=y,则原方程可变形为y2-2y-3=0. 解得乃=3，=-1. 当y=3时，x2+1=3,.x=±√2.当y=-1时，x2+1=-1,x2=-2,此方程无实数根， ·原方程的根为x1=V2,x,=-√2. 我们将上述解方程的方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化的思想， 请用上述方法解下列方程： (1)(2x+5)2-42x+5)+3=0 (2）x4-8x2+7=0 9/9