第二十七章 一元二次方程（单元自测·提升卷）数学人教版五四制八年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十七章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，下列变形正确的是 （    ） A． B． C． D． 4．若是方程的一个根，则k的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 5．分别以一元二次方程的两根为腰和底画一个等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．10 B．8 C．10或8 D．10或6 6．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百八十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（    ） A．3步 B．5步 C．6步 D．9步 7．已知关于x的一元二次方程的两实数根为，且满足，则的值为（    ） A． B．6 C．4或 D．或6 8．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 9．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 10．如图，在正方形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动．设，两点移动的时间为．在，两点移动的过程中，当的长度为时，的值为（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．3或4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．结论开放题写出一个以2和3为根的一元二次方程： ． 12．若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ． 13．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 14．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ． 15．设，是方程的两个实数根，则的值是 ． 16．如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1) ； (2)． 18．解方程： (1)， (2)． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，方程的两个根是，，求的值． 20．关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 21．体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是体育中考中学生选择较多的两个考试项目，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为35元，销售价为58元．经统计，4月份的销售量为256套，6月份的销售量为400套． (1)求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式调查发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套装每套的销售价应为多少元？ 22．材料阅读：材料1：符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． 材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：．，．故或．因此原方程的解是，． 根据材料回答以下问题． (1)二阶行列式__________； (2)求解中的值； (3)结合材料，若，，且，求的值． 23．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求的值． 24．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； (3)若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 25．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】 参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】 小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形; 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ； 【拓展应用】 一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十七章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，未知项的最高次数是的整式方程是一元二次方程，解决本题的关键是根据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解：A选项：方程中只含有一个未知数，未知项的最高次数是，是整式方程，所以方程是一元二次方程，故A选项符合题意； B选项：方程中含有二个未知数，未知项的最高次数是，所以方程不是一元二次方程，故选项B不符合题意； C选项：方程中的未知数在分母的位置，是分式方程，不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：方程整理后得到：，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程，故D选项不符合题意． 故选：A． 2．将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常数，且，分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解． 【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是； 故选：B． 3．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，下列变形正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本考查配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再利用完全平方公式进行配方，即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选B． 4．若是方程的一个根，则k的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根，把代入方程，进行求解即可. 【详解】解：把代入方程，得：， 解得：； 故选B 5．分别以一元二次方程的两根为腰和底画一个等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．10 B．8 C．10或8 D．10或6 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，先解方程得到两根，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系确定各边长度，最后计算周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得 ，， ∵以一元二次方程的两根为腰和底画一个等腰三角形， 则：①若腰为2，底为4，则三边为2、2、4． 此时 ，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），舍去． ②若腰为4，底为2，则三边为4、4、2． 此时 ，，均满足三角形三边关系． ∴符合条件的三角形边长为4、4、2，周长为 ． 故选A 6．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百八十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（    ） A．3步 B．5步 C．6步 D．9步 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设矩形田地的长为步，则宽为步，根据面积公式列出一元二次方程，解方程后确定长和宽的具体数值，再求两者的差即可． 【详解】解：设长为步，则宽为步， ∴， 解得，， 当时，宽为步，满足长>宽，此时长比宽多（步）； 当时，宽为步，不符合长>宽的条件，舍去； 故选：C． 7．已知关于x的一元二次方程的两实数根为，且满足，则的值为（    ） A． B．6 C．4或 D．或6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程．根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程可求出m的值，即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程的两实数根为， ，，， ， ，即， 解得或， ， ， 故选：A． 8．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 9．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解．需分别代入各选项中的k值，计算判别式或直接解方程，判断根的情况． 【详解】A：当时，方程为，解得，有两个不相等的实根，正确． B：当时，方程为，解为，有解，原说法错误． C：当时，方程为：，判别式，方程有两个不相等的实根，原说法错误． D：当时，判别式．当时，，方程有两个相等实根，故“一定有两个不相等的实根”错误． 故选A． 10．如图，在正方形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动．设，两点移动的时间为．在，两点移动的过程中，当的长度为时，的值为（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．3或4 【答案】C 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、一元二次方程等知识，根据勾股定理列方程是关键． 在中求出对角线的长度，过点作于点，用含的代数式表示出、的长度，然后在中利用勾股定理得出，根据的长度等于列方程求解． 【详解】解：在正方形中，， ． 由题意，得，， ，． 如图，过点作于点， 则由勾股定理可得，， ， ． 在中， ， ， 即， 解得，． 故在，两点移动的过程中，当的长度为时， 的值为2或4． 故选：C ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．结论开放题写出一个以2和3为根的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题根据一元二次方程解的定义即可得到方程。 【详解】解：根据一元二次方程的解的定义， 则二次项系数为1的方程为， 即; 故答案为：（答案不唯一）. 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，解题的关键是熟记定义解题。 12．若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 根据方程无实数根，得，即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 13．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：依题意可得， 解得， 故答案为：． 14．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程，得， 所以， 所以． 故答案为：． 15．设，是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 由一元二次方程根与系数的关系可分别求出与的值，再化简要求的式子，代入即可得解． 【详解】解：由方程可知 ， 故答案为：． 16．如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了等面积法，解一元二次方程． 设，则，根据等面积法计算即可． 【详解】解：设， ∵矩形的面积为， ∴， ∴，， ∵ ∴ 整理得：， 解得：，， 故答案为：和． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1) ； (2)． 【答案】(1)，二次项系数是1，一次项系数是1，常数项是 (2)，二次项系数是 ，一次项系数是4，常数项是0，或，二次项系数是1 ，一次项系数是，常数项是0 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义，形如（a、b、c为常数，）的整式方程叫做一元二次方程，其中a为二次型系数，b为一次项系数，c为常数项． 【详解】（1）解： ， 二次项系数是1，一次项系数是1，常数项是； （2）解：， ，或 二次项系数是 ，一次项系数是4，常数项是0或二次项系数是1 ，一次项系数是，常数项是0． 18．解方程： (1)， (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （2）先移项，再把方程左边分解因式得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，方程的两个根是，，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号进行判断即可； （2）根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ； ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）由题意，当时，， ∴． 20．关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 【答案】(1)方程有两个实数根 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，也考查了根的判别式． （1）计算判别式的值得到即可得解； （2）利用公式法求出方程的两个解为，，再根据三角形的三边关系，结合等腰三角形的定义进行分类讨论即可． 【详解】（1）证明：． 方程有两个实数根； （2）解：由，且， 得 ∴，， 即、的长为，， 当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得； 当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件． 综上所述，． 21．体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是体育中考中学生选择较多的两个考试项目，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为35元，销售价为58元．经统计，4月份的销售量为256套，6月份的销售量为400套． (1)求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式调查发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套装每套的销售价应为多少元？ 【答案】(1) (2)跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为，拿4月份的销售量乘以等于6月份的销售量建立方程求解； （2）设该款跳绳和排球套装售价为元，则每件的销售利润为元，根据每件利润乘以数量得到总利润建立方程求解． 【详解】（1）解：设该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设该款跳绳和排球套装售价为元，则每件的销售利润为元． 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答：该款跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元． 22．材料阅读：材料1：符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． 材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：．，．故或．因此原方程的解是，． 根据材料回答以下问题． (1)二阶行列式__________； (2)求解中的值； (3)结合材料，若，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，正确理解二阶行列式的计算法则是解题的关键． （1）根据二阶行列式的计算法则求解即可； （2）根据题意可得，解方程即可得到答案； （3）分别求出m、n，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 23．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）根据判别式可知，据此求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再由完全平方公式得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）． ∴ 24．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； (3)若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)根为2，，不是邻根方程 (2)或 (3) 【分析】（1）分别解出方程的根，根据两根差值是否为1进行判断； （2）解出方程的根，令两根差的绝对值为1，从而得到关于m的方程； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值； 本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ∵， 不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的方程是邻根方程， ∴， ∴， 故或； （3）解：∵关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 答：t的最大值为4． 25．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】 参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】 小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形; 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ； 【拓展应用】 一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 【答案】[理解应用] ③[类比迁移] ，，； [拓展应用] ，3，1或3． 【分析】[理解应用]依据题干方法得到，再根据图形很容易判断； [类比迁移]与题干思路一致，需要注意的是画出图形更容易得解； [拓展应用]先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，进而分类讨论求解即可． 本题考查了一元二次方程的应用、矩形的性质等内容，能知道系数、与各图形面积的关系是解题的关键． 【详解】解：[理解应用] ∵， ∴， 结合题意，将看作一个长为，宽为，面积为的矩形， ∴很容易观察出构图是③， 故答案为：③； [类比迁移] ， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：；解得原方程的一个根为； 故答案为：，，； [拓展应用] ， ， ， ∴四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ，， 解得：，， 当时，， ∴，，方程的一个正根为1； 当时，， ∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为：，3，1或3． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十七章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，下列变形正确的是 （    ） A． B． C． D． 4．若是方程的一个根，则k的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 5．分别以一元二次方程的两根为腰和底画一个等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．10 B．8 C．10或8 D．10或6 6．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百八十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（    ） A．3步 B．5步 C．6步 D．9步 7．已知关于x的一元二次方程的两实数根为，且满足，则的值为（    ） A． B．6 C．4或 D．或6 8．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 9．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 10．如图，在正方形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动．设，两点移动的时间为．在，两点移动的过程中，当的长度为时，的值为（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．3或4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．结论开放题写出一个以2和3为根的一元二次方程： ． 12．若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ． 13．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 14．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ． 15．设，是方程的两个实数根，则的值是 ． 16．如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1) ； (2)． 18．解方程： (1)， (2)． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，方程的两个根是，，求的值． 20．关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 21．体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是体育中考中学生选择较多的两个考试项目，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为35元，销售价为58元．经统计，4月份的销售量为256套，6月份的销售量为400套． (1)求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式调查发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套装每套的销售价应为多少元？ 22．材料阅读：材料1：符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． 材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：．，．故或．因此原方程的解是，． 根据材料回答以下问题． (1)二阶行列式__________； (2)求解中的值； (3)结合材料，若，，且，求的值． 23．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求的值． 24．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； (3)若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 25．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】 参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】 小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形; 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ； 【拓展应用】 一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十七章 一元二次方程·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B B A C A D A C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（答案不唯一） 12． 13． 14．2025 15． 16．和 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解： ， 二次项系数是1，一次项系数是1，常数项是；..............3分 （2）解：， ，或 二次项系数是 ，一次项系数是4，常数项是0或二次项系数是1 ，一次项系数是，常数项是0．..............6分 18． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得；..............3分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得．..............6分 19． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ； ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；..............3分 （2）由题意，当时，， ∴．..............6分 20． 【详解】（1）证明：． 方程有两个实数根；..............2分 （2）解：由，且， 得 ∴，， 即、的长为，， 当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得； 当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件． 综上所述，．..............6分 21． 【详解】（1）解：设该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为．..............3分 （2）解：设该款跳绳和排球套装售价为元，则每件的销售利润为元． 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答：该款跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元．..............8分 22． 【详解】（1）解：由题意得，；..............2分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得；..............5分 （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得．..............8分 23． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∴， ∴；..............3分 （2）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）． ∴ ..............8分 24． 【详解】（1）解：， ， ， ∵， 不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程；..............4分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的方程是邻根方程， ∴， ∴， 故或；..............8分 （3）解：∵关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 答：t的最大值为4．..............12分 25． 【详解】解：[理解应用] ∵， ∴， 结合题意，将看作一个长为，宽为，面积为的矩形， ∴很容易观察出构图是③， 故答案为：③；..............2分 [类比迁移] ， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：；解得原方程的一个根为； 故答案为：，，；..............8分 [拓展应用] ， ， ， ∴四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ，， 解得：，， 当时，， ∴，，方程的一个正根为1； 当时，， ∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为：，3，1或3．..............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $