培优01 选用合适的方法解一元二次方程（3大题型13重难点突破）（专项训练）数学人教版五四制八年级下册

培优01 选用合适的方法解一元二次方程 （3大题型13重难点突破） 题型1 一元二次方程的基础 一元二次方程必须同时具备以下三个条件： 1）一元，是指方程中只含有一个未知数.若含有其它字母，必须说明它们是常数. 2）二次，是指方程化简后未知数的最高次数是2. 3）整式方程，是指未知数不可以在分母上. 重难点一 根据一元二次方程的定义求参数 1．（24-25八年级下·广西百色·期中）若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 3．（24-25九年级下·全国·假期作业）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 重难点二 已知一元二次方程的根求参数 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．6 5．（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 6．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）已知一元二次方程有一个根为零，求的值． 重难点三 已知一元二次方程的根求参数代数式的值 7．（24-25九年级上·吉林·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 8．（2025·吉林长春·三模）若a是方程的一个根，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若m是方程的一个实数根，则的值为 ． 10．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）已知m为方程的根，那么的值为 ． 11．（24-25八年级下·北京·期中）已知是方程的根，求代数式的值． 题型2 解一元二次方程 解一元二次方程的基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 根据方程的特点，选择适当的求根方法： 1）若方程具有的形式，可用直接开平方法求解； 2）当一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法求解. 3）公式法是一种最常用的方法，用时一定要把一元二次方程化为一般形式，确定a，b，c的值，在的条件下代人公式求解. 【总结】对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑;对于整系数的一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式法. 重难点一 选用合适的方法解一元二次方程 1．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 2．（24-25八年级下·山东泰安·期中）用适当的方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）解方程 (1) (2) (3) 4．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）用适当的方法解方程： (1) (2) (3) (4) 5．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 重难点二 换元法解一元二次方程 6．（2025九年级上·全国·专题练习）换元法解方程：． 7．（24-25九年级上·广西南宁·期中）阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 8．（24-25九年级上·广东韶关·期中）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得．当时，．当时，原方程的解为．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)请用上述方法解方程：． (2)已知实数满足，求的值． 9．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）阅读与思考：小悦同学解一元二次方程的方法如下所示，请完成相应的任务． 利用均值换元法解一类一元二次方程 解方程： 第一步： 原方程可变形为：； 第二步：令 第三步： 第一步的方程可变形为； 第四步： ……； 根据t的值可以求出 方法总结：求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元二次方程，因此，这种方法称为均值换元法． 我们在解决形如 (其中a， b， c， d是常数， 且)的方程时可以利用均值换元法求解． (1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是 ； A． 分类讨论思想       B． 数形结合思想       C． 整体代换思想      D． 类比思想 (2)完成材料中第三步以后求t值的过程； (3)根据材料内容，利用均值换元法解方程： 重难点三 解含绝对值的一元二次方程 10．（2025九年级上·全国·专题练习）解方程． 11．（24-25九年级上·河南安阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 任务：请参照上述方法解方程：． 12．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 重难点四 一元二次方程公共解问题 13．（22-23九年级上·广西贵港·期中）关于的两个方程与有一个解相同，试求的值． 14．（22-23九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的一个解与方程的解相同，求： (1)k的值； (2)方程的另一个解． 重难点五 解分式方程/含根式方程 15．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）类比思想是根据对两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征推测另一事物的相应特征存在的思维活动，类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识． (1)解高次方程的基本思想是“降次”，类比一元二次方程的解法，解方程 (2)解分式方程的基本思想：去分母化为整式方程．类比解可化为一元一次方程的分式方程的方法和步骤，解分式方程； (3)解多元方程的基本思想是“消元”；解高次方程的基本思想是“降次”．类比解二元一次方程组和一元二次方程的方法，解方程组． 16．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）尝试用解方程的方法求无限循环分式：． 17．（23-24九年级上·全国·课后作业）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对于同学们来说具有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体，设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设， 则原方程换元为． ， 或， 解得，， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 重难点六 一元二次方程的整数解问题 18．（23-24九年级下·上海·自主招生）若有整数解，则 ． 19．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）满足方程的正整数解为 ． 20．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）关于的一元二次方程有两个实数根，则的最大整数解是 ． 21．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）方程的负整数解为 ． 22．（24-25八年级下·山东·阶段练习）求方程的正整数解． 重难点七 与解一元二次方程有关的新定义问题 23．（24-25九年级下·山东烟台·期末）定义：若是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差1方程”． (1)下列方程是“差1方程”的是______ ；（填序号） ①；②；③． (2)若方程是“差1方程”，求的值． 24．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于x的方程是“倍根方程”． 25．（24-25八年级下·广西贺州·期末）我们定义一种新运算“※”：对于任意实数、，都有．例如：．已知关于的方程． (1)先将按照新定义运算展开并化简，得到关于的一元二次方程； (2)求解这个一元二次方程． 26．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． (1)方程__________（填是或不是）“差积方程”； (2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值． (3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 题型3 配方法的应用 求多项式的最值时，要先把多项式配方成的形式.若a＞0，则代数式有最小值；若a＜0，则代数式有最大值. 重难点一 用配方法解多元方程 1．（23-24九年级下·浙江·自主招生）若，则 ． 2．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，则的值等于 ． 3．（24-25九年级上·四川内江·期中）若实数x，y满足，则的值是 ． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知实数a，b满足：，则 ． 重难点二 运用配方法比较大小 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得： ． 6．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 7．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）【阅读材料】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)利用作差法比较与1的大小； (2)比较 与大小； (3)已知x，y，m为实数，满足，，比较x与y的大小． 重难点三 运用配方法求最值 8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若多项式．那么的最小值是 ． 9．（24-25九年级上·福建漳州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是． (1)【类比探究】 代数式的最小值是 ； (2)【灵活运用】 试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； (3)【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为：的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 10．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如：， ∵ ． 则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小或最大值． 【拓展提高】 （3）已知a、b、c是的三边长，满足，求c的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01 选用合适的方法解一元二次方程 （3大题型13重难点突破） 题型1 一元二次方程的基础 一元二次方程必须同时具备以下三个条件： 1）一元，是指方程中只含有一个未知数.若含有其它字母，必须说明它们是常数. 2）二次，是指方程化简后未知数的最高次数是2. 3）整式方程，是指未知数不可以在分母上. 重难点一 根据一元二次方程的定义求参数 1．（24-25八年级下·广西百色·期中）若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：依题意可得， 解得， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·全国·假期作业）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 重难点二 已知一元二次方程的根求参数 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，将代入，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得：， 故选：A． 5．（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 6．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）已知一元二次方程有一个根为零，求的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由一元二次方程有一个根为零，得到，然后求解，再利用一元二次方程的定义确定的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程有一个根为零， ， 解得：，， ∵方程为一元二次方程， ∴ ；即， ∴不符合题意，舍去， ∴的值为． 重难点三 已知一元二次方程的根求参数代数式的值 7．（24-25九年级上·吉林·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】58 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：58． 8．（2025·吉林长春·三模）若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入计算，即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：2024． 9．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若m是方程的一个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中可得，再根据即可求出答案． 【详解】解：∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 10．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）已知m为方程的根，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，则，进而可得，，进一步可得，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵m为方程的根， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 11．（24-25八年级下·北京·期中）已知是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把所求代数式变形，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ， ． 题型2 解一元二次方程 解一元二次方程的基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 根据方程的特点，选择适当的求根方法： 1）若方程具有的形式，可用直接开平方法求解； 2）当一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法求解. 3）公式法是一种最常用的方法，用时一定要把一元二次方程化为一般形式，确定a，b，c的值，在的条件下代人公式求解. 【总结】对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑;对于整系数的一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式法. 重难点一 选用合适的方法解一元二次方程 1．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）变形后，利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）， ∴， ∴或， 解得：，； （4）， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解． 2．（24-25八年级下·山东泰安·期中）用适当的方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)方程没有实数根 (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键． （1）运用直接开方法求解即可； （2）运用公式法求解即可； （3）将方程整理后，运用公式法求解即可； （4）运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 变形为：， 开方，得：， ∴，． （2）解：， ∵，，， ∴， ∴该方程没有实数根． （3）解：， 整理，得， ∵，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． （4）解：， 因式分解，得， ∴， ∴． 3．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）变形后利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）变形后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴，． （2） ∴ ∴ ∴或 解得， （3）， ∴， ∴， ∴，即， ∴或， 解得：，． 4．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）用适当的方法解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （2）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （3）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （4）利用提公因式法把方程左边分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解；∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴或， 解得，； （2）解；∵， ∴， ∴或， 解得，； （3）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （4）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 5．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，； (6)，． 【分析】本题主要考查了灵活运用适当的方法解一元二次方程， （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得； （3）利用配方法求解可得； （4）利用因式分解法求解可得； （5）利用配方法求解可得； （6）利用配方法求解可得； 熟练掌握解一元二次方程各种方法是解决此题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ，； （3）解：， ， ， 或， ，； （4）解：， ， ， 或， ，； （5）解：， ， ， ， ， 或， ，； （6）解：， ， ， ， ， 或， ，． 重难点二 换元法解一元二次方程 6．（2025九年级上·全国·专题练习）换元法解方程：． 【答案】，， 【分析】本题主要考查利用整体思想及换元法、因式分解法求一元二次方程的根，能够熟练运用式子相乘以及整体思想是解题关键设，则，解方程得到或，带回后再解一元二次方程求解未知数的值即可． 【详解】解：设．则． 解得或． 当时，，即． 解得． 当时，，即． 解得，． 综上所述，原方程的解为，，． 7．（24-25九年级上·广西南宁·期中）阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 【答案】；或； 【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，先根据题意填空，再设，最后仿照题干过程解方程即可． 【详解】解：设，原方程化为①， ∴， 解得或． 当时，， ∴， ； 当时，， ∴， ； 原方程的解为． 设，则原方程可化为， ∴， ∴或， 当时，，此时方程无解； 当时，， ∴， ． 8．（24-25九年级上·广东韶关·期中）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得．当时，．当时，原方程的解为．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)请用上述方法解方程：． (2)已知实数满足，求的值． 【答案】(1)，，，； (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程： （1）设，将原方程变形为，求出y值，进而利用直接开平方法解方程即可； （2）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程化为：， 解得：，， 当时，， ， 当时，， ， 原方程的解为：，，，； （2）解：设， 则原方程化为：， 解得：， ， ， ． 9．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）阅读与思考：小悦同学解一元二次方程的方法如下所示，请完成相应的任务． 利用均值换元法解一类一元二次方程 解方程： 第一步： 原方程可变形为：； 第二步：令 第三步： 第一步的方程可变形为； 第四步： ……； 根据t的值可以求出 方法总结：求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元二次方程，因此，这种方法称为均值换元法． 我们在解决形如 (其中a， b， c， d是常数， 且)的方程时可以利用均值换元法求解． (1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是 ； A． 分类讨论思想       B． 数形结合思想       C． 整体代换思想      D． 类比思想 (2)完成材料中第三步以后求t值的过程； (3)根据材料内容，利用均值换元法解方程： 【答案】(1)C (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程： （1）根据题意可得体现的数学思想是整体代换思想； （2）根据平方差公式去括号得到，解得，则或，据此可得答案； （3）先整理原方程得到，再令，则原方程为，仿照（2）解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，利用均值换元法解方程体现的数学思想是整体代换思想， 故选：C； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴或， 解得； （3）解： 整理得：， 令，则原方程为， ∴， ∴， ∴或， 解得． 重难点三 解含绝对值的一元二次方程 10．（2025九年级上·全国·专题练习）解方程． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：分两种情况： ①当，即时，原方程化为， 即,解得； ②当，即时，原方程化为， 即,解得（舍去），（舍去）． 综上所述，原方程的解是． 11．（24-25九年级上·河南安阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 任务：请参照上述方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题． 本题先分类讨论，将绝对值方程化为一元二次方程，进而求解一元二次方程，舍弃不符合条件的答案，即可得到本题的答案； 【详解】解：分两种情况讨论 （1）当时，原方程可化为， 解得：，（舍去）； （2）当时，原方程可化为， 解得：，（舍去）； ∴综上所述，原方程的根是，． 12．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 【答案】，（舍去）；，；， 【分析】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：②当时，原方程化为， 或 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，； ①当时，即时，原方程化为： ∴ 或 解得，（舍去）； ②当时，即时，原方程化为 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，． 重难点四 一元二次方程公共解问题 13．（22-23九年级上·广西贵港·期中）关于的两个方程与有一个解相同，试求的值． 【答案】 【分析】运用因式分解法求出一元二次方程的解，然后根据分式方程的分母不为零和分式方程解的定义代入计算即可． 【详解】解：由因式分解得， ∴或， ∴，， ∵使分式方程的分母为0， ∴两个方程相同的解是， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解． 【点睛】本题考查的是因式分解法解一元二次方程和分式方程解的定义，正确运用因式分解法解出一元二次方程是解题的关键． 14．（22-23九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的一个解与方程的解相同，求： (1)k的值； (2)方程的另一个解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出方程的解，再将其代入，即可求出k的值； （2）将（1）中求出的k的值代入，求解即可． 【详解】（1）解：， 解得：， 经检验是原方程的根， ∵方程的一个解与方程的解相同， ∴是的一个解， 当时，， ∴； （2）解：当时，原方程为：， 解得：或， ∴原方程的另一个解为． 【点睛】本题主要考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步骤． 重难点五 解分式方程/含根式方程 15．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）类比思想是根据对两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征推测另一事物的相应特征存在的思维活动，类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识． (1)解高次方程的基本思想是“降次”，类比一元二次方程的解法，解方程 (2)解分式方程的基本思想：去分母化为整式方程．类比解可化为一元一次方程的分式方程的方法和步骤，解分式方程； (3)解多元方程的基本思想是“消元”；解高次方程的基本思想是“降次”．类比解二元一次方程组和一元二次方程的方法，解方程组． 【答案】(1) (2)原分式方程的解为 (3)， 【分析】（1）先移项、然后通过提取公因式和公式法因式分解，最后运用因式分解法求解即可； （2）通过去分母将分式化成整式方程求解，最后检验即可解答； （3）通过代入消元法可得到关于y的一元二次方程，进而求得y的值，然后再将y的值分别代入求得y的值即可解答． 【详解】（1）解： 移项得： 提公因式得： 平方差公式继续分解得： ∴或或 ． （2）解： 去分母得：， 整理得：，解得， 检验：把代入，；把代入，． ∴是增根， ∴原分式方程的解为． （3）解：， 由②得③， 把③代入①，得：， 解得把分别代入③可得：． ∴原方程组的解为，． 【点睛】本题主要考查了解高次方程、解分式方程、解二元二次方程组等知识点，掌握化归思想是解答本题的关键． 16．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）尝试用解方程的方法求无限循环分式：． 【答案】 【分析】设，根据循环分式的特点得出，，解这个方程即可求解． 【详解】解：设 ∴ 即 解得 ∵ ∴ 即 【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 17．（23-24九年级上·全国·课后作业）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对于同学们来说具有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体，设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设， 则原方程换元为． ， 或， 解得，， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观，难度适中．同时也考查了无理方程的解法． （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，把原方程化为，然后求解，同时注意． 【详解】（1）解：设，则原方程可变形为， ， 或． 当时，，； 当时，，． ∴原方程的解为，，，． （2）解：设，则， 所以原方程可化为， ， 或（舍去）． 当时，． 两边平方，得． ． ． ，． 经检验，，是原方程的解， ∴原方程的解为，． 重难点六 一元二次方程的整数解问题 18．（23-24九年级下·上海·自主招生）若有整数解，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了一元二次方程的整数解，将方程转化为的形式，根据x、y均为整数可得，，由此可求解，将原方程变形处理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y是整数， ∴且， 解得或， 故答案为：4或． 19．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）满足方程的正整数解为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程；先将方程变形为关于的一元二次方程，进而根据题意得出判别式为完全平方数，进而求得的值，逐个代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ，是完全平方公式 ∴或或或或 解得： 当时，， 解得：（不合题意），， 当时，， 解得：，， ∴，， 故答案为：，，． 20．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）关于的一元二次方程有两个实数根，则的最大整数解是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了根的判别式；熟练掌握“一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式的意义得到，再解不等式，然后在的取值范围找出最大的整数即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∴的最大整数解为1． 故答案为：1． 21．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）方程的负整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查换元法在解一元二次方程中的应用，设，，则，则可得，可得，即可得到或，再解方程即可，仔细观察得到是解题的关键． 【详解】解：设，，则， 可得， 解得， 或， 解得， 故方程的负整数解为， 故答案为：． 22．（24-25八年级下·山东·阶段练习）求方程的正整数解． 【答案】原方程的正整数解为，，． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程；先将方程变形为关于x的一元二次方程，进而根据题意得出判别式为完全平方数，进而求得y的值，逐个代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：以x为主元，有，方程的正整数解． 则是完全平方数， 所以，1，4，9，16，解得，4． 当时，，，（舍）； 当时，，，． 所以原方程的正整数解为，，． 重难点七 与解一元二次方程有关的新定义问题 23．（24-25九年级下·山东烟台·期末）定义：若是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差1方程”． (1)下列方程是“差1方程”的是______ ；（填序号） ①；②；③． (2)若方程是“差1方程”，求的值． 【答案】(1)② (2)或 【分析】本题以新定义题型为背景，考查一元二次方程的求解，掌握各类求解方法是解题关键． （1）分别求出方程的解即可判断； （2）利用因式分解法解出方程，再根据“差方程”的定义即可求解． 【详解】（1）解：①， ， ∴， ，不是整数根，故①不是“差方程”； ②， ， ∴， ∴，故②是“差方程”； ③， ， ， ∴， ∴方程无整数根，故③不是“差方程”； 故答案为：②； （2）解： ， 解得：，. ∵方程为“差方程”，m为整数， ∴， 解得：或． 24．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于x的方程是“倍根方程”． 【答案】(1)是“倍根方程”，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）先解一元二次方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）先转化一元二次方程求解，再根据“倍根方程”的定义判断即可． 【详解】（1）解：是“倍根方程”，理由如下： ，解得：， 所以，则是“倍根方程”； （2）证明：∵点在双曲线y上， ∴，且， ∴方程化为方程，解得：， ∴， ∴方程是“倍根方程”． 25．（24-25八年级下·广西贺州·期末）我们定义一种新运算“※”：对于任意实数、，都有．例如：．已知关于的方程． (1)先将按照新定义运算展开并化简，得到关于的一元二次方程； (2)求解这个一元二次方程． 【答案】(1) (2)此方程无实数根 【分析】本题考查定义新运算，一元二次方程的判别式． （1）根据新运算列出一元二次方程； （2）计算得到判别式小于零，进而得到方程无解． 【详解】（1）解：按照新定义运算展开： ， 所以得到关于的一元二次方程为； （2）解：对于一元二次方程， 其中，，     判别式．     所以此方程无实数根． 26．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． (1)方程__________（填是或不是）“差积方程”； (2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值． (3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)2 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）先解方程得出，，根据新定义得出，求出，根据它的一个实数根为，得出，整体代入求出结果即可． 【详解】（1）解：， 即， 解得：， ， ∴不是差积方程； （2）解：， 即， 解得：，， ∵是差积方程， ， 即或． 解得：或； （3）解：， 解得：， ，， ∵是差积方程， ， 即， 即， ∵它的一个实数根为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 题型3 配方法的应用 求多项式的最值时，要先把多项式配方成的形式.若a＞0，则代数式有最小值；若a＜0，则代数式有最大值. 重难点一 用配方法解多元方程 1．（23-24九年级下·浙江·自主招生）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，熟练掌握利用完全平方公式配方是解题的关键．先通过等式的变形对等式左边进行变形及配方，再利用非负数的性质求解即可． 【详解】解：， 两边同乘以，得：， 变形为：， 得：， ∵，，， ∴，，， 解得：，，， 则， 故答案为：． 2．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了裂项法求和、配方法的应用，学会利用配方法求出未知数的值是解题的关键．利用配方法把方程变形为，求出的值，再代入到题目中的式子，利用裂项法求和即可解答． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川内江·期中）若实数x，y满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．把方程配成关于的一元二次方程，利用根的判别式求得的值，再代入原方程求得的值，从而求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵实数x满足， ∴ ， ∵， ∴， 解得， 把代入原方程，得， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知实数a，b满足：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平方的非负性和算术平方根的非负性，配方法的应用，将原方程配成平方和等于0的形式是解题的关键．先配成平方和等于0的性质，再利用平方和算术平方根的非负性得出和，然后再代入分式求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴且 ∴，即，， ∴， 故答案为： 重难点二 运用配方法比较大小 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式，利用作差法和配方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)20 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的面积，解题的关键是掌握配方法． （1）利用“配方法”计算即可； （2）两式相减，差和0比较，确定大小； （3）大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值． 【详解】（1）解：， ， ， 的最大值为； （2） ， ， ； （3），点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动 点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ， S的最小值为20． 7．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）【阅读材料】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)利用作差法比较与1的大小； (2)比较 与大小； (3)已知x，y，m为实数，满足，，比较x与y的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算，结合，比较大小鄂大即可； （2）作差，，分类计算解答即可； （3）根据，， 两式相减，得，整理得，，比较解答即可． 本题考查了实数的作差法比较大小，实数的非负性，熟练掌握作差法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据题意，得， ∵， ∴当时即时，， 此时； 当时即时，， 此时； 当时即时，， 此时． （3）解：∵，， 两式相减，得， 整理得，， ∵ ∴， ∴， ∴． 重难点三 运用配方法求最值 8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若多项式．那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把原式转化为，进而根据完全平方式是非负数即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 当且时，的最小值，最小值为， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·福建漳州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是． (1)【类比探究】 代数式的最小值是 ； (2)【灵活运用】 试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； (3)【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为：的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)； (2)见解析； (3)当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及配方法的应用，利用配方法找出代数式的最值是解题的关键． （1）利用配方法将原式变为，结合，可得出，进而求解； （2）利用配方法将变为，结合，可得出，进而求解； （3）设，矩形养殖场的总面积为，则，，利用矩形的面积公式，可找出关于的函数关系式，即可解决最值问题． 【详解】（1）， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为． 故答案为：； （2）无论取何实数，二次根式都有意义，理由如下： ， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为， 又∵， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）设，矩形养殖场的总面积为，则CF＝，， 根据题意得： ， ， ∵， ∴， ∴当时，的最大值为． 答：当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 10．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如：， ∵ ． 则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小或最大值． 【拓展提高】 （3）已知a、b、c是的三边长，满足，求c的取值范围． 【答案】（1）2，（2）；（3） 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，解题的关键是掌握完全平方公式的应用． （1）利用非负数的性质确定代数式的最值； （2）利用完全平方公式变形，最后确定最值； （3）变形等式，利用非负数的性质，求出、的值，再利用三角形的三边关系确定边长的取值范围． 【详解】解：（1）∵代数式 ∴代数式的最小值是，这时相应的的值是； （2） ∵ ∴， ∴代数式有最小值； （3）∵a，，是的三边长，满足， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $