精品解析：宁夏回族自治区吴忠市吴忠中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

吴忠中学2025—2026学年第一学期期末考试 高 一 数 学 试 卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：祁磊 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，，，则有（ ） A. B. C. D. 4. 已知角α为第四象限角， 则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. e D. 8. 已知函数在上递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分． 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 为奇函数 C. 为上的减函数 D. 无最值 11. 已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（ ） A. 实数的取值范围为 B. 的最大值为 C. D. 取值范围为 三．填空题（每小题5分，共15分） 12. ______． 13. 已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则________． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为__________. 四．解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数的图象过点. （1）求的解析式； （2）解不等式. 16. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知函数. （1）求函数的单调增区间 （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期 （2）已知，函数是偶函数，求的值. （3）函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围. 19. 某科技公司设立了两个研发实验室，分别探索不同技术路线来提升人工智能芯片的性能．两个实验室的研发起点相同（月时，芯片基础性能得分均为0），记录了研发时间t（月）与芯片性能得分P（得分越高，性能越好）的关系如下： 实验室A（技术路线甲）：早期数据增长迅猛，如下表所示： t（月） 1 2 3 4 P（得分） 3 12 27 48 实验室B（技术路线乙）：增长平稳，符合对数函数特点，已知其性能增长模型为，，且当时，；当时，． （1）根据实验室A的数据，判断性能得分P与时间t更符合哪一种函数模型：指数函数还是幂函数?说明理由，并写出函数解析式； （2）根据实验室B的数据，求出常数a，b的值，并写出P关于t的函数解析式； （3）若两个实验室均研发至第6个月． （i）用实验室A的模型预测性能得分； （ⅱ）用实验室B的模型预测性能得分； （ⅲ）从从技术发展的长期可持续性角度，哪一种技术路线能获得更高的性能得分？请结合函数增长特性说明理由．（，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠中学2025—2026学年第一学期期末考试 高 一 数 学 试 卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：祁磊 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解方程和不等式将集合具体化，结合交集运算可得. 【详解】由得或，所以， 又，所以. 故选：B 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求解不等式，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 3. 若，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系. 【详解】指数函数为增函数，则； 对数函数为增函数，则，即； 对数函数为增函数，则. 因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值、的大小关系，考查推理能力，属于基础题. 4. 已知角α为第四象限角， 则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据角α的象限确定三角函数值的符号，即得点所在的象限. 【详解】因角α为第四象限角，则， 故点在第三象限. 故选：C. 5. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式结合同角三角函数关系式计算求值. 【详解】已知是第四象限角，，则， ， . 故选：D 6. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 逐个分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间上的单调性，即可得出结论. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，且该函数在区间上单调递减； 对于B选项，函数的最小正周期为，当时，， 则该函数在区间上不单调； 对于C选项，函数的最小正周期为，当时，， 则该函数在区间上单调递减； 对于D选项，函数的最小正周期为，且该函数在区间上单调递增. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数周期和单调性的判断，熟悉正弦、余弦和正切函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题. 7. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. e D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数运算化简可得，再由基本不等式可得的最小值. 【详解】由题意，，则，且， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值是. 故选：A. 8. 已知函数在上递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可求出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，即可求得的最大值. 【详解】因为，当时，， 因为函数在上递增，则， 故，解得，故的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分． 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角恒等变换公式计算每个式子的值，即可得答案； 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误； 故选：BC. 【点睛】本题考查利用三角恒变换中的二倍角公式、同角三角函数的平方关系求值，考查运算求解能力，属于基础题. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 为奇函数 C. 为上的减函数 D. 无最值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性、奇函数的性质，结合指数型函数的最值性质逐一判断即可. 【详解】由，所以，故A正确； ， 因为， 所以为奇函数，故B正确； 因为的定义域为， 所以选项C不正确； 当时，，所以，即， 当时，， 即，所以无最值， 故选：ABD 11. 已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（ ） A. 实数的取值范围为 B. 的最大值为 C. D. 取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】作出函数的图象，利用和的图象有4个交点解出的范围判断A，根据是方程的两根判断B，根据是方程的两个根结合对数的运算性质判断C，利用及对勾函数的单调性判断D. 【详解】根据题意作出的图象如下： 由图象可知当时函数的图象与有4个交点， 即存在，使得， 且，，，，选项A正确； 因为是方程，即的两根， 所以根据韦达定理得，结合可得不存在最大值，B错误； 因为是方程的两个根，且，， 所以，即， 所以，解得，C正确； 由是方程的两根可得， 因为，，所以， 令，,由对勾函数的性质可得在上单调递减， 所以，即， 所以，D错误； 故选：AC 三．填空题（每小题5分，共15分） 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】 利用指数的运算性质和对数的换底公式可计算出所求代数式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 【点睛】本题考查指数与对数的混合运算，涉及指数的运算性质和换底公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 13. 已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的周期得出，再分类讨论代入计算应用诱导公式计算求解. 【详解】由题意，，则． 当时，根据时，函数图象位于最低点，可得， 所以． 当时，根据时函数图像位于最低点， 可得， 故． 综上，． 故答案为：. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数的性质及在区间上单调递增，分别解不等式，，进而可得出答案. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 又在区间上单调递增， 由，得，解得. 由，得，解得或. 所以，即或解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四．解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数的图象过点. （1）求的解析式； （2）解不等式. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入，利用指对互化求解； （2）利用对数函数的单调性解不等式. 【小问1详解】 由题意可得，，即，得，故； 【小问2详解】 因为函数在上单调递增，且， 所以，得，故不等式的解集为. 16. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的关系求角的余弦值，注意三角函数值的正负； （2）先将所求角拆成两个已知的角，再用两角的和差公式求角的正弦值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以 【小问2详解】 17. 已知函数. （1）求函数的单调增区间 （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦函数的单调性列式求出单调递增区间. （2）求出函数在指定区间上的值域，再利用恒成立条件列式求出范围. 【小问1详解】 函数，由， 得，所以函数的单调增区间为. 【小问2详解】 当，得，则， 因此，由不等式恒成立，得，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期 （2）已知，函数是偶函数，求的值. （3）函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围. 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及辅助角公式化简函数，再求出其周期. （2）利用正弦函数性质列式求解. （3）利用正弦函数性质及零点个数列式求解. 【小问1详解】 函数 ， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 由（1）得，由函数是偶函数， 得，解得，而， 所以或. 【小问3详解】 当时，，由函数在区间上有且仅有2个零点， 得，解得 所以的取值范围为. 19. 某科技公司设立了两个研发实验室，分别探索不同技术路线来提升人工智能芯片的性能．两个实验室的研发起点相同（月时，芯片基础性能得分均为0），记录了研发时间t（月）与芯片性能得分P（得分越高，性能越好）的关系如下： 实验室A（技术路线甲）：早期数据增长迅猛，如下表所示： t（月） 1 2 3 4 P（得分） 3 12 27 48 实验室B（技术路线乙）：增长平稳，符合对数函数特点，已知其性能增长模型为，，且当时，；当时，． （1）根据实验室A的数据，判断性能得分P与时间t更符合哪一种函数模型：指数函数还是幂函数?说明理由，并写出函数解析式； （2）根据实验室B的数据，求出常数a，b的值，并写出P关于t的函数解析式； （3）若两个实验室均研发至第6个月． （i）用实验室A的模型预测性能得分； （ⅱ）用实验室B的模型预测性能得分； （ⅲ）从从技术发展的长期可持续性角度，哪一种技术路线能获得更高的性能得分？请结合函数增长特性说明理由．（，） 【答案】（1）； （2）； （3） （i）实验室研发至第6个月，用实验室A的模型预测性能得分： 则，所以用实验室A的模型预测性能得分为分； （ⅱ）实验室研发至第6个月，用实验室B的模型预测性能得分： 则， 所以实验室B的模型预测性能得分约为分； 从技术发展的长期可持续性角度，我认为甲技术路线更优，因为尽管在第1个月时乙路线得分更高，但从第2个月起，甲路线的得分就反超并持续大幅领先，且二次函数的增长速度远快于对数函数，因此甲路线更优. 【解析】 【分析】（1）利用函数过原点，可确定幂函数模型，再用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法直接可求出函数解析式； （3）利用两函数的解析式分别求第6个月的函数值，即可得到预测性能分，然后根据二次函数和对数型函数模型的增长率作出比较即可得到答案． 【小问1详解】 由时，，若，则，此时，不满足题意， 故，又当时，，所以， 当时，，所以， 此时，当时，，当时，，满足题意， 故； 【小问2详解】 由于用实验室的数据来求参数， 所以当时，，代入得：， 当时，，代入得：， 两式相减得：，代入可得：， 所以； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $