1.2.1 直线的点斜式方程同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

1.2.1 　直线的点斜式方程 一、基础达标 1.过点,倾斜角为150°的直线方程为(　　) A.y-2=-(x+4) B.y-(-2)=-(x-4) C.y-(-2)=(x-4) D.y-2=(x+4) 2.下列说法正确的是(　　) A.每一条直线都有斜截式方程 B.方程k=与方程y+1=k(x-2)可表示同一条直线 C.若直线l过点P,倾斜角为90°,则其方程为y=y0 D.倾斜角是钝角的直线,其斜率为负数 3.(2024徐州月考)直线y-2=-(x+1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　) A.60°,2 B.120°,2- C.60°,2- D.120°,2 4.方程y=k(x-2)表示(　　) A.通过点(2,0)的所有直线 B.通过点(2,0)且不垂直于y轴的所有直线 C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 5.(多选题)在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线方程可能是(　　) A.y=x-6 B.y=-x+6 C.y=-x-6 D.y=x+6 6.直线l1过点P(-1,2),斜率为-,把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2,求直线l1和l2的点斜式方程. 二、能力提升 7.(2024常州月考)在等腰三角形AOB中,|AO|=|AB|,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为(　　) A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3) C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1) 8.已知直线y=kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为6,则k的值是(　　) A.±3 B. C.- D.± 9.方程y=ax+表示的直线可能是图中的(　　) 10.若直线l:(a-2)y=(3a-1)x-1不过第二象限,则a的取值范围为(　　) A.(-∞,2) B.[-2,3] C.[2,+∞) D.[4,+∞) 11.已知直线l过点P(2,1),且直线l的倾斜角为直线y=x+的倾斜角的2倍,则直线l的点斜式方程为　　　　　.  12.与直线y=3x+4在y轴上有相同的截距且和它关于y轴对称的直线方程为　　　　. 13.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,过点P作直线l,直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A,B.求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程. 三、拓展探究 14.有一根蜡烛,点燃6 min后,蜡烛长为17.4 cm;点燃21 min后,蜡烛长为8.4 cm.已知蜡烛的长度l(cm)与燃烧时间t(min)可用直线方程表示,则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时　　　　　　min. 15.已知直线l:y=kx+2k+1. (1)求证:直线l过一个定点; (2)当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方,求实数k的取值范围. 答案 1.B　2.D　3.B　4.C　5.AC 6.解 直线l1的方程为y-2=-(x+1). 因为k1=-=tan α1,又0°≤α1<180°,所以α1=150°. 如图,l1绕点P按顺时针方向旋转30°,得到直线l2的倾斜角为α2=150°-30°=120°,所以k2=tan 120°=-,所以直线l2的方程为y-2=-(x+1). 7.D　 8.D　解析 对于直线y=kx+4,能与两坐标轴围成三角形,则k≠0,令x=0,得y=4,所以直线与y轴交点坐标为(0,4),令y=0,得x=-,所以直线与x轴交点坐标为(-,0),所以直线y=kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为×4×=6,解得k=±. 9.B　解析 直线y=ax+的斜率为a,在y轴上的截距为.当a>0时,斜率a>0,在y轴上的截距>0,则直线y=ax+过第一、二、三象限,四个选项都不符合;当a<0时,斜率a<0,在y轴上的截距<0,则直线y=ax+过第二、三、四象限,仅有选项B符合.故选B. 10.C　解析 若a-2=0,可得a=2,直线l的方程为x=,该直线不过第二象限,符合题意;若a-2≠0,可得a≠0,直线l的斜截式方程为y=x-,若直线l不过第二象限,则解得a>2. 综上所述,a≥2. 11.y-1=(x-2)　解析 由直线y=x+,得斜率为,设直线y=x+的倾斜角为α,则tan α=,设直线l的倾斜角为β,斜率为k,则k=tan β=tan 2α=, 又直线l过点P(2,1),所以直线l的点斜式方程为y-1=(x-2). 12.y=-3x+4　解析 由条件知所求直线的斜率为-3,在y轴上的截距为4,所以所求直线方程为y=-3x+4. 13.解 因为点P(3,1)在第一象限,且直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴相交,所以直线l的斜率k<0,则设直线l的方程为y-1=k(x-3),k<0,令x=0,得y=-3k+1;令y=0,得x=3-.故S△AOB=OA·OB=×|-3k+1|×|3-|=|6--9k|.因为k<0,所以->0,-9k>0,所以S△AOB=(6--9k)=3-≥3+2=6,当且仅当-=-,即k=-时等号成立.故△AOB面积的最小值为6.此时直线l的方程为y-1=-(x-3),即x+3y-6=0. 14.35　解析 根据题意,不妨设直线方程为l=kt+b,则解得所以直线方程为l=-0.6t+21,当l=0时,即-0.6t+21=0,解得t=35,所以这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时35 min. 15.(1)证明 由y=kx+2k+1,得y-1=k(x+2).由直线方程的点斜式可知,直线过定点(-2,1). (2)解 设函数f(x)=kx+2k+1,显然其图象是一条直线(如图), 若使-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方,需满足 即解得-≤k≤1.所以实数k的取值范围是[-,1]. 5 学科网（北京）股份有限公司 $