精品解析：江西省多校联考2025-2026学年高二上学期1月质量检测数学试题（北师大版）

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 3名同学计划去四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在平行六面体中，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（ ） A. 0.036 B. 0.040 C. 0.042 D. 0.048 5. 已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 7个人站成一排，其中甲、乙必须相邻，丙不能站两端，则不同的站法种数为（ ） A. 960 B. 980 C. 1060 D. 1260 7. 已知点是抛物线：上位于第一象限内一点，为上位于第四象限内一点，为坐标原点，，且直线的斜率是直线的斜率的2倍，则直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（ ） A. 110种 B. 100种 C. 90种 D. 80种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）已知直线，，若，则与间的距离可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知在空间直角坐标系中，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. 是平面的一个法向量 D. 三棱锥的体积为 11. 已知椭圆的右焦点为，分别为的左、右顶点，，动点在直线上，直线与交于另一点，过点作轴的垂线与直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率 B. 若，则 C. D. 直线与相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在圆内，则实数的取值范围为__________. 13. 袋中有大小、材质相同的2个黄球，3个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不放回，在第1次摸到黑球的条件下，第2次摸到黑球的概率是________. 14. 如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式的二项式系数和为64. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项. 16. 已知椭圆的焦距为2，点在上. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，求. 17. 如图，在几何体中，四边形为矩形，平面，，，，. （1）证明：； （2）求平面BPC与平面PCQ夹角的余弦值. 18. 已知圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）设，若圆上存在点，使得，求实数的取值范围； （3）若为圆上的动点，求的取值范围. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. （1）求的方程； （2）设为的右顶点，直线与交于两点，且. ①证明：直线过定点； ②若都在的左支上，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 3名同学计划去四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】应用分步乘法计数原理列式计算即可. 【详解】由题意，每位同学均有4个选择，所以不同选法种数是. 故选：B 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程转换成标准方程即可求解. 【详解】抛物线的标准方程为， 所以，的焦点坐标为. 故选：D. 3. 在平行六面体中，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合平行六面体的特征，利用向量的线性运算即可求解. 【详解】 由题知， 又，所以. 故选：A. 4. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（ ） A. 0.036 B. 0.040 C. 0.042 D. 0.048 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】依题意，定义事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”； 所以 即任取一个零件是次品的概率为， 故选：C. 5. 已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线距离公式计算即可. 【详解】由题可得，又直线的方向向量为， 故， 所以点到的距离为. 故选：A. 6. 7个人站成一排，其中甲、乙必须相邻，丙不能站两端，则不同的站法种数为（ ） A. 960 B. 980 C. 1060 D. 1260 【答案】A 【解析】 【分析】先把甲乙相邻的总数算出来，然后把其中丙站两端算出来，最后相减. 【详解】甲、乙相邻，有种不同排法，其中丙站两端的站法有种， 故甲、乙必须相邻，丙不能站两端的站法有种. 故选：A. 7. 已知点是抛物线：上位于第一象限内一点，为上位于第四象限内一点，为坐标原点，，且直线的斜率是直线的斜率的2倍，则直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设点，的坐标为，，表示出的斜率，根据可得，再结合直线的斜率是直线的斜率的2倍，可得，联立即可求得答案. 【详解】设点，的坐标分别为，， 则，，. 因为，所以，整理得①. 又直线的斜率是直线的斜率的2倍，所以，整理得②. 由①②解得，所以直线的斜率为1. 故选：B. 8. 某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（ ） A. 110种 B. 100种 C. 90种 D. 80种 【答案】B 【解析】 【分析】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解． 【详解】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）已知直线，，若，则与间的距离可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据直线平行，求出的值，再求两平行线间的距离得解. 【详解】由，得，解得或. 当时，的方程为，即，，则与间的距离为； 当时，，，则与间的距离为. 故选：BD. 10. 已知在空间直角坐标系中，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. 是平面的一个法向量 D. 三棱锥的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由点坐标得到向量坐标.由向量的数量积判断A选项；由向量坐标求得边长，判断形状求得其面积，判断B选项；由向量的数量积得到与的位置关系，从而判断C选项；由C选项中结论得到三棱锥的高，即可求得三棱锥的体积，判断D选项. 【详解】因为，，，， 所以，，，， 所以，，，A正确； 因为，，， 所以为等边三角形，所以，B错误； 因为所以，， 所以是平面的一个法向量，C正确； 由，，即，， 又，，平面，所以平面， 所以为三棱锥的高，且， 所以三棱锥的体积，D正确. 故选：ACD. 11. 已知椭圆的右焦点为，分别为的左、右顶点，，动点在直线上，直线与交于另一点，过点作轴的垂线与直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率 B. 若，则 C. D. 直线与相切 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意求出，即可判断A；当时，求出Q点坐标，继而结合三角形的相似，即可求出，判断B；分别求出点到直线的距离和点到轴的距离，结合角平分线性质即可判断C；表示出直线的方程，联立椭圆方程，可得，结合判别式等于0可判断D. 【详解】设，其中，由，得， 解得，所以， 故的方程为，离心率，A错误； 由A的分析可知，当时，将代入，得， 可得点的坐标为.设直线与轴交于点，则，，而， 即得，解得，B正确； 设，则，又， 所以直线的方程为，令，得点的坐标为； 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离. 又点到轴的距离也为，所以，C正确； 直线的方程为，令，得点的坐标为， 直线的方程为，整理得， 联立方程，消去后整理， 结合，即，即得，， 即得，所以直线与相切，D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在圆内，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由点与圆的位置关系可得答案. 【详解】由题知， 解得. 故答案为： 13. 袋中有大小、材质相同的2个黄球，3个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不放回，在第1次摸到黑球的条件下，第2次摸到黑球的概率是________. 【答案】## 【解析】 【分析】设事件为第一次摸出黑球，事件为第二次摸出黑球，根据条件，利用古典概率公式求出，再由条件概率公式，即可求解. 【详解】设事件为第一次摸出黑球，事件为第二次摸出黑球，从5个球中不放回地随机摸出2个球， 试验的样本空间，又两次均摸出黑球为， 所以，又易知， 由条件概率公式，知在第1次摸出黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率， 故答案为：. 14. 如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，建立适当空间直角坐标系，设，依次求出和平面的一个法向量，接着由空间角的向量法公式计算，再结合一元二次函数性质即可求解. 【详解】设，以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 设，则. 设平面的一个法向量， 则，取，得，，故. 设直线与平面所成角为，则， 又，所以，故， 即直线与平面PEF所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式的二项式系数和为64. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项. 【答案】（1） （2）240 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数和为，可得答案； （2）利用二项展开式的通项公式可得答案. 【小问1详解】 由二项式系数和为， 知，解得； 【小问2详解】 展开式的第项为. 令，得，故常数项为第5项，且， 即展开式中的常数项为240. 16. 已知椭圆的焦距为2，点在上. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上，和椭圆焦距为2，列出等式求解即可； （2）联立椭圆和直线方程，由韦达定理、中点坐标公式及两点间距离公式即可求解. 【小问1详解】 由题知 解得 所以的方程为； 【小问2详解】 设的坐标分别为， 联立方程消去后整理得， 则，， 所以，， 所以. 17. 如图，在几何体中，四边形为矩形，平面，，，，. （1）证明：； （2）求平面BPC与平面PCQ夹角的余弦值. 【答案】（1） 四边形为矩形，平面， 则AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点， 直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 所以，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）由四边形为矩形，平面可得AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，写出点的坐标，求出向量，的坐标，利用数量积求出，从而得到. （2）求出平面PBC的一个法向量和平面PQC的一个法向量，利用数量积公式求出，代入数据计算即可得到平面BPC与平面PCQ夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面PBC的一个法向量， 由（1）知，. 则取，得，， 所以平面BPC的一个法向量. 设平面PQC的一个法向量， 由（1）知，， 则取，得，， 所以平面PQC的一个法向量， 所以， 所以平面BPC与平面PCQ夹角的余弦值为. 18. 已知圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）设，若圆上存在点，使得，求实数的取值范围； （3）若为圆上的动点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件确定圆心坐标和半径，可得圆的标准方程. （2）问题转化为两圆有公共点，利用圆心距与两圆半径和差的关系，列式可求的取值范围. （3）利用圆的方程，可把问题转化为直线与圆有公共点的问题，再利用点到直线的距离不大于圆的半径列式可得的取值范围. 【小问1详解】 设圆心的坐标为， 由，得，解得， 所以圆心，半径为5， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图： 由，知点在以线段为直径的圆上， 由，知圆心，圆的半径为1，且圆与圆有交点， 故，解得或， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 设点的坐标为，则，整理得， 所以 ， 令，则直线与圆有公共点，即，解得， 则，所以的取值范围为. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. （1）求的方程； （2）设为的右顶点，直线与交于两点，且. ①证明：直线过定点； ②若都在的左支上，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） ①证明：由（1）知，设的坐标分别为. 当直线的斜率为0时，，则，， 当时，，解得，则中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为0； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则， 由，知 解得或2， 当时，直线过点，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线过定点. ②9 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程和双曲线上点的坐标确定的值，可得双曲线的标准方程. （2）①分直线的斜率是否为0分类讨论.当直线斜率不为0时，设直线方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合，可得的关系，确定直线过定点. ②结合①的结论，利用表示出的面积，利用函数的单调性求其最小值. 【小问1详解】 由题知，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②解：由①知当时，， 由，得， 的面积为 ， 又， 设，则，， 因为在上单调递减，，， 所以. 即， 所以，当时，等号成立， 所以面积的最小值为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $