13.3.2 空间图形的体积-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦空间图形的体积计算，核心知识点包括柱体、锥体、台体、球的体积公式及简单组合体体积求解。课堂导入从小学初中长方体体积公式切入，作为已知基础引导推导其他空间图形体积公式，构建知识脉络与学习支架。 资料以直观想象和数学运算为核心素养，通过补体法、分割法等通性通法，结合圆柱、组合体等实例（如补全圆柱求体积、挖去小圆柱的组合体计算），培养学生空间转化能力与运算技能。分层练习设计兼顾基础与提高，助力教师系统教学，提升学生解题能力与数学思维。

13.3.2　空间图形的体积 新课程标准解读 核心素养 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关空间图形的体积 直观想象、数学运算 2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积 直观想象、数学运算 3.会求简单组合体的体积 数学运算 　　在小学和初中，我们已经知道长方体的体积V长方体＝abc＝Sh，这里a，b，c表示长方体的长、宽和高，S，h分别表示长方体的底面积和高.长方体体积公式是计算其他空间图形体积的基础，我们将上述结论作为已知事实来运用，那么，如何推出其他简单空间图形的体积公式呢？ 【问题】　柱体、锥体、台体的体积公式是什么？ 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　柱体、锥体、台体的体积 几何体 体积公式 柱体 V＝　Sh　（S为底面面积，h为柱体的高） 锥体 V＝　Sh　（S为底面面积，h为锥体的高） 台体 V＝　h（S＋＋S'）　（S'，S分别为上、下底面面积，h为台体的高） 提醒　柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系： 知识点二　球的体积和表面积 若球的半径为R，则： （1）球的体积V球＝　πR3　； （2）球的表面积S球面＝　4πR2　. 知识点三　球的截面的特点 1.球既是中心对称的空间图形，又是轴对称的空间图形，它的任何截面均为圆面. 2.利用球半径、截面圆半径，球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径. 1.正方体的表面积为96，则正方体的体积为（　　） A.48　　　　 　　　 B.64 C.16 D.96 解析：B　设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，所以正方体的体积为a3＝64. 2.（多选）若一个球的直径为6，则（　　） A.球的表面积是36π B.球的表面积是144π C.球的体积是36π D.球的体积是144π 解析：AC　由题意知，球的半径r＝3.则S球＝4πr2＝4π×32＝36π，V球＝πr3＝π×33＝36π.故选A、C. 3.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ADC的体积是　　. 解析：三棱锥D1-ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝××1×1×1＝. 题型一 柱体、锥体、台体的体积 【例1】　（1）已知圆柱的底面周长为4π，高为4，则圆柱的体积为（　D　） A.4π　　　　　　　　　C.12π B.8π D.16π （2）棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是（　B　） A.18＋6 B.6＋2 C.24 D.18 （3）如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥. ①求剩余部分的体积； ②求三棱锥A-A1BD的体积及高. 解析：（1）设圆柱的底面半径为r，则2πr＝4π，解得r＝2，则该圆柱的体积为π×22×4＝16π.故选D. （2）V＝（S＋＋S'）h＝×（2＋＋4）×3＝6＋2.故选B. （3）解：①＝S△ABD·A1A＝×·AB·AD·A1A＝a3. 故剩余部分的体积V＝V正方体－＝a3－a3＝a3. ②＝＝a3. 设三棱锥A-A1BD的高为h， 则＝··h＝××（a）2h＝a2h，故a2h＝a3，解得h＝a. 通性通法 求空间图形体积的常用方法 （1）公式法：直接代入公式求解； （2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可； （3）补体法：将空间图形补成易求解的空间图形，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等； （4）分割法：将空间图形分割成易求解的几部分，分别求体积. 提醒　求空间图形的体积时，要注意利用好空间图形的轴截面（尤其为圆柱、圆锥时），准确求出空间图形的高和底面积. 【跟踪训练】 1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（　　） A.5π B.6π C.20π D.10π 解析：D　 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 2.（2024·苏州月考）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，那么V1∶V2＝　7∶5　. 解析：设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AB，AC的中点，所以S△AEF＝S，V1＝h（S＋S＋ ）＝Sh，V2＝Sh－V1＝Sh，所以V1∶V2＝7∶5. 题型二 球的表面积与体积 【例2】　（1）一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是（　B　） A.12π cm3 B.36π cm3 C.64π cm3 D.108π cm3 （2）半径为2的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（　D　） A.100 B.400 C.100π D.400π 解析：（1）设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，如图所示，在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，∴球的半径R＝OA＝＝3 cm，∴球的体积V＝π×33＝36π cm3.故选B. （2）设大金属球的半径为r，则×23×125＝×r3⇒r＝10，∴其表面积为4πr2＝400π.故选D. 通性通法 　　因为球的表面积与体积都是球的半径的函数，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键. 【跟踪训练】 1.若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之差的绝对值为　π　. 解析：设两个球的半径分别为R，r（R＞r），则由题意得即整理，得解得故两球的体积之差的绝对值为π×43－π×23＝π（43－23）＝π. 2.（2024·徐州月考）长、宽、高分别为2，，的长方体的外接球的表面积为　12π　. 解析：该长方体的体对角线长为＝2，设外接球的半径为R，∴2R＝2，∴R＝，∴S球＝4πR2＝12π. 题型三 简单组合体的体积 【例3】　如图所示的空间图形，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此空间图形的体积. 解：依题意，该空间图形是由一个正六棱柱和一个圆柱组合后再挖去一个小圆柱而成的. 正六棱柱底面边长为4 cm，即由6个边长为4 cm的等边三角形组成，故底面积为6××42＝24 （cm2）， 又高为2 cm，故正六棱柱的体积V1＝24×2＝48（cm3）， 大圆柱底面直径为6 cm，高为3 cm，故体积V2＝π××3＝27π（cm3）， 小圆柱直径为2 cm，高为2＋3＝5（cm），故体积为V3＝π××5＝5π（cm3）， 故该空间图形的体积为V＝V1＋V2－V3＝48＋27π－5π＝（48＋22π）（cm3）. 通性通法 求空间组合体体积的思路与方法 　　针对此类问题的关键是将该组合体分解为若干个柱、锥、台、球的基本空间图形，然后借助柱、锥、台、球的体积公式分别求解. 【跟踪训练】 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所得的空间图形的体积. 解：四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，故该空间图形的体积V＝V圆台－V圆锥＝π（＋r1r2＋）·h－πh'＝π（25＋10＋4）×4－π×4×2＝π. 1.已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为（　　） A.2　　　　　　　　　 B.4 C.6 D.12 解析：B　正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为×4×3＝4. 2.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么球的体积扩大到原来的（　　） A.2倍 B.倍 C.2倍 D.倍 解析：C　设原来球的半径为r，扩大后球的半径为R，依题意可知＝2，所以R＝r.所以＝＝＝2.即球的体积扩大到原来的2倍，故C正确.故选C. 3.（2024·温州质检）一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为（　　） A. B.2 C. D.3 解析：B　设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为 S，故二者的体积之比为 ＝＝＝2. 4.（2024·江苏海安中学期中）已知圆台下底面的半径为4 cm，高为4 cm，母线长为2 cm，则圆台的体积为　π　cm3. 解析：设圆台上底面半径为r（r＜4），轴截面如图所示，过B作BE⊥DC，垂足为E，则有AB＝r，DC＝4，AD＝BE＝4，BC＝2，因为BC2＝BE2＋CE2，所以有（2）2＝42＋（4－r）2⇒r＝2或r＝6（舍去），所以圆台的体积为·（π·22＋π·2·4＋π·42）·4＝π （cm3）. 1.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（　　） A.π　　　　　　　　　 B.2π C.4π D.8π 解析：B　设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧＝πa·a＝πa2.又∵S侧＝4π，∴πa2＝4π，∴a＝2.∴V圆柱＝π（）2×a＝π×2＝2π.故选B. 2.（2024·无锡锡南实验中学期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，A1A＝AB＝AC＝2，那么三棱锥A1-ABC的体积是（　　） A. B. C.4 D.8 解析：A　∵A1A⊥底面ABC，∴A1A为三棱锥A1-ABC的高，故h＝2，∵△ABC为底面，AB⊥AC，∴S△ABC＝AB·AC＝×2×2＝2，∴＝S△ABC·h＝×2×2＝.故选A. 3.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（水面恰为圆柱的上底面），则球的半径为（　　） A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 解析：B　设球的半径为r，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于高度为6r cm的圆柱体的体积，∴3×πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3.故选B. 4.在棱长为1的正方体中，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后，剩下的空间图形的体积是（　　） A. B. C. D. 解析：D　由题意易知正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，截去的三棱锥的体积是××＝，于是8个三棱锥的体积是，故剩下的空间图形的体积是1－＝. 5.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为（　　） A. m3 B. m3 C.1 m3 D. m3 解析：B　设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah＝1，a＝1，解得a＝，h＝.所以六棱柱的体积V＝×（）2×6×＝（m3）. 6.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是（　　） A.54 B.54π C.58 D.58π 解析：A　设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1（r2＋9r2＋3r·r），∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得＝，∴h＝h1，∴V原圆锥＝π（3r）2×h＝3πr2×h1＝×12＝54. 7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为　　. 解析：＝DD1×1＝，又点F到平面DD1E的距离为1，所以＝＝×1＝. 8.如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为　110　. 解析：设正四棱柱的底面边长为m，则4（42－m2）＝60，解得m＝1，则该几何体的表面积为42×4＋（42－12）×2＋4×1×4＝110. 9.把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为　20 cm　，表面积等于　224π cm2　. 解析：设圆锥的母线长为l cm，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2.又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl，根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20（cm）.圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π（cm2）. 10.若E，F 是三棱柱 ABC-A1B1C1 侧棱 BB1和 CC1 上的点，且 B1E ＝CF，三棱柱的体积为 m，求四棱锥 A-BEFC 的体积. 解：如图所示，连接 AB1，AC1， 因为B1E＝CF， 所以梯形 BEFC 的面积等于梯形 B1EFC1 的面积. 又四棱锥 A-BEFC 的高与四棱锥 A-B1EFC1 的高相等，所以VA-BEFC＝＝.又＝·h，＝·h＝m，所以＝，所以＝－＝m.所以 VA-BEFC＝×m＝，即四棱锥A-BEFC 的体积是. 11.（2024·无锡辅仁高中期中）如图，实心正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，其中上、下底面的中心分别为Q，R.若从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以R为顶点，以正方形A1B1C1D1的内切圆为底面，另一个圆锥以Q为顶点，以正方形ABCD的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（　　） A.8－ B.8－ C.8－ D.8－ 解析：D　两圆锥的体积都为V1＝πr2h＝×π×12×2＝π，则其公共部分为V2＝2××π×（）2×1＝，故该正方体剩余部分的体积为V＝23－2×V1＋V2＝8－＋＝8－.故选D. 12.（多选）已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，下列说法正确的是（　　） A.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π B.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π D.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π 解析：AD　由已知得AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，△ABC是以角C为直角的直角三角形，以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，∴侧面积为π×3×5＝15π，体积为×π×32×4＝12π，A正确，B错误；以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，∴侧面积为π×4×5＝20π，体积为×π×42×3＝16π，C错误，D正确.故选A、D. 13.将一个底面直径为2、高为1的圆柱截成横截面是长方形的棱柱（如图）.设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，则截得棱柱的体积的最大值为　2　. 解析：∵长方形的一条边长为x，对角线长为2，∴另一条边长为，则截得的棱柱的体积V＝x×1＝＝（0＜x＜2），∴当x2＝2，即x＝时，Vmax＝2，即截得棱柱体积的最大值为2. 14.某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装液体车油，由于不小心摔落在地上，该罐装液体车油有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）.为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家，试问罐内液体车油最多还能剩多少. 解：如图所示，设直三棱柱的底面面积为S，则V＝aS， 当平面A1DE与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，连接A1B，A1C，则＝aS＝V， ∵＝＝，且＋＝V， ∴＝V， ∴＋＝V＋V＝V， ∴罐内液体车油最多还能剩V L. 15.某市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为12 m，高为4 m.随着该市经济的发展，粮食产量的增大，该市拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是新建的仓库底面半径比原来大2 m（高不变）；二是高度增加4 m（底面直径不变）. （1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； （3）选用哪个方案建造仓库更经济些？ 解：（1）方案一：仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V1＝Sh＝×π×（）2×4＝π（m3）. 方案二：仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2＝Sh＝×π×（）2×8＝π＝96π（m3）. （2）方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m， 则圆锥的母线长l1＝＝4（m）， 则仓库的表面积S1＝π×8×4＋π×82＝（32π＋64π）m2. 方案二：仓库的高变成8 m， 则圆锥的母线长l2＝＝10（m）， 则仓库的表面积S2＝π×6×10＋π×62＝60π＋36π＝96π（m2）. （3）由（1）（2）可知V1＜V2，S1＞S2，按第二种方案所建的仓库的体积大，可以贮藏更多的粮食，仓库的表面积小，则用料少，成本低，所以选择方案二建造仓库更经济些. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $