13.2.2 第2课时 异面直线-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦“异面直线”核心知识点，涵盖定义、判定及所成角内容。通过长方体模型问题导入，衔接空间直线位置关系旧知，搭建从直观到抽象的学习支架，引导学生逐步深入。 资料以情境化问题驱动，结合正方体、三棱锥等模型，通过判定、求角、应用题型分层训练，渗透反证法、平移法等通性通法。培养直观想象（模型观察）、数学抽象（定理理解）、数学运算（角度计算），助力学生构建空间观念，为教师提供清晰教学路径与方法指导。

第2课时　异面直线 新课程标准解读 核心素养 1.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线 数学抽象、直观想象 2.理解异面直线所成角的概念 直观想象、数学运算 　　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C. 【问题】　（1）直线A1C与B1B具有怎样的位置关系？ （2）图中还有哪些直线与直线A1C是异面直线？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　异面直线 1.异面直线的判定与几何表示 画法 图形表示如图所示（通常用一个或两个平面衬托） 判定 定理 文字 表述 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内　不经过该点　的直线是异面直线 符号 表述 若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线 2.异面直线所成的角 定义 a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'和b'所成的　锐角　（或直角）叫作异面直线a，b所成的角或夹角 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°＜θ≤90° 特殊情况 当θ＝　90°　时，a与b互相垂直，记作a⊥b 【想一想】 为什么a'，b'所成角的大小与点O的选择无关？ 提示：因为a'∥a，b'∥b，根据等角定理，a'，b'所成的锐角（或直角）等于a，b所成的锐角（或直角），与点O的选择无关.不过为了方便计算异面直线所成角的大小，点O常在异面直线中的某一条上取，常取某些特殊点. 1.（多选）如图，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在直线中，是异面直线的有（　　） A.AP与BC B.BP与BC C.CP与AB D.BP与AC 解析：ACD　根据异面直线的定义可知异面直线共3对：AP与BC， CP与AB， BP与AC.故选A、C、D. 2.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AD1与BC所成的角的度数是　45°　. 解析：因为AD∥BC，所以∠DAD1就是异面直线AD1与BC所成的角.因为△ADD1是等腰直角三角形，所以∠DAD1＝45°. 题型一 异面直线的判定 【例1】　如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F是棱AD上异于A，D的两个不同点，G，H是棱BC上异于B，C的两个不同点，给出下列说法： ①AB与CD互为异面直线； ②FH分别与DC，DB互为异面直线； ③EG与FH互为异面直线； ④EG与AB互为异面直线. 其中说法正确的是　①②③④　.（填序号） 解析：因为直线DC⊂平面BCD，直线AB⊄平面BCD，点B∉直线DC，所以由异面直线的判定定理可知，①正确；同理，②③④正确. 通性通法 判定异面直线的方法 （1）定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在一个平面内； （2）利用异面直线的判定定理； （3）反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可. 【跟踪训练】 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？ 解：三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH. 还原的正方体如图所示. 题型二 异面直线所成的角 【例2】　（链接教科书第172页例3）如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： （1）BE与CG所成的角的大小； （2）FO与BD所成的角的大小. 解：（1）∵CG∥FB， ∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角. 在Rt△EFB中，EF＝FB， ∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG所成的角为45°. （2）如图，连接FH， ∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD， ∴FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO是FO与BD所成的角， 连接HA，AF， 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°， ∴FO与BD所成的角为30°. 通性通法 求两条异面直线所成角的步骤 （1）恰当选点，用平移法构造出一个相交角； （2）证明这个角就是异面直线所成的角（或补角）； （3）把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数； （4）给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角. 【跟踪训练】 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 解：如图所示，取AC的中点G， 连接EG，FG， 则EG∥AB且EG＝AB， GF∥CD且GF＝CD. 由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角. ∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°， 由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°， 故EF与AB所成角的大小为15°或75°. 题型三 异面直线所成角的应用 【例3】　如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，求证：AC⊥B1D. 证明：如图，连接BD，交AC于点O，取BB1的中点E，连接OE， 则OE∥B1D， 所以OE与AC所成的角即为B1D与AC所成的角. 连接AE，CE. 易证AE＝CE， 又O是AC的中点， 所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D. 通性通法 证明两条直线垂直的策略 （1）对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明； （2）对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明. 【跟踪训练】 　如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD与AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2，求EF的长度. 解：取BC的中点M，连接ME，MF，如图，则ME∥AC，MF∥BD，∴ME与MF所成的锐角（或直角）即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°， ∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°. ∵ME＝AC，MF＝BD，BD＝AC＝2， ∴ME＝MF＝1. 当∠EMF＝60°时，EF＝ME＝MF＝1； 当∠EMF＝120°时，取EF的中点N， 连接MN，则MN⊥EF， ∴EF＝2EN＝2EM·sin∠EMN＝2×1×＝. 故EF的长度为1或. 1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（　　） A.平行或异面　　　　　 B.相交或异面 C.异面 D.相交 解析：B　可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故B正确. 2.设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（　　） A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 解析：D　如图，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1＝b，则a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD＝b，则a和b异面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC＝b，则a和b平行，所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面.故选D. 3.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形有（　　） A.①②　　　　　　　　 B.①③ C.②③ D.②④ 解析：D　①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交.故选D. 4.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，异面直线A'B'与BC所成的角的大小为　90°　.异面直线AD'与CC'所成的角的大小为　45°　. 解析：∵B'C'∥BC，∠A'B'C'＝90°，∴A'B'与BC所成的角为90°，又CC'∥DD'，∠DD'A＝45°，∴AD'与CC'所成的角为45°. 　 1.异面直线是指（　　） A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线 解析：D　对于A，空间中两条不相交的直线有两种可能，一个是平行（共面），另一个是异面，所以A应排除；对于B，分别位于两个不同平面内的两条直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，所以B应排除；对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除；只有D符合定义. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱所在的直线与直线BA1是异面直线的条数为（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 解析：C　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线BA1异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C. 3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是（　　） A.BC1 B.A1D C.AC D.BC 解析：C　连接BD（图略），∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C. 4.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角的大小为（　　） A.30° B.45° C.90° D.60° 解析：D　连接AD1，D1C，BC1（图略），因为M，N分别为BC和CC1的中点，所以C1B∥MN，又C1B∥AD1，所以AD1∥MN，所以∠D1AC即为异面直线AC和MN所成的角.又△D1AC是等边三角形，所以∠D1AC＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.故选D. 5.如图所示，在四面体ABCD中，AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（　　） A.5 B.6 C.8 D.10 解析：A　取AD的中点P，连接PM，PN（图略），则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN（或其补角）即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5. 6.（多选）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（　　） A.CC1与B1E是异面直线 B.C1C与AE是异面直线 C.AE与B1C1是异面直线 D.AE与B1C1所成的角为60° 解析：BC　对于A，由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，故A错误；对于B，由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，故B正确；对于C，同理AE与B1C1是异面直线，故C正确；对于D，AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，所以AE与B1C1所成的角为90°，故D错误.故选B、C. 7.（2024·连云港月考）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系可能是　平行、相交或异面　. 解析：如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，A'D'所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，DD'，CC'，故a和c可以平行、相交或异面. 8.如图，过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作　4　条. 解析：连接AC1（图略），则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等.故这样的直线l可以作4条. 9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为　　. 解析：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBA-E1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.连接DF，由题意，得DF＝＝，FB1＝＝2，DB1＝＝.在△DFB1中，由余弦定理，得DF2＝F＋D－2FB1·DB1·cos∠DB1F，即5＝4＋5－2×2××cos ∠DB1F，所以cos ∠DB1F＝. 10.如图所示，在三棱锥P-ABC中，E是PC的中点，连接AE.求证：AE与PB是异面直线. 证明：假设AE与PB共面于平面α，连接BE（图略）. 因为A∈α，B∈α，E∈α， 所以平面ABE即为平面α，所以P∈平面ABE， 这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线. 11.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（　　） A.30° B.45° C.60° D.120° 解析：C　如图所示，由题可知，四边形ABEG和CDFE均为正方形，△EFG为正三角形，因为AB∥EG，CD∥EF，所以∠GEF或其补角为异面直线AB与CD所成的角.因为△EFG为正三角形，所以∠GEF＝60°.故AB与CD所成角的大小为60°. 12.（多选）一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是（　　） A.AB⊥EF B.AB与CM所成的角为60° C.MN∥CD D.EF与MN所成的角为60° 解析：AD　把展开图还原成正方体，如图所示.A选项，因为AB∥MC，且EF⊥MC，所以EF⊥AB，故A正确；B选项，因为AB∥MC，所以AB与CM所成的角为0°，故B错误；C选项，因为AE∥MN，且AE⊥CD，所以MN⊥CD，故C错误；D选项，因为AE∥MN，所以∠AEF或其补角为EF与MN所成的角，又因为EF＝FA＝AE，所以△AEF为等边三角形，因此∠AEF＝60°，且异面直线所成角的范围为（0，90°]，所以∠AEF为EF与MN所成的角，因此EF与MN所成的角为60°，故D正确.故选A、D. 13.如图，在圆柱OO1中，底面半径为1，OA⊥O1B，异面直线AB与OO1所成角的正切值为，则圆柱的高为　4　. 解析：如图，过点B作OO1的平行线交底面圆O于点H，连接OH，AH，则∠ABH即为异面直线AB与OO1所成的角，tan∠ABH＝，易知OH∥O1B且OH＝O1B，由OA⊥O1B可知，OA⊥OH，所以AH＝＝，又tan∠ABH＝，所以圆柱OO1的高BH＝＝4. 14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF. 证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG. ∵E是BD1的中点， ∴EG∥BC，EG＝BC， ∵F是AD的中点， 且AD∥BC，AD＝BC， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴EG∥DF，EG＝DF， ∴四边形EFDG是平行四边形， ∴EF∥DG， ∴∠DGD1（或其补角）是异面直线CD1与EF所成的角. 又∵A1A＝AB， ∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形， 又G为CD1的中点， ∴DG⊥CD1，∴∠DGD1＝90°， ∴异面直线CD1与EF所成的角为90°， ∴CD1⊥EF. 15.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝2，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，求AA1的长. 解：如图所示，连接CD1，AC. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， A1D1∥BC，A1D1＝BC＝2， ∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥CD1， ∴∠AD1C（或其补角）为异面直线A1B和AD1所成的角， ∵A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1所成的角为90°， ∴∠AD1C＝90°. 又易知AD1＝D1C，∴△ACD1是等腰直角三角形， ∴AD1＝AC. ∵AB＝BC＝2，∠ABC＝120°， ∴AC＝2×sin 60°×2＝6， ∴AD1＝AC＝3， ∴AA1＝＝. 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $