13.1.3 直观图的斜二测画法-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

13.1.3　直观图的斜二测画法

 

　　图中的国家游泳中心（又称“水立方”）可以抽象成一个几何体——长方体.

【问题】　你能画出一个长方体吗？

　　　　　　　　　　                     　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点　斜二测画法

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

提醒　对斜二测画法的再理解：①“斜”：把直角坐标系xOy变为斜坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°（或135°），即y'轴是斜的，反映投影线是斜的；②“二测”：平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，即有“两种测度”.

2.用斜二测画法画空间图形的直观图的步骤

（1）在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝　90°　，且∠yOz＝　90°　；

（2）画直观图时把它们画成对应的x'轴、y'轴和z'轴，它们相交于点O'，并使∠x'O'y'＝　45°　（或　135°　），∠x'O'z'＝　90°　，x'轴和y'轴所确定的平面表示水平面；

（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段；

（4）已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中　保持原长度不变　；平行于y轴的线段，在直观图中　长度为原来的一半　.

 

 

 

提醒　（1）斜二测画法下原图形与直观图中的“三变”与“三不变”：

①“三变”

②“三不变”

（2）斜二测画法下原图形与直观图面积的关系：①S直观图＝S原图形；②S原图形＝2S直观图.

1.下列说法中正确的是（　　）

A.在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变

B.在空间图形的直观图中，原来平行的直线仍然平行

C.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变

D.用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°

解析：B　在斜二测画法中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半，故A错误，C错误；在空间图形的直观图中，原来平行的直线仍然平行，故B正确；对于D，∵∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，∴在直观图中，∠A＝45°或135°，故D错误.故选B.

2.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是（　　）

解析：C　正方形的直观图应为平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.

3.（2024·淮安马坝高中期中）△AOB的斜二测直观图△A'O'B'如图所示，则△AOB的面积是（　　）

A. B.4

C.2 D.4

解析：D　依题意，由斜二测画法规则知，△AOB的底边OB＝O'B'＝2，边OB上的高h＝2×2，所以△AOB的面积是S＝·OB·h＝4.故选D.

 

 

 

 

 

 

 

【例1】　（链接教科书第158页例4）画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.

解：画法：（1）如图所示，取AB所在的直线为x轴，以AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°.