章末检测（12） 复数-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦复数的概念、运算、几何意义及应用，通过章末检测题巩固知识，连接实数运算与平面向量知识，以选择、填空、解答题作为学习支架，帮助学生梳理复数知识体系。 该资料题型多样，覆盖基础与综合，如多项选择第10题考查复数运算性质培养推理意识，解答题第19题结合复数与不等式求最值提升抽象能力，复平面问题发展几何直观与模型意识。助力学生巩固知识、提升核心素养，帮助教师精准检测教学效果。

章末检测（十二）　复数 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若（2＋i）z＝5，则z的虚部为（　　） A.－1 B.1 C.－i D.i 解析：A　z＝＝＝2－i，所以z的虚部是－1. 2.已知i是虚数单位，若z＝是纯虚数，则实数a＝（　　） A.－2 B.2 C.－ D. 解析：D　z＝＝＝，又z＝是纯虚数，所以所以a＝.故选D. 3.复平面内对应复数z＝i（－2＋i）的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：C　z＝i（－2＋i）＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内对应复数z＝i（－2＋i）的点位于第三象限.故选C. 4.在复平面内，复数3＋2i，－2＋3i对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为（　　） A.1＋i B.5－i C.5－3i D.－5＋i 解析：D　由题设＝（3，2），＝（－2，3），则＝－＝（－5，1），所以向量对应的复数为－5＋i.故选D. 5.若z＝1＋i，则｜iz＋3｜＝（　　） A.4 B.4 C.2 D.2 解析：D　因为z＝1＋i，所以iz＋3＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3｜＝｜2－2i｜＝＝2.故选D. 6.已知i为虚数单位，若＝a＋bi（a，b∈R），则ab＝（　　） A.1 B. C. D.2 解析：C　i为虚数单位，＝a＋bi（a，b∈R），则＝＝a＋bi，根据复数相等得到所以ab＝＝.故选C. 7.已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足·z2是纯虚数，则复数z2＝（　　） A.1－2i B.1＋2i C.2－i D.2＋i 解析：A　由z1＝2＋i，得＝2－i.由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，可设z2＝1＋bi（b∈R），则·z2＝（2－i）（1＋bi）＝2＋b＋（2b－1）i.由·z2是纯虚数，得2＋b＝0且2b－1≠0，解得b＝－2，故z2＝1－2i. 8.已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实根b，且z＝a＋bi，则复数z＝（　　） A.2－2i B.2＋2i C.－2＋2i D.－2－2i 解析：A　由b是方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）的根可得b2＋（4＋i）b＋4＋ai＝0，整理可得（b＋a）i＋（b2＋4b＋4）＝0，所以解得所以z＝2－2i.故选A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.若复数z满足（1＋i）·z＝1＋5i（i是虚数单位），则下列说法正确的是（　　） A.z的虚部为2i B.z的模为 C.z的共轭复数为3－2i D.z在复平面内对应的点位于第一象限 解析：BCD　由（1＋i）·z＝1＋5i，所以z＝＝＝＝＝3＋2i，所以z的虚部为2，故A错误；｜z｜＝＝，故B正确；z的共轭复数为3－2i，故C正确；z在复平面内对应的点为（3，2），位于第一象限，故D正确.故选B、C、D. 10.已知复数z1，z2∈C，下列结论正确的有（　　） A.＝＋ B.若z1z2＝0，则z1，z2中至少有一个为0 C.｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜ D.若＋＝0，则z1＝z2＝0 解析：ABC　对于A，因为复数z1，z2∈C，所以设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i⇒＝（a＋c）－（b＋d）i，＋＝a－bi＋c－di＝（a＋c）－（b＋d）i，故A正确；对于B，因为z1z2＝0，所以z1，z2中至少有一个为0，故B正确；对于C，因为复数z1，z2∈C，所以设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），z1·z2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i，｜z1·z2｜＝＝＝｜z1｜·｜z2｜，故C正确；对于D，令z1＝1，z2＝i，显然＋＝0成立，但是z1＝z2＝0不成立，故D错误.故选A、B、C. 11.任何一个复数z＝a＋bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示成z＝r（cos θ＋isin θ）的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r（cos θ＋isin θ）]n＝rn（cos nθ＋isin nθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A.｜z2｜＝｜z｜2 B.当r＝1，θ＝时，z3＝1 C.当r＝1，θ＝时，＝－i D.当r＝1，θ＝时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数 解析：AC　对于A，z＝r（cos θ＋isin θ），则z2＝r2（cos 2θ＋isin 2θ），可得｜z2｜＝｜r2（cos 2θ＋isin 2θ）｜＝r2，｜z｜2＝｜r（cos θ＋isin θ）｜2＝r2，故A正确；对于B，当r＝1，θ＝时，z3＝（cos θ＋isin θ）3＝cos 3θ＋isin 3θ＝cos π＋isin π＝－1，故B错误；对于C，当r＝1，θ＝时，z＝cos＋isin＝＋i，则＝－i，故C正确；对于D，当r＝1，θ＝时，zn＝（cos θ＋isin θ）n＝cos nθ＋isin nθ＝cos＋isin，取n＝4，则n为偶数，则z4＝cos π＋isin π＝－1不是纯虚数，故D错误.故选A、C. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i（a∈R）对应的复平面内的点分别为Z1和Z2，且⊥（O为坐标平面），则a＝　　. 解析：依题意可知＝（－3，4），＝（2a，1）.因为⊥，所以·＝0，即－6a＋4＝0，解得a＝. 13.已知复数z1＝cos θ－i，z2＝sin θ＋i，θ∈R，则z1·z2的实部的最大值为　　. 解析：z1z2＝（cos θ－i）（sin θ＋i）＝（cos θsin θ＋1）＋（cos θ－sin θ）i，而sin θcos θ＋1＝sin 2θ＋1，故z1z2的实部的最大值为. 14.已知复数z＝a＋bi（a，b∈R），1≤｜z｜≤2，则｜z＋1｜的取值范围为　[0，3]　. 解析：由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤｜z｜≤2表示如图所示的圆环，而｜z＋1｜表示复数z的对应点A（a，b）与复数z1＝－1的对应点B（－1，0）之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0；当点A与点C（2，0）重合时，dmax＝3，∴0≤｜z＋1｜≤3.∴｜z＋1｜的取值范围是[0，3]. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知复数z1＝2－3i，z2＝.求： （1）z1z2；（2）. 解：z2＝＝＝ ＝＝1－3i. （1）z1z2＝（2－3i）（1－3i）＝－7－9i. （2）＝＝＝＝＋i. 16.（本小题满分15分）复数z＝（1＋i）2＋，其中i为虚数单位. （1）求复数z及｜z｜； （2）若z2＋a＋b＝2＋3i，求实数a，b的值. 解：（1）z＝（1＋i）2＋＝2i＋i（1＋i）＝－1＋3i， ｜z｜＝＝. （2）由z2＋a＋b＝2＋3i得， （－1＋3i）2＋a（－1－3i）＋b＝2＋3i， 即（－8－a＋b）＋（－6－3a）i＝2＋3i， 所以解得 17.（本小题满分15分）（1）在复平面内画出与以下复数z1，z2，z3，z4分别对应的向量，，，，z1＝1，z2＝i，z3＝4＋3i，z4＝4－3i； （2）求向量，，，的模； （3）点P1，P2，P3，P4中是否存在两个点关于实轴对称？若存在，则它们所对应的复数有什么关系？ 解：（1）由题意可得如图所示图象. （2）由于，，，的坐标分别为（1，0），（0，1），（4，3），（4，－3）， 则向量，，，的模分别为 ｜｜＝1，｜｜＝1，｜｜＝＝5，｜｜＝＝5. （3）点P3（4，3），P4（4，－3）关于实轴对称，它们所对应的复数4＋3i与4－3i的实部相同，虚部互为相反数，互为共轭复数. 18.（本小题满分17分）已知关于x的方程x2－（tan θ＋i）x－（2＋i）＝0. （1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根； （2）证明：对任意θ≠kπ＋（k∈Z），方程无纯虚数根. 解：（1）原方程可化为x2－xtan θ－2－（x＋1）i＝0， 设方程的实数根为x0，则 即又θ是锐角，故θ＝. （2）证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi，b≠0，b∈R，则－b2－（tan θ＋i）bi－（2＋i）＝0，即－b2－ibtan θ＋b－2－i＝0，可得－b2＋b－2＝0，解得b＝，与假设矛盾，所以方程无纯虚数根. 19.（本小题满分17分）设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2. （1）求｜z｜的值及z的实部的取值范围； （2）设μ＝，求证：μ为纯虚数； （3）求ω－μ2的最小值. 解：（1）∵z是虚数，∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0， ∴ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝x＋＋（y－）i， 可得⇒x2＋y2＝1⇒｜z｜＝1， 此时，ω＝2x⇒－＜x＜1， 即z的实部的取值范围为（－，1）. （2）证明：μ＝＝＝＝，∵y≠0，∴μ为纯虚数. （3）ω－μ2＝2x－（－i）2， 化简得ω－μ2＝2（x＋1）＋－3≥ 2－3＝1. 当且仅当x＋1＝，即x＝0时，ω－μ2取得最小值1. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $