12.3 复数的几何意义-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦复数的几何意义核心知识点，涵盖复平面、复数与点/向量对应关系、模及加减运算几何意义。以高斯创立复平面的历史背景导入，通过“实数用数轴表示，复数如何表示”的类比提问，搭建从实数到复数的认知支架，梳理知识脉络。 资料亮点在于融合历史情境与问题驱动，以数形结合落实直观想象素养，如用复平面表示复数、模的几何意义转化为圆的轨迹问题。分题型设计例题与跟踪训练，如复数与点向量对应关系、模的最值问题，帮助学生用数学眼光观察几何直观，用数学思维分析逻辑关系，也为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

12.3　复数的几何意义 新课程标准解读 核心素养 1.理解复平面的实轴、虚轴、复数的模的概念 数学抽象 2.理解复数的代数表示及其几何意义 直观想象 3.了解复数加、减运算的几何意义 直观想象 19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段（向量）建立了复数的几何基础. 　　复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础. 【问题】　实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　复平面及复数的几何意义 1.复平面：把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作　复平面　，　x　轴叫作实轴，　y　轴叫作虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 3.复数的模 复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为，则向量的模叫作复数z＝a＋bi的模（或绝对值），记作　｜z｜　或　｜a＋bi｜　.由模的定义知：｜z｜＝｜a＋bi｜＝　　. 提醒　复数模的运算性质：①｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜，｜｜＝；②｜zn｜＝｜z｜n（n∈N*），z＝｜z｜2；③｜z1｜－｜z2｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜. 知识点二　复数加、减法的几何意义 1.复数加、减法的几何意义 设向量，分别与复数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R）对应，且，不共线. 复数加法的几何意义 以，为两条邻边画▱OZ1ZZ2，则对角线OZ所表示的向量就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量 复数减法的几何意义 从向量的终点指向向量的终点的向量就是复数z1－z2对应的向量 提醒　（1）复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则；（2）复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则. 2.复数的差的模 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则｜z1－z2｜＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的　距离　. 1.（多选）下列说法中正确的是（　　） A.实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数 B.若一个数是实数，则其存在虚部 C.复数z＝－i在复平面内对应点Z的坐标为（0，－1） D.复数的模一定是正实数 解析：BC　对于A，原点在虚轴上，但对应的复数不是纯虚数，故A错误；对于B，若一个数是实数，则其 虚部存在且为0，故B正确；对于C，复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为（0，－1），故C正确；对于D，复数的模可以为0，故D错误.故选B、C. 2.（2024·扬州中学期中）复数z＝，其中i为虚数单位，则z在复平面对应的点的坐标为（　　） A.（0，－1） B.（0，1） C.（－1，0） D.（1，0） 解析：B　z＝＝＝i，z在复平面对应的点的坐标为（0，1）.故选B. 3.已知向量对应的复数为2－3i，向量对应的复数为3－4i，则向量对应的复数的模为　　. 解析：＝－＝（3－4i）－（2－3i）＝1－i.则｜｜＝｜1－i｜＝＝. 题型一 复数与复平面内的点、向量的关系 【例1】　（1）（链接教科书第130页例1）在复平面内，复数5＋6i，3－2i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则向量对应的复数是（　　） A.8＋4i B.2＋8i C.4＋2i D.1＋4i （2）（链接教科书第131页练习3题）在复平面内，实数x分别取什么值时，复数z＝（x2＋x－6）＋（x2－2x－15）i对应的点Z在： ①第三象限； ②直线x－y－3＝0上. （1）解析：C　复数5＋6i表示的点为A（5，6），复数3－2i表示的点为B（3，－2），因为C为线段AB的中点，所以C（4，2），故向量对应的复数为4＋2i.故选C. （2）解：因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数. ①当实数x满足 即当－3＜x＜2时，点Z在第三象限. ②z＝（x2＋x－6）＋（x2－2x－15）i对应点的坐标为Z（x2＋x－6，x2－2x－15）， 当实数x满足（x2＋x－6）－（x2－2x－15）－3＝0， 即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上. 通性通法 1.利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决此类问题的根据； （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解. 2.复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数；反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量； （2）解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 【跟踪训练】 1.复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是　－6－8i　. 解析：因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝（4，3），＝（－2，－5）.又＝－＝（－2，－5）－（4，3）＝（－6，－8），所以向量表示的复数是－6－8i. 2.求当实数m为何值时，复数z＝（m2－8m＋15）＋（m2＋3m－28）i在复平面内的对应点分别满足下列条件： （1）位于第四象限； （2）位于x轴的负半轴上. 解：（1）由题意，知 解得 即－7＜m＜3. 故当－7＜m＜3时，复数z的对应点位于第四象限. （2）由题意，知 由②得m＝－7或m＝4. 因为m＝－7不适合不等式①，m＝4适合不等式①， 所以m＝4. 故当m＝4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上. 题型二 复数的模及其几何意义的应用 【例2】　（链接教科书第130页例2、例3）已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i. （1）求｜z1｜及｜z2｜并比较大小； （2）设z∈C，满足条件｜z｜＝｜z1｜的复数z对应的点Z的集合是什么图形？ 解：（1）因为｜z1｜＝｜＋i｜＝＝2， ｜z2｜＝－＋i＝ ＝1， 所以｜z1｜＞｜z2｜. （2）法一　设z＝x＋yi（x，y∈R），则点Z的坐标为（x，y）. 由｜z｜＝｜z1｜＝2，得＝2，即x2＋y2＝4. 所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆. 法二　由｜z｜＝｜z1｜＝2知｜｜＝2（O为坐标原点）， 所以Z到原点的距离为2. 所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆. 【母题探究】 　（变条件，变设问）若本例（2）改为：设z∈C，满足｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜的复数z对应的点Z的集合是什么图形？ 解：因为｜z1｜＝2，｜z2｜＝1，所以1≤｜z｜≤2，可化为不等式组 设z＝x＋yi（x，y∈R）， 因为不等式｜z｜≥1的解集是圆x2＋y2＝1上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式｜z｜≤2的解集是圆x2＋y2＝4上和该圆内部所有点组成的集合， 这两个集合的交集，就是满足条件1≤｜z｜≤2的点的集合. 所以满足条件1≤｜z｜≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示. 通性通法 1.在计算复数的模时，应先把复数表示成标准的代数形式，找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小. 2.解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：（1）复数z的模｜z｜表示复数在复平面内对应的点Z到原点的距离，可依据｜z｜满足的条件判断点Z的集合表示的图形；（2）利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决. 【跟踪训练】 1.已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是（　　） A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 解析：A　由题意知（｜z｜－3）（｜z｜＋1）＝0，即｜z｜＝3或｜z｜＝－1，因为｜z｜≥0，所以｜z｜＝3，所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆.故选A. 2.已知复数z1＝m＋（m2－2m）i，z2＝1＋（－m2＋3m－1）i，其中m∈R. （1）若复数z1为实数，求实数m的值； （2）求｜z1＋z2｜的最小值. 解：（1）由复数z1为实数，则m2－2m＝0，解得m＝2或m＝0， 即若复数z1为实数，则实数m的值为2或0. （2）因为z1＋z2＝（m＋1）＋（m－1）i， 所以｜z1＋z2｜＝＝， 故｜z1＋z2｜的最小值为，此时m＝0. 题型三 复数加、减法的几何意义 【例3】　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i. 求：（1）及对应的复数； （2）对应的复数及｜｜. 解：因为点A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i， 由复数的几何意义知与对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i. （1）因为＝－＝－（3＋2i）＝－3－2i， ＝＋＝（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i， 所以及对应的复数分别为－3－2i，1＋6i. （2）因为＝－＝（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i， 所以｜｜＝｜5－2i｜＝＝. 通性通法 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 　　向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是zB－zA（终点对应的复数减去起点对应的复数）. 【跟踪训练】 　已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点. （1）求对应的复数； （2）求对应的复数. 解：（1）由于四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋， 于是＝－，而（1＋4i）－（3＋2i）＝－2＋2i，即对应的复数是－2＋2i. （2）由于＝－，而（3＋2i）－（－2＋2i）＝5，所以对应的复数是5. 题型四 复数差的模的几何意义 【例4】　复数z满足｜z＋3＋4i｜＝2，则｜z｜的最大值是（　　） A.7 B.9 C.3 D.5 解析：A　由题意可知｜z－（－3－4i）｜＝2，即复数z在复平面内对应的点与复数－3－4i在复平面内对应的点的距离为2，复数z在复平面内对应的点在复平面内的轨迹为如图所示的圆Q，数形结合可知｜z｜的最大值在点P处取得，则其最大值为＋2＝7.故选A. 通性通法 两个复数差的模的几何意义 （1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式； （2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆； （3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解. 【跟踪训练】 1.若z1＝－1－2i，复数z满足方程｜z－z1｜＝4，那么复数z在复平面内对应的点P组成的图形为（　　） A.以（－1，－2）为圆心，4为半径的圆 B.以（－1，－2）为圆心，2为半径的圆 C.以（1，2）为圆心，4为半径的圆 D.以（1，2）为圆心，2为半径的圆 解析：A　设z＝x＋yi，x，y∈R，由｜z－z1｜＝4，得｜（x＋1）＋（y＋2）i｜＝4，即（x＋1）2＋（y＋2）2＝42＝16，故复数z在复平面内对应的点P组成的图形是以（－1，－2）为圆心，4为半径的圆.故选A. 2.已知｜z｜＝1且z∈C，求｜z－2－2i｜（i为虚数单位）的最小值. 解：因为｜z｜＝1且z∈C，作图如图， 所以｜z－2－2i｜的几何意义为单位圆上的点M到复平面内的点P（2，2）的距离， 所以｜z－2－2i｜的最小值为｜OP｜－1＝2－1. 1.（2024·苏州期中）i是虚数单位，则复数（3－i）（4－i）在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限　　 C.第三象限 D.第四象限 解析：D　z＝（3－i）（4－i）＝12－7i＋i2＝11－7i，z＝11－7i在复平面内对应的点为（11，－7），它位于第四象限.故选D. 2.若O为复平面的原点，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是（　　） A.－10＋8i B.10－8i C.0 D.10＋8i 解析：C　由复数的几何意义，可得＝（5，－4），＝（－5，4），所以＋＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，0），所以＋对应的复数为0. 3.若复数z＝a＋i（a∈R）在复平面内对应点Z，则｜z｜＝时，点Z与点（1，2）的距离为　1或　. 解析：∵｜z｜＝＝，∴a＝±1.∴z＝1＋i或z＝－1＋i.当z＝1＋i时，Z为（1，1），两点间距离为＝1；当z＝－1＋i时，Z为（－1，1），两点间的距离为＝. 4.（2024·盐城南阳中学期中）已知方程z2－2z＋4＝0的两根为z1，z2，对应点为Z1，Z2，求△OZ1Z2的面积. 解：因为z2－2z＋4＝（z－1）2＋3＝0，所以（z－1）2＝－3，即（）2＝－1， 又因为i2＝－1，所以（）2＝i2，所以＝±i，即z＝1±i. 即方程z2－2z＋4＝0的两根为z1＝1＋i，z2＝1－i，对应点为Z1（1，），Z2（1，－）， 所以△OZ1Z2的面积为×1×2＝. 1.复数z＝（a2－2a）＋（a2－a－2）i（a∈R）对应的点在虚轴上，则（　　） A.a≠2或a≠1　　　　B.a≠2或a≠－1 C.a＝2或a＝0 D.a＝0 解析：C　由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或2.故选C. 2.（2024·常州月考）在复平面内，复数z1，z2对应的两个点关于虚轴对称，已知z1＝1＋i，则z1z2＝（　　） A.－2 B.2 C.－2－i D.－2＋i 解析：A　因为复数z1，z2对应的两个点关于虚轴对称，z1＝1＋i，所以z2＝－1＋i，所以z1z2＝（1＋i）（－1＋i）＝－2.故选A. 3.若z＝1＋i，则｜z2－2z｜＝（　　） A.0 B.1 C. D.2 解析：D　法一　∵z＝1＋i，∴｜z2－2z｜＝｜（1＋i）2－2（1＋i）｜＝｜2i－2i－2｜＝｜－2｜＝2.故选D. 法二　∵z＝1＋i，∴｜z2－2z｜＝｜z｜｜z－2｜＝×｜－1＋i｜＝×＝2.故选D. 4.设复数z满足｜z－i｜＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（　　） A.（x＋1）2＋y2＝1 B.（x－1）2＋y2＝1 C.x2＋（y－1）2＝1 D.x2＋（y＋1）2＝1 解析：C　依题意z＝x＋yi，代入｜z－i｜＝1，得｜x＋（y－1）i｜＝1，∴＝1，即x2＋（y－1）2＝1.故选C. 5.（多选）（2024·连云港月考）设复数z满足z（1－i）＝2（其中i为虚数单位），则下列说法正确的是（　　） A.｜z｜＝ B.复数z的虚部是i C.＝－1＋i D.复数z在复平面内所对应的点在第一象限 解析：AD　因为z（1－i）＝2，所以z＝＝＝1＋i，所以｜z｜＝＝，所以A正确；z＝1＋i的虚部为1，所以B错误；z＝1＋i的共轭复数为＝1－i，所以C错误；z＝1＋i在复平面内所对应的点为（1，1），在第一象限，所以D正确.故选A、D. 6.（多选）已知复数z＝，则（　　） A.z2 024是纯虚数 B.｜z＋i｜＝2 C.z的共轭复数为－i D.若复数ω满足｜ω－z｜＝，则｜ω｜max＝1 解析：BC　z＝＝＝＝i.对于A，z2 024＝i2 024＝1，故A错误；对于B，｜z＋i｜＝｜i＋i｜＝2，故B正确；对于C，z的共轭复数为－i，故C正确；对于D，｜ω－z｜＝｜ω－i｜＝的几何意义为ω在复平面内对应的点A到点（0，1）的距离为，故｜ω｜max＝1＋＝，故D错误.故选B、C. 7.i是虚数单位，设（1＋i）x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝　1　，｜x＋yi｜＝　　. 解析：由（1＋i）x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1，∴xy＝1，｜x＋yi｜＝｜1＋i｜＝. 8.已知i为虚数单位，复数z＝，则｜z｜＝　　，复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为　　. 解析：由题意得，z＝＝＝＝＋i，所以｜z｜＝＝，＝－i，所以复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为. 9.若复数z＝（a－2）＋（a＋1）i，a∈R对应的点位于第二象限，则｜z｜的取值范围是　［，3）　. 解析：复数z＝（a－2）＋（a＋1）i对应的点的坐标为（a－2，a＋1），因为该点位于第二象限，所以解得－1＜a＜2.由条件得｜z｜＝＝＝＝.因为－1＜a＜2，所以｜z｜∈［，3）. 10.（2024·苏州期中）已知复数z在复平面上对应的点在第一象限，且｜z｜＝，z2的虚部为2. （1）求复数z； （2）设复数z，z2，z－z2在复平面上对应点分别为A，B，C，求·的值. 解：（1）设z＝a＋bi（a，b∈R），则｜z｜＝，z2＝（a＋bi）2＝（a2－b2）＋2abi， 因为｜z｜＝，z2的虚部为2，所以 解得或 又复数z在复平面上对应的点在第一象限，所以故z＝1＋i. （2）因为z＝1＋i，所以z2＝（1＋i）2＝2i，z－z2＝1＋i－2i＝1－i， 所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1）， ·＝（－1，1）·（0，－2）＝－2. 11.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足｜z－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，则z对应的点是△ABC的（　　） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：A　由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心.故选A. 12.（多选）已知复数z0＝2＋i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足｜z－1｜＝｜z－i｜，下列结论正确的是（　　） A.P0点的坐标为（2，1） B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称 C.复数z对应的点P在一条直线上 D.P0与z对应的点P间的距离的最小值为 解析：ACD　复数z0＝2＋i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0（2，1），因此A正确；复数z0的共轭复数2－i对应的点（2，－1）与点P0（2，1）关于虚轴不对称，因此B不正确；设点A（1，0），B（0，1），由复数z满足｜z－1｜＝｜z－i｜，结合复数的几何意义，可知复数z对应的点P到点（1，0）与点（0，1）的距离相等，则复数z对应的点P在线段AB的垂直平分线y＝x上，因此C正确；P0（2，1）与z对应的点P间的距离的最小值为点P0到直线x－y＝0的距离d＝＝，因此D正确.故选A、C、D. 13.（2024·镇江月考）设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝＋i，则｜z1－z2｜＝　2　. 解析：法一　设z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R），z2＝x2＋y2i（x2，y2∈R），则由｜z1｜＝｜z2｜＝2，得＋＝＋＝4.因为z1＋z2＝x1＋x2＋（y1＋y2）i＝＋i，所以｜z1＋z2｜2＝（x1＋x2）2＋（y1＋y2）2＝＋＋＋＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝（）2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以｜z1－z2｜＝｜x1－x2＋（y1－y2）i｜＝＝＝＝2. 法二　设z1＝a＋bi（a，b∈R），则z2＝－a＋（1－b）i，则即所以｜z1－z2｜2＝（2a－）2＋（2b－1）2＝4（a2＋b2）－4（a＋b）＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以｜z1－z2｜＝2. 法三　设z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，O为坐标原点，z1＋z2＝z＝＋i，则z在复平面内对应的点为P（，1），所以｜z1＋z2｜＝｜z｜＝2，由平行四边形法则知四边形OAPB是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为｜z1－z2｜＝2××2＝2. 14.已知复数z＝1＋mi（i是虚数单位，m∈R），且·（3＋i）为纯虚数（是z的共轭复数）. （1）设复数z1＝，求｜z1｜； （2）设复数z2＝，且复数z2在复平面内所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 解：∵z＝1＋mi，∴＝1－mi. ∴·（3＋i）＝（1－mi）（3＋i）＝（3＋m）＋（1－3m）i. 又∵·（3＋i）为纯虚数， ∴解得m＝－3.∴z＝1－3i. （1）z1＝＝－－i，∴｜z1｜＝. （2）∵z＝1－3i，i2 025＝i2024·i＝i， ∴z2＝＝. 又∵复数z2在复平面内所对应的点在第一象限， ∴解得a＞. 即实数a的取值范围是. 15.已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求： （1）点C，D对应的复数； （2）平行四边形ABCD的面积. 解：（1）∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i， ∴向量对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i. 又∵＝＋， ∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i. ∵＝， ∴向量对应的复数为3－i， 即＝（3，－1）.设D（x，y）， 则＝（x－2，y－1）＝（3，－1）， ∴解得 ∴点D对应的复数为5. （2）∵·＝｜｜｜｜cos B， ∴cos B＝＝＝. ∵0＜B＜π，∴sin B＝， ∴S四边形ABCD＝｜｜｜｜sin B＝××＝7， ∴平行四边形ABCD的面积为7. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $