12.2 第2课时 复数的乘方与除法运算-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦复数的乘方运算、iⁿ（n∈N*）的周期性及除法运算，通过计算i³到i¹²的问题导入，引导学生发现规律，衔接实数幂运算律，搭建复数乘方学习支架。 资料以问题驱动探究iⁿ周期性，结合例1证明ω性质培养数学抽象，通过例2除法运算、例3解方程提升数学运算，帮助学生构建知识体系，教师可直接用于课堂，高效落实核心素养，助力学生掌握复数运算规律。

第2课时　复数的乘方与除法运算 新课程标准解读 核心素养 1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立 数学抽象、数学运算 2.了解i的幂的周期性 数学抽象 3.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算 数学运算 　　实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立， 我们知道i1＝i， i2＝－1. 【问题】　i3， i4， i5， i6， i7， i8， i9， i10， i11， i12分别是多少？从这些数中，你能总结出什么规律？ 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　复数的乘方与in（n∈N*）的周期性 1.复数范围内幂的运算性质 对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有zmzn＝　zm＋n　，（zm）n＝　zmn　，（z1z2）n＝　　. 2.in（n∈N*）的周期性 i4n＝　1　，i4n＋1＝　i　，i4n＋2＝　－1　，i4n＋3＝　－i　. 提醒　（1）复数范围内正整数指数幂的运算律与实数范围内正整数指数幂的运算律是一致的；（2）由i的正整数指数幂的含义易知，对于4个连续的正整数a，b，c，d都有ia＋ib＋ic＋id＝0. 知识点二　复数的除法 1.复数的除法 我们把满足（c＋di）（x＋yi）＝a＋bi（c＋di≠0）的复数x＋yi（x， y∈R）叫作复数a＋bi除以c＋di所得的商，记作或　（a＋bi）÷（c＋di）　. 2.复数的除法法则 一般地，＝＝　＋i　. 提醒　对复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”类似；②代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开. 1.（多选）下列结论中正确的是（　　） A.i＋i2＋i3＋i4＝0 B.＝－i C.＝－i D.＝－i 解析：ABC　对于A，i2＝－1，i3＝（i2）i＝－i，i4＝（i2）2＝1，i＋i2＋i3＋i4＝i＋（－1）＋（－i）＋1＝0，故A正确；对于B，＝＝＝－i，故B正确；对于C，＝＝－i，故C正确；对于D，＝＝＝i，故D错误.故选A、B、C. 2.设a是实数，且＋是实数，则a＝（　　） A.　　　B.1 C.　　　D.2 解析：B　∵＋＝＋＝＋i，又∵（＋）∈R，∴＝0，解得a＝1.故选B. 3.（）2＝　i　. 解析：因为＝＝.所以（）2＝［］2＝＝i. 题型一 复数的乘方与in（n∈N*）的周期性 【例1】　（1）（链接教科书第125页例4）设ω＝－－i.求证： ①ω2＝；②ω2＋ω＋1＝0；③ω3＝1. （2）计算：①（1＋i）4；②i＋i2＋i3＋…＋i100. 解：（1）证明：①因为ω2＝＝＋i－＝－＋i，＝－＋i， 所以ω2＝. ②ω2＋ω＋1＝（－＋i）＋＋1＝0. ③ω3＝ω·ω2＝（－－i）＝（－）2－（i）2＝＋＝1. （2）①（1＋i）4＝[（1＋i）2]2＝（2i）2＝4i2＝－4. ②i＋i2＋i3＋…＋i100＝（i＋i2＋i3＋i4）×25＝0. 通性通法 1.进行复数的乘方运算时要灵活运用乘方的运算性质及一些常用的结论： （a＋bi）2＝a2＋2abi－b2（a，b∈R）；（a＋bi）（a－bi）＝a2＋b2（a，b∈R）；（1±i）2＝±2i. 2.利用i幂值的周期性解题的技巧 （1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数分别是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i； （2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. 【跟踪训练】 1.（－i）3＝（　　） A.－i B.i C.－1 D.1 解析：C　（－i）3＝（－i）2（－i）＝（－－i）（－i）＝－－＝－1.故选C. 2.（2024·江苏东海高中月考）已知复数z＝（）2 025，则的虚部为（　　） A.－1 B.－i C.1 D.i 解析：A　因为＝＝i，又i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以z＝（）2 025＝i2 025＝i506×4＋1＝（i4）506×i＝i，所以＝－i，所以的虚部为－1.故选A. 题型二 复数的除法运算 【例2】　（1）（链接教科书第126页例5）＝（　A　） A.－＋i B.－i C.－＋i D.－i （2）若复数z满足z（2－i）＝11＋7i（i为虚数单位），则z＝（　A　） A.3＋5i B.3－5i C.－3＋5i D.－3－5i 解析：（1）法一　设＝x＋yi，所以1＋2i＝（3－4i）（x＋yi），即1＋2i＝（3x＋4y）＋（3y－4x）i，所以解得所以＝－＋i.故选A. 法二　＝＝＝＝－＋i.故选A. （2）因为z（2－i）＝11＋7i，所以z＝＝＝＝3＋5i.故选A. 通性通法 1.两个复数代数形式的除法运算的步骤 （1）首先将除式写为分式； （2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； （3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. 2.常用公式 （1）＝－i；（2）＝i；（3）＝－i. 【跟踪训练】 　计算：（1）； （2）＋－. 解：（1）法一　＝＝＝－2＋i. 法二　＝ ＝＝＝＝－2＋i . （2）原式＝[（1＋i）2]3·＋[（1－i）2]3·－＝（2i）3·i＋（－2i）3·（－i）－＝8＋8－16－16i ＝－16i. 题型三 在复数范围内解方程 【例3】　（链接教科书第126页例6）在复数范围内解下列方程： （1）x2＋5＝0； （2）x2＋4x＋6＝0. 解：（1）因为x2＋5＝0，所以x2＝－5， 又因为（i）2＝（－i）2＝－5， 所以x＝±i，所以方程x2＋5＝0的根为x＝±i. （2）法一　因为x2＋4x＋6＝0，所以（x＋2）2＝－2， 因为（i）2＝（－i）2＝－2， 所以x＋2＝i或x＋2＝－i， 即x＝－2＋i或x＝－2－i， 所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 法二　由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根. 在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且b≠0）， 则（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0， 所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0， 整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0， 所以 又因为b≠0，所以 解得a＝－2，b＝±.所以x＝－2±i， 即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 通性通法 　　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求解方法 （1）求根公式法： ①当Δ≥0时，x＝； ②当Δ＜0时，x＝； （2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni（m，n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解； （3）一元二次方程根与系数的关系仍成立，即x1＋x2＝－，x1x2＝. 【跟踪训练】 1.（2024·泰州月考）已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0（q∈R）的一个根，则该方程的另一个根为（　　） A.2i＋3 B.－2i－3 C.2i－3 D.－2i＋3 解析：B　根据题意，方程的另一个根为－6－（2i－3）＝－3－2i.故选B. 2.已知关于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值. 解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得（＋kx0＋2）＋（2x0＋k）i＝0. 由复数相等的条件得＋kx0＋2＝2x0＋k＝0， 解得或 ∴方程的实根为x＝或－，相应的k的值为－2或2. 1.（2024·南京月考）已知＝1＋i（i为虚数单位），则复数z＝（　　） A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 解析：D　因为＝1＋i，所以z＝＝＝＝－1－i.故选D. 2.（多选）方程x2＋3＝0在复数范围内的解为x＝（　　） A.1＋i B.1－i C.－i D.i 解析：CD　x2＝－3，解得x＝i或x＝－i.故选C、D. 3.如果z＝，那么z100＋z50＋1＝　i　. 解析：z2＝（）2＝i，则z100＋z50＋1＝（z2）50＋（z2）25＋1＝i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i. 4.计算：（1）； （2）（＋i）5＋＋. 解：（1）原式＝＝ ＝＝＝1－i. （2）（＋i）5＋＋ ＝－i·（）5·[（1＋i）2]2·（1＋i）＋＋i7＝16（－1＋i）－－i ＝－＋（16－1）i. 1.已知复数z＝＋5i，则z＝（　　） A.1－7i B.－1＋7i C.1 D.7i 解析：B　z＝＋5i＝＋5i＝－1＋7i，故选B. 2.若i为虚数单位，＋＋＋＝（　　） A.0 B.2i C.－2i D.4i 解析：A　＝－i，＝i，＝－i，＝i，∴＋＋＋＝0.故选A. 3.若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a＝（　　） A.－6 B.－4 C.4 D.6 解析：A　因为＝＝为纯虚数，所以解得a＝－6.故选A. 4.（2024·徐州月考）若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知z＝＋bi（a，b∈R）为“理想复数”，则（　　） A.a－5b＝0 B.3a－5b＝0 C.a＋5b＝0 D.3a＋5b＝0 解析：D　z＝＋bi＝＋bi＝＋（＋b）i.由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0.故选D. 5.（多选）若x2－x＋1＝0，则x＝（　　） A.＋i B.－＋i C.－i D.－－i 解析：AC　由x2－x＋1＝0知，Δ＝1－4＝－3＜0，所以方程无实根，所以在复数范围内方程x2－x＋1＝0的根为x＝，即x1＝＋i，x2＝－i，故选A、C. 6.（多选）设z＝＋i，则下列式子成立的是（　　） A.z2＝－ B.z3＝－1 C.z2－z＋1＝0 D.z3＝1 解析：ABC　z2＝（＋i）2＝－＋i＝－＋i＝－，故A正确；z3＝（＋i）3＝（＋i）2（＋i）＝（－＋i）（＋i）＝－－＝－1，故B正确，D错误；z2－z＋1＝－＋i－－i＋1＝0，故C正确.故选A、B、C. 7.（2024·盐城联盟校期中）若复数z满足方程i＝1－i，则z＝　　－1＋i. 解析：由题意可得＝＝＝－i（1－i）＝－1－i，所以z＝－1＋i. 8.（2024·江苏启动中学月考）写出一个同时满足①②的复数z＝　－－i（或－＋i）　.①z2＝；②z∉R. 解析：因为z∉R，不妨设z＝a＋bi（a，b∈R，b≠0），由z2＝得（a＋bi）2＝a2－b2＋2abi＝a－bi，所以解得a＝－，b＝±，所以z＝－－i或z＝－＋i. 9.已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若是实数，则实数b＝　6　. 解析：＝＝＝，∵是实数，∴6－b＝0，即b＝6. 10.计算： （1）（ －＋i）（2－i）（3＋i）； （2）. 解：（1）（ －＋i）（2－i）（3＋i）＝（ －＋i）·（7－i）＝＋i. （2）＝ ＝＝＝ ＝－2－2i. 11.（2024·江苏启动中学月考）已知f（n）＝（）2n＋（）2n（n∈N*），则集合{x｜x＝f（n），n∈N*}中元素的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B　∵f（n）＝（）2n＋（）2n＝［（）2］n＋［（）2］n＝2（－1）n，∴{x｜x＝f（n），n∈N*}＝{2，－2}，∴集合{x｜x＝f（n），n∈N*}中元素的个数为2.故选B. 12.（多选）已知集合M＝{m｜m＝in，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（　　） A.（1－i）（1＋i） B. C. D.（1－i）2 解析：BC　M＝{m｜m＝in，n∈N}中，n＝4k（k∈N）时，in＝1；n＝4k＋1（k∈N）时，in＝i；n＝4k＋2（k∈N）时，in＝－1；n＝4k＋3（k∈N）时，in＝－i，∴M＝{－1，1，i，－i}.选项A中，（1－i）（1＋i）＝2∉M；选项B中，＝＝－i∈M；选项C中，＝＝i∈M；选项D中，（1－i）2＝－2i∉M.故选B、C. 13.已知复数z＝是纯虚数，θ∈R，则θ＝　kπ＋（k∈Z）　. 解析：＝（tan θ－）＋i，因为z＝是纯虚数，所以tan θ－＝0，所以θ＝kπ＋（k∈Z）. 14.已知复数z＝2＋i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的根. （1）求p＋q的值； （2）若复数w＝a＋bi（a，b∈R）满足zw是实数，且a2＋b2＝20，求复数w. 解：（1）关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的虚根互为共轭复数，所以它的另一根是2－i，根据根与系数的关系可得p＝－4，q＝5，p＋q＝1. （2）由（a＋bi）（2＋i）＝（2a－b）＋（a＋2b）i∈R，得a＋2b＝0.又a2＋b2＝20， 解得a＝4，b＝－2或a＝－4，b＝2， 因此w＝4－2i或w＝－4＋2i. 15.已知ω＝－＋i（i为虚数单位）. （1）求（ω＋2ω2）2＋（2ω＋ω2）2的值； （2）求ω2＋的值； （3）类比i（i2＝－1），探讨ω（ω为虚数）的性质，求ωn（n∈Z）的值. 解：（1）∵ω＝－＋i， ∴ω2＝－－i＝，ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0， ∴（ω＋2ω2）2＋（2ω＋ω2）2＝ω2＋4ω3＋4ω4＋4ω2＋4ω3＋ω4＝5ω2（ω2＋ω＋1）＋3ω3＝3. （2）由（1）知ω2＋ω＝－1，∴ω2＋＝＝＝ω2＋ω＝－1. （3）由（1）可知ω2＝－－i＝，ω3＝1， ∴ωn＝ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $