12.1 复数的概念-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

12.1　复数的概念

　　随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充，它的每一次扩充，解决了某些运算在原有数集中不能实施的矛盾，数集的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：

　　在自然数集中，方程x＋4＝3无解，为此引入负数，数集扩充到整数集；

　　在整数集中，方程2x＝5无解，为此引入分数，数集扩充到有理数集；

　　在有理数集中，方程x2＝7无解，为此引入无理数，数集扩充到实数集.

【问题】　在实数集中，类似x2＝－1的方程无解，能否引入一种新数，使得方程有解并将实数集进行扩充呢？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　              　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　          　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　复数的概念及分类

1.虚数单位：引入一个新数i，叫作　虚数单位　，并规定：

（1）i2＝　－1　；

（2）　实数　可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.

2.复数的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫作复数.　全体复数　所组成的集合叫作复数集，记作C.

3.复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫作复数z的　实部　与　虚部　.

4.复数的分类

（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）

（2）集合表示

 

 

 

 

知识点二　复数相等

　如果两个复数的　实部　与　虚部　分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即a＋bi＝c＋di⇔这就是说，两个复数相等的充要条件是它们的　实部　和　虚部　分别相等.

提醒　在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立.

1.（多选）下列说法中正确的是（　　）

A.x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解

B.复数z＝a＋bi（a，b∈R）中，实部为a，虚部为b

C.任意两个复数不能比较大小

D.若a，b∈R，当a＝0时，复数a＋bi为纯虚数

解析：AB　对于A，i2＝－1，则i2＋1＝0，故A正确；由复数的代数形式知B正确；对于C，若两个复数是实数，则两个实数能比较大小，故C错误；对于D，当a＝0，b＝0时，复数a＋bi＝0，故D错误.故选A、B.

2.（2024·淮安马坝高中期中）已知a∈R，若a－1＋（a－2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（　　）

A.1　　 　B.－1 C.2　　 　D.－2

解析：C　依题意得a－2＝0，∴a＝2.故选C.

3.已知x－3i＝（8x－y）i（x，y∈R），则x＝　0　，y＝　3　.

解析：依题意得即

【例1】　（1）（链接教科书第120页例1）写出下列复数的实部和虚部：－2＋i，＋i，，－i，i，0；

（2）判断N*，N，Z，Q，R，C的关系.

解：（1）－2＋i，＋i，，－i，i，0的实部分别为－2，，，0，0，0；虚部分别为，1，0，－，1，0.

（2）根据各数集的含义可知，N*⫋N⫋Z⫋Q⫋R⫋C.

通性通法

复数概念的几个关注点

（1）复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b；

（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分；

（3）如果两个复数都是实数可以比较大小，否则不能比较大小.

 

 

【跟踪训练】 

1.设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关系为（　　）

A.A⫋B⫋C B.B⫋A⫋C

C.B⫋C⫋A D.A⫋C⫋B

解析：B　根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数.因此只有B正确.故选B.

2.若复数z＝（2a－1）＋（3＋a）i（a∈R）的实部与虚部相等，则a＝　4　.

解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4.