培优课 三角形中的最值（范围）问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦三角形中的最值（范围）问题，涵盖边（周长）、角或三角函数、面积三类题型。通过例题导入，结合母题探究变条件变设问，梳理正弦定理、余弦定理等知识脉络，搭建递进式学习支架。 资料特色在于题型分类清晰，通性通法总结到位，如化边为角用三角函数有界性、化角为边用基本不等式。例3结合四边形面积求解，培养数学思维与推理能力，助力学生掌握解题方法，为教师提供系统教学资源。

培优课　三角形中的最值（范围）问题 题型一 与三角形的边（周长）有关的最值（范围）问题 【例1】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝. （1）求A的大小； （2）若a＝6，求b＋c的取值范围. 解：（1）由＝及已知，得cos A＝sin A， ∴tan A＝，又A∈（0，π），∴A＝. （2）由a＝6及（1）知＝＝＝4， ∴b＝4sin B，c＝4sin C. ∵A＝，∴B＋C＝π，∴C＝π－B， ∴b＋c＝4sin B＋4sin＝4［sin B＋sin（π－B）］＝12sin. ∵0＜B＜π，∴＜B＋＜π.∴＜sin≤1（当且仅当B＝时，等号成立）， ∴6＜b＋c≤12，即b＋c的取值范围为（6，12]. 【母题探究】 　（变条件，变设问）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，c＝，求△ABC周长的取值范围. 解：由正弦定理得＝＝＝2， ∴a＝2sin A，b＝2sin B， 则△ABC的周长为l＝a＋b＋c＝2（sin A＋sin B）＋＝2＋ ＝2＋＝2（sin A＋cos A）＋＝2sin＋. ∵0＜A＜，∴＜A＋＜，∴＜sin（A＋）≤1， ∴2＜2sin＋≤2＋， ∴△ABC周长的取值范围是（2，2＋]. 通性通法 　　解决与三角形的边（周长）有关的最值（范围）问题的方法 （1）化边为角：利用三角函数的单调性与有界性求最值（范围）； （2）化角为边：利用基本不等式或二次函数性质求最值（范围）. 【跟踪训练】 　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B. （1）求cos B的值； （2）若a＋c＝2，求b的取值范围. 解：（1）因为cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B， 所以－cos（A＋B）＋cos Acos B＝2sin Acos B， 即sin Asin B＝2sin Acos B， 因为sin A≠0，所以sin B＝2cos B＞0， 又因为sin2B＋cos2B＝1，解得cos B＝. （2）由a＋c＝2，可得c＝2－a， 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝a2＋（2－a）2－a（2－a）＝（a－1）2＋， 因为0＜a＜2，所以≤b2＜4，所以≤b＜2， 所以b的取值范围为. 题型二 与三角形的角或角的三角函数有关的最值（范围）问题 【例2】　若△ABC的内角A，B，C满足：sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是　　. 解析：由sin A＋sin B＝2sin C，得a＋b＝2c，∴c＝，∴cos C＝＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝即a＝b时等号成立.∴cos C的最小值为. 通性通法 　　解决与三角形的角或角的三角函数有关的最值（范围）问题的方法 　　求角或角的三角函数有关的最值（范围）一般是用边表示角（三角函数式），利用基本不等式求最值（范围）. 【跟踪训练】 　（2024·徐州月考）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＋＝，则A的取值范围是　（0，］　. 解析：由正弦定理知＋＝＝＝，∵sin A＝sin[π－（B＋C）]＝sin（B＋C），∴sin2A＝sin Csin B，即a2＝bc，又由余弦定理知cos A＝≥＝，当且仅当b＝c时等号成立，∵A∈（0，π），∴cos A∈，则A∈（0，］. 题型三 与三角形的面积有关的最值（范围）问题 【例3】　（2024·南通质检）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝.若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是（　　） A.　　　　　　 B. C.3 D. 解析：A　如图，在△ABC中，∵b＝c，＝，∴sin Bcos A＋cos Bsin A＝sin A，即sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sin C＝sin A，∴A＝C，又b＝c，故△ABC为等边三角形.∴S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC＝·OA·OB·sin θ＋·AB2·sin＝×2×1×sin θ＋（OA2＋OB2－2OA·OB·cos θ）＝sin θ－cos θ＋＝2sin＋.∵0＜θ＜π，∴－＜θ－＜，故当θ－＝，即θ＝时，sin取得最大值1，故S四边形OACB的最大值为2＋＝.故选A. 通性通法 　　求解与平面图形有关的面积最值（范围）问题可以先转化为三角形的面积，用三角形的面积公式表示，进而利用三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性求解. 【跟踪训练】 　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝. （1）求角A； （2）若a＝2，求△ABC面积的最大值. 解：（1）由＝，结合正弦定理＝，得＝＝， 所以tan A＝，又因为A∈（0，π），所以A＝. （2）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc. 即bc≤4（当且仅当b＝c＝2时，等号成立）， 所以S△ABC＝bcsin A≤×4×＝， 即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为. 1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且B＝60°，b＝2.若这个三角形有两解，则a的取值范围是（　　） A.（2，） B.（2，］ C.（2，＋∞） D.（－∞，2） 解析：A　由题意得asin B＜b＜a，即asin 60°＜2＜a，解得2＜a＜，故选A. 2.（2024·无锡江阴高中期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则cos C的最小值等于（　　） A. B. C. D.－ 解析：C　由正弦定理可得a2＋b2＝2c2，所以cos C＝＝，由于a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，所以≥，故cos C的最小值等于.故选C. 3.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2＋ab，若△ABC的外接圆半径为，则△ABC面积的最大值为　4　. 解析：由a2＋b2＝c2＋ab及余弦定理，得cos C＝＝＝，∴sin C＝.由△ABC的外接圆半径为，得c＝2Rsin C＝4，∴a2＋b2＝16＋ab≥2ab，∴ab≤12，当且仅当a＝b时等号成立.∴S△ABC＝absin C≤×12×＝4.即△ABC面积的最大值为4. 1.在△ABC中，BC＝3，AC＝5，＜B＜π，则边AB的取值范围是（　　） A.（2，8） B.（1，4） C.（4，＋∞） D.（2，4） 解析：D　令△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，依题意，5－3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B为钝角，所以cos B＝＜0，a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜4，所以c的取值范围即AB的取值范围是（2，4）.故选D. 2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝6，1≤b≤4，则sin A的最大值为（　　） A. B. C. D.1 解析：D　∵C＝，a＝6，1≤b≤4，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab＝36＋b2－6b＝（b－3）2＋27，∴c2＝（b－3）2＋27∈[27，31]，∴c∈[3，]，∴由正弦定理＝，可得sin A＝＝＝∈［，1］，故sin A的最大值为1. 3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccos A＋acos C＝2，AC边上的高为，则角B的最大值为 （　　） A. B. C. D. 解析：B　由ccos A＋acos C＝b得b＝2.因为AC边上的高为，所以×2×＝acsin B，即ac＝，又cos B＝≥＝1－，当且仅当a＝c时取等号，所以cos B≥1－sin B，即sin B＋3cos B≥3，即sin≥.因为B∈（0，π），所以B＋∈，则B＋∈（，］，所以B∈（0，］，故角B的最大值为.故选B. 4.在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.若BC＝3，求△ABC周长的最大值为（　　） A.2 B.3 C.3＋2 D.3＋3 解析：C　由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB　①.由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A　②.由①②得cos A＝－.因为0＜A＜π，所以A＝.由正弦定理得＝＝＝2，从而AC＝2sin B，AB＝2sin（π－A－B）＝3cos B－sin B，故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin.又0＜B＜，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.故选C. 5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝，D是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最大值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：B　设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x，在△ACD中，由余弦定理得b2＝9＋x2＋6xcos θ　①，在△ABD中，由余弦定理得c2＝9＋9x2－18xcos θ　②，联立①②，消去cos θ得3b2＋c2＝36＋12x2　③，在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2　④，联立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc（当且仅当3b＝c时，等号成立），∴bc≤16，∴S△ABC＝bcsin ≤×16×＝4.故选B. 6.（多选）（2024·江阴长泾中学期中）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2，·＝2S，下列选项正确的是（　　） A.A＝ B.若b＝3，则△ABC只有一解 C.若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是（2，4） D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2＋ 解析：CD　对于A，根据平面向量数量积公式及三角形面积公式由·＝2S⇒bccos A＝2×bcsin A⇒tan A＝，因为A∈（0，π），所以A＝，故A错误；对于B，b＝3＞a＝2＞bsin A＝，故△ABC有两解，故B错误；对于C，若△ABC为锐角三角形，则B∈（0，），且A＋B＝π－C＞⇒＋B＞⇒B∈（，），即sin B∈（，1），由正弦定理可知：b＝＝4sin B∈（2，4），故C正确；对于D，若D为BC边上的中点，则＝（＋）⇒＝（＋2·＋）＝（b2＋c2＋bc），由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝4⇒b2＋c2＝bc＋4，根据基本不等式有b2＋c2＝bc＋4≥2bc⇒bc≤，当且仅当b＝c＝时取得等号，所以（b2＋c2＋bc）＝（4＋2bc）≤1＋×＝7＋4，即AD≤＝2＋，故D正确.故选C、D. 7.（2024·金华月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C＝sin2C，则＝　2　，角C的最大值为　　. 解析：∵2sin Asin Bcos C＝sin2C，∴2abcos C＝c2⇒a2＋b2－c2＝c2⇒＝2，∴cos C＝＝≥，当且仅当a＝b时取等号.∵0＜C＜π，∴0＜C≤，即角C的最大值为. 8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan B，若c＝2，则a2＋b2的取值范围是　（4，16＋8]　. 解析：由tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝tan Atan B，且tan Atan B≠0，得tan C＝，∵0＜C＜π，∴C＝.∵c2＝a2＋b2－2abcos C，c＝2，∴4＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab≥a2＋b2－，∴a2＋b2≤16＋8，当且仅当a＝b时取等号.又a2＋b2＞4，∴a2＋b2的取值范围是（4，16＋8]. 9.（2024·无锡市北高中期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4cos A＝sin B＋sin C.若△ABC的面积S＝，则边a的最小值为　2　. 解析：由正弦定理＝＝可得，bsin C＝csin B，asin B＝bsin A.由已知可得，4bc·cos A＝acsin B＋absin C＝2acsin B＝2bcsin A，所以sin A＝2cos A.又0＜A＜π，所以0＜A＜，所以cos A＞0，因为sin2A＋cos2A＝25cos2A＝1，所以cos A＝，sin A＝.因为△ABC的面积S＝bcsin A＝bc＝，所以bc＝.由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－2××≥2bc－1＝4，当且仅当b＝c＝时，等号成立.所以a2≥4，a的最小值为2. 10.如图所示，有两条经过村庄A且夹角为60°的公路，根据规划，拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：千米）.如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）？ 解：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝， 又MN＝2，所以AM＝sin（120°－θ）， 在△APM中，cos∠AMP＝cos（60°＋θ）， AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP ＝sin2（120°－θ）＋4－2×sin（120°－θ）×2×cos（60°＋θ） ＝sin2θ＋sin θcos θ＋4 ＝sin 2θ－cos 2θ＋ ＝sin（2θ－30°）＋. 因为0°＜θ＜120°，则－30°＜2θ－30°＜210°， 当且仅当2θ－30°＝90°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12， 即AP取得最大值2. 所以∠AMN＝60°时，工厂产生的噪音对居民的影响最小. 11.已知a＝（sin x，－cos x），b＝（cos x，cos x），f（x）＝a·b. （1）求函数f（x）图象的对称轴方程； （2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）＝且b＝，求a＋c的取值范围. 解：（1）因为a＝（sin x，－cos x），b＝（cos x，cos x）， 所以f（x）＝a·b＝sin xcos x－cos2x＝sin 2x－cos 2x－＝sin（2x－）－， 由2x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z）， 即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）. （2）由f（B）＝，得sin（2B－）＝1，又2B－∈（－，），即2B－＝. 所以B＝，又b＝， 由正弦定理＝＝，得a＝2sin A，c＝2sin C， 即a＋c＝2sin A＋2sin C＝2sin A＋2sin（－A）＝2cos（A－）， 又0＜A＜，所以－＜A－＜， 所以2cos（A－）∈（，2]. 即a＋c的取值范围为（，2]. 12.（2024·盐城响水中学期中）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos＝asin B. （1）求角A的大小； （2）D是边BC上一点，且BD＝2DC，AD＝2，求△ABC面积的最大值. 解：（1）因为bcos＝asin B，由正弦定理可得sin Bcos＝sin Asin B， 又sin B≠0，所以cos＝sin A，因为A＋B＋C＝π， 所以cos＝cos＝sin，则sin＝sin A＝2sincos， 又sin≠0，所以cos＝， 因为∈（0，），所以＝⇒A＝. （2）根据题意可得＝＋＝＋＝＋（－）＝＋， 所以＝（＋）2＝＋·＋， 即36＝c2＋4bc（－）＋4b2≥2－2bc＝2bc，所以bc≤18， 当且仅当b＝3，c＝6时等号成立， 所以S△ABC＝bcsin≤×18×＝，故△ABC面积的最大值为. 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $