11.3 余弦定理、正弦定理的应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦余弦定理、正弦定理的实际应用，以故宫角楼高度测量问题导入，衔接已学定理知识，搭建从理论到实践的学习支架，梳理测量距离、高度、角度及物理问题的解题脉络。 资料特色在于结合生活情境设计例题，如测量河宽、塔高、缉私船方向等，通过题型分类与通性通法总结，培养逻辑推理、数学建模和数学运算素养，助力学生提升用数学解决实际问题的能力，为教师提供系统教学资源。

11.3　余弦定理、正弦定理的应用 新课程标准解读 核心素养 1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和物理有关的实际问题 逻辑推理、数学运算 2.通过解决实际问题，掌握数学建模的基本步骤 数学建模 在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量. 【问题】　假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　实际应用问题中的有关名词、术语 1.方位角：从指北方向线顺时针转到目标方向线的角，如图中B点的方位角为α. 2.方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图，北偏东30°，南偏东45°. 3.坡角与坡比：坡面与水平面所成的二面角的度数叫作坡角，如图所示，坡角为θ；坡面的垂直高度与水平长度之比叫作坡比，i为坡比. 提醒　应用正、余弦定理解决实际问题的思路 1.若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（　　） A.东偏北45°10'方向上 B.东偏北44°50'方向上 C.南偏西44°50'方向上 D.西偏南44°50'方向上 解析：C　如图所示. 2.两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2 km，灯塔A在C北偏东45°，B在C南偏东15°，则A，B之间的距离为（　　） A.2 km　　　　　　　 B.3 km C.4 km D.5 km 解析：A　作出满足题意的几何图形如图所示，根据图形可知∠ACB＝120°，在△ABC中，AC＝BC＝2（km）.由余弦定理得AB2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，即AB＝2（km）.所以A，B之间的距离为2 km.故选A. 3.（2024·苏州月考）如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20（－1）米到达D点，测得∠ADB＝30°，则塔高为　20　米. 解析：在Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°可知AC＝x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20（－1），∠ADB＝30°，所以＝tan 30°，＝，解得x＝20.则塔高为20米. 题型一 测量距离问题 【例1】　（链接教科书第104页例1）（1）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是　60　m； （2）如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是　20 m　. 解析：（1）tan 30°＝，tan 75°＝，又AD＋DB＝120，∴AD·tan 30°＝（120－AD）·tan 75°，∴AD＝60，故CD＝60（m）. （2）在△BCD中，∵∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝ ＝40.在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－（30°＋105°）＝45°.由正弦定理，得AC＝＝20.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA＝＋（40）2－2×20×40cos 60°＝2 400，∴AB＝20，故A，B两点之间的距离为20 m. 通性通法 测量距离的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB 【跟踪训练】 　在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为a的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离. 解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°， 又∵∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°. ∴AD＝CD＝AC＝a. 在△BCD中，∠DBC＝45°， ∵＝，∴BC＝a. 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°＝a2＋a2－2×a×a×＝a2. ∴AB＝a. ∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为a. 题型二 测量高度问题 【例2】　如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB. 解：在△BCD中，∠CBD＝π－（α＋β）， 由正弦定理得＝， ∴BC＝＝， 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝. 通性通法 测量高度的基本类型及方案 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C 底部不可达 点B与C， D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C， D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数.在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 【跟踪训练】 （2024·南通月考）珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2024年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作.在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B的高度差约为（sin 70°≈0.94）（　　） A.10米 B.9.72米 C.9.40米 D.8.62米 解析：C　根据题意画出如图的模型，则CB＝10，∠OAB＝70°，∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10sin 70°≈9.40（米）. 题型三 测量角度问题 【例3】　（链接教科书第105页例2）如图，在海岸A处发现北偏东45°方向距A点（－1） n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的C处我方缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？ 解：设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获（在D点）走私船，则CD＝10t n mile，BD＝10t n mile. ∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝（－1）2＋22－2（－1）×2cos 120°＝6，∴BC＝， ∵＝， ∴sin∠ABC＝＝＝， ∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°. ∵＝， ∴sin∠BCD＝＝＝， ∴∠BCD＝30°. 故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船. 通性通法 测量角度问题画示意图的基本步骤 【跟踪训练】 某海上养殖基地A接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20（＋1）海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且＋1小时后开始持续影响基地2小时.求台风移动的方向. 解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20. 由题意AB＝20（＋1），DC＝20，BC＝（＋1）×10. 在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2， 所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°. 在△ABC中，由余弦定理得 cos∠BAC＝＝. 所以∠BAC＝30°， 又因为B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，D位于A的正北方向，∠ADC＝45°， 所以台风移动的方向为北偏西45°. 题型四 物理问题 【例4】　（链接教科书第105页例3）如图，某大桥主孔采用独塔双索面斜拉悬臂组合结构体系，假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是53°，每根钢索中的拉力都是5×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？（sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6） 解：把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形OACB，其对角线的长度就表示它们的合力的大小.由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下，且这个平行四边形是一个菱形. 法一　如图所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分， 即AB⊥OC，且AD＝DB，OD＝OC. 在Rt△AOD中，∠AOD＝53°，而OD＝OC， 则合力｜F｜＝2｜F1｜cos 53°＝2×5×104×0.6＝6×104（N）. 即合力的大小为6×104 N，方向竖直向下. 法二　在△OAC中，cos∠OAC＝cos（180°－2×53°）＝－（2cos253°－1）＝1－2×0.62＝0.28， 由余弦定理，得OC ＝ ＝×104＝6×104（N）. 即合力的大小为6×104 N，方向竖直向下. 通性通法 　　物理中很多矢量如速度、力等的计算大多可以归为解三角形.解决此类问题的办法是结合物理知识把涉及的量用图形表示出来，转化为解三角形的问题. 【跟踪训练】 如图所示，某同学沿平直路面由A点出发前进了100 m到达斜坡底端的B点，又沿倾斜角为60°的斜面前进了100 m达到C点，求此同学的位移和路程. 解：如图所示，画出该同学的位移矢量图，为该同学的位移，方向由A→C. 法一　过点C作CD⊥AB，垂足为D， 则BD＝BCcos 60°＝100×＝50（m），CD＝BCsin 60°＝100×＝50（m）. ∴AC＝＝＝100（m）， 路程s＝AB＋BC＝200（m）. ∴如图为该同学的位移，大小为100 m，方向由A→C，路程为200 m. 法二　在△ABC中，AB＝BC＝100 m，∠ABC＝120°. 由余弦定理，得AC＝＝＝100（m）. 路程s＝AB＋BC＝200（m）. ∴如图为该同学的位移，大小为100 m，方向由A→C，路程为200 m. 1.如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的（　　） A.北偏东10°方向上 B.北偏西10°方向上 C.南偏东80°方向上 D.南偏西80°方向上 解析：D　由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.故选D. 2.（2024·淮安月考）作用在同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知｜F1｜＝30 N，｜F2｜＝50 N，F1与F2之间的夹角是60°，则F3与F1之间的夹角的正弦值为（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：C　由题意，知F3应和F1，F2的合力F平衡.设F3与F1之间的夹角为θ，作图（如图），可知当三力平衡时，由余弦定理得｜F3｜＝＝70（N），再由正弦定理得＝，即sin θ＝＝.故选C. 3.（多选）甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有（　　） A.甲楼的高度为20 m B.甲楼的高度为10 m C.乙楼的高度为 m D.乙楼的高度为10 m 解析：AC　如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，BD＝20 m，∴AD＝BDtan 60°＝20，∴甲楼的高度为20 m.在△ABC中，设AC＝BC＝x，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，即1 600＝x2＋x2＋x2，解得x＝ ，则乙楼的高度为 m.故选A、C. 4.已知A，B，C，D四个景点，如图所示，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2 km，C，D相距km，求A，B两景点间的距离. 解：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°， 由正弦定理得＝， 即BD＝＝2. 在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD， 所以△ABD为等边三角形，所以AB＝2. 所以A，B两景点间的距离为2 km. 1.已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距（　　） A.10 km B.10 km C.10 km D.10 km 解析：D　∵AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 120°＝102＋202－2×10×20×＝700，∴AC＝10 km.故选D. 2.一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为（　　） A. n mile/h B.34 n mile/h C. n mile/h D.34 n mile/h 解析：A　如图所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝34，∴v＝＝ （n mile/h）.故选A. 3.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为30°，此人往滕王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为45°，则滕王阁的高度最接近于（忽略人的身高）（参考数据：≈1.732）（　　） A.49米 B.51米 C.54米 D.57米 解析：D　设滕王阁的高度为h，由题设知，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，所以BD＝CD＝h，则AD＝AB＋BD＝h＋42，又tan∠CAD＝＝＝，可得h＝≈57米.故选D. 4.（2024·南京月考）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的视角为15°，向山顶前进100米到达B处，又测得建筑物CD的视角为45°，若CD＝50米，山坡对于水平面的坡角为θ，则cos θ＝（　　） A. B.2－ C.－1 D. 解析：C　在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝＝＝50（－）（米）. 在△BCD中，sin∠BDC＝＝＝－1.由题图，知cos θ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.故选C. 5.（多选）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c），则一定能确定A，B间距离的方案为（　　） A.测量A，B，b B.测量a，b，C C.测量A，B，a D.测量A，B，C 解析：ABC　对于A，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于B，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于C，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于D，不知道长度，显然不能求c. 6.（多选）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，则下列说法正确的是（　　） A.A处与D处之间的距离是24 n mile B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile C.灯塔C在D处的西偏南60° D.D在灯塔B的北偏西30° 解析：AC　由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以∠ABD＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12，AC＝8，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝24（n mile），故A正确；在△ACD中，由余弦定理得CD＝＝＝8（n mile），故B错误；因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；由∠ADB＝60°，所以D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.故选A、C. 7.上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧.现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是　　m. 解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，∴BC＝ m. 8.（2024·苏州质检）如图，在一场足球比赛中，甲同学从点A处开始做匀速直线运动，到达点B时，发现乙同学踢着足球在点C处正以自己速度的向A做匀速直线运动，已知cos∠BAC＝，AB＝3 m，AC＝7 m.若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处　5　m的点. 解析：如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D，CD＝x，则BD＝2x，AD＝7－x，所以在△ABD中，cos A＝＝，整理可得15x2＋52x－164＝（15x＋82）（x－2）＝0，解得x＝2或x＝－（舍去）.故甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处5 m的点. 9.一缉私艇在A处发现在其北偏东45°方向，距离12 n mile的海面C处有一走私船正以10 n mile/h的速度沿南偏东75°方向逃窜.缉私艇的速度为14 n mile/h.若要在最短时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东（45°＋α）的方向去追，求追上走私船所需的时间和角α的正弦值. 解：设经过x h后缉私艇在B处追上走私船，如图. 依题意得AB＝14x n mile，BC＝10x n mile，∠ACB＝120°， 在△ABC中，由余弦定理得（14x）2＝122＋（10x）2－2×12×10x·cos 120°， 解得x＝2， ∴AB＝28 n mile，BC＝20 n mile. 由正弦定理得sin α＝＝. ∴所需时间为2 h，角α的正弦值为. 10.如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝（　　） A.a m B. m C.a m D.a m 解析：A　由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，∴＝，∴PB＝a m，∴h＝PC＋CQ＝a×sin 60°＋asin 15°＝a（m），故选A. 11.（多选）如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h，且cos∠AOB＝－，则（　　） A.此山的高PO＝ km B.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30° C.PA＝2 km D.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为 解析：BCD　由题意可得∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，设OP＝x km.又OP⊥OA，OP⊥OB，则OA＝x km，OB＝x km.因为AB＝7.5××20＝（km），所以cos∠AOB＝＝＝－，解得x＝1，从而PA＝2 km.易知sin∠AOB＝，所以由等面积法可得O到AB的距离h＝ km，则最大仰角的正切值为＝.又AO＞BO，所以最小仰角为30°.故选B、C、D. 12.（2024·无锡月考）如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上的A，D两点，已知∠ADC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝2，BD＝2，CD＝4，则BC的长为　4　. 解析：在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB＝＝＝，∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝，在△BDC中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos∠BDC＝24＋48－4×4×＝48，∴BC＝4（负值舍去）. 13.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处.经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin A＝　　. 解析：依题意，设乙的速度为x m/s，则甲的速度为x m/s，因为AB＝1 040 m，BC＝500 m，所以＝，解得AC＝1 260（m）.在△ABC中，由余弦定理的推论得，cos A＝＝＝，所以sin A＝＝＝. 14.如图，A，B两地之间有建筑物P和一座小山坡Q，经实地观察发现，北面有大山，而南面在四边形ABNM范围内地势平坦，但有建筑物R，试设计A，B之间距离的测量、计算方案. 解：此题答案不唯一，下面举出三种方案. （方案一）在以P，Q，R为顶点的三角形区域内选一点C（可同时看见A，B两地），测出BC，AC的长及∠ACB. 由余弦定理，得 AB＝. （方案二）解四边形ABNM.如图①，测出AM，MN，NB的长，∠AMN，∠MNB的度数. 在△AMN中，由余弦定理，得AN＝， sin∠ANM＝， 在△ANB中，∠ANB＝∠MNB－∠ANM.由余弦定理，得AB＝. （方案三）在线段AB上选一点C， 布设三角形网，如图②，使建筑物R的底部在△MCN的内部，不影响视线. 在△AMC中，测出AM，CM的长及∠AMC，则 AC＝. 在△BNC中，测出BN，CN的长及∠BNC，则 BC＝. 于是AB＝AC＋BC. 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $